Pentru a determina paralelismul și perpendicularitatea planelor, precum și pentru a calcula distanța dintre aceste obiecte geometrice, este convenabil să folosiți unul sau altul tip de funcții numerice. Pentru ce probleme este convenabil să folosim ecuația unui plan în segmente? În acest articol, vom analiza ce este și cum să-l folosim în sarcini practice.
Ce este o ecuație în segmente de linie?
Un avion poate fi definit în spațiul 3D în mai multe moduri. În acest articol, unele dintre ele vor fi date în timp ce rezolvă probleme de diferite tipuri. Aici oferim o descriere detaliată a ecuației în segmente ale planului. În general, are următoarea formă:
x/p + y/q + z/r=1.
Unde simbolurile p, q, r indică anumite numere. Această ecuație poate fi tradusă cu ușurință într-o expresie generală și în alte forme de funcții numerice pentru plan.
Comfortul de a scrie ecuația în segmente constă în faptul că aceasta conține coordonatele explicite ale intersecției planului cu axe de coordonate perpendiculare. Pe axa xraportat la origine, planul taie un segment de lungime p, pe axa y - egal cu q, pe z - de lungime r.
Dacă vreuna dintre cele trei variabile nu este conținută în ecuație, atunci aceasta înseamnă că planul nu trece prin axa corespunzătoare (matematicienii spun că se încrucișează la infinit).
În continuare, iată câteva probleme în care vom arăta cum să lucrăm cu această ecuație.
Comunicarea generalului și în segmente de ecuații
Se știe că planul este dat de următoarea egalitate:
2x - 3y + z - 6=0.
Este necesar să notăm această ecuație generală a planului în segmente.
Când apare o problemă similară, trebuie să urmați această tehnică: transferăm termenul liber în partea dreaptă a egalității. Apoi împărțim întreaga ecuație la acest termen, încercând să o exprimăm în forma dată în paragraful anterior. Avem:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Am obținut în segmente ecuația planului, dată inițial într-o formă generală. Este de observat că planul decupează segmente cu lungimi de 3, 2 și 6 pentru axele x, y și respectiv z. Axa y intersectează planul în zona de coordonate negative.
La întocmirea unei ecuații în segmente, este important ca toate variabilele să fie precedate de semnul „+”. Numai în acest caz, numărul cu care este împărțită această variabilă va afișa coordonatele tăiate pe axă.
Vector normal și punct în plan
Se știe că un plan are un vector de direcție (3; 0; -1). Se mai știe că trece prin punctul (1; 1; 1). Pentru acest plan, scrieți o ecuație în segmente.
Pentru a rezolva această problemă, ar trebui să utilizați mai întâi forma generală pentru acest obiect geometric bidimensional. Forma generală este scrisă ca:
Ax + By + Cz + D=0.
Primii trei coeficienți de aici sunt coordonatele vectorului ghid, care este specificat în declarația problemei, adică:
A=3;
B=0;
C=-1.
Rămâne de găsit termenul liber D. Acesta poate fi determinat prin următoarea formulă:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Unde valorile coordonatelor cu indicele 1 corespund coordonatelor unui punct aparținând planului. Le substituim valorile din starea problemei, obținem:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Acum puteți scrie ecuația completă:
3x - z - 2=0.
Tehnica de conversie a acestei expresii într-o ecuație în segmente ale planului a fost deja demonstrată mai sus. Aplicați-l:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Răspunsul la problemă a fost primit. Rețineți că acest plan intersectează doar axele x și z. Pentru y este paralel.
Două linii drepte care definesc un plan
Din cursul geometriei spațiale, fiecare elev știe că două drepte arbitrare definesc unic un plan înspatiu tridimensional. Să rezolvăm o problemă similară.
Se cunosc două ecuații de linii:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Este necesar să notăm ecuația planului în segmente, trecând prin aceste drepte.
Deoarece ambele drepte trebuie să se afle în plan, aceasta înseamnă că vectorii lor (ghidurile) trebuie să fie perpendiculari pe vectorul (ghidajul) pentru plan. În același timp, se știe că produsul vectorial al două segmente direcționate arbitrare dă rezultatul sub formă de coordonate ale celei de-a treia, perpendiculare pe cele două inițiale. Având în vedere această proprietate, obținem coordonatele unui vector normal la planul dorit:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Deoarece poate fi înmulțit cu un număr arbitrar, acesta formează un nou segment direcționat paralel cu cel inițial, putem înlocui semnul coordonatelor obținute cu opusul (înmulțim cu -1), obținem:
(1; 2; 1).
Cunoaștem vectorul direcției. Rămâne să luăm un punct arbitrar al uneia dintre drepte și să întocmești ecuația generală a planului:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Traducând această egalitate într-o expresie în segmente, obținem:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Astfel, planul intersectează toate cele trei axe din regiunea pozitivă a sistemului de coordonate.
Trei puncte și un avion
La fel ca două linii drepte, trei puncte definesc un plan unic în spațiul tridimensional. Scriem ecuația corespunzătoare în segmente dacă se cunosc următoarele coordonate ale punctelor aflate în plan:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Să facem următoarele: calculați coordonatele a doi vectori arbitrari care leagă aceste puncte, apoi găsiți vectorul n¯ normal cu planul calculând produsul segmentelor direcționate găsite. Primim:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Luați punctul P ca exemplu, compuneți ecuația planului:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 sau z=0.
Avem o expresie simplă care corespunde planului xy în sistemul de coordonate dreptunghiular dat. Nu poate fi scris în segmente, deoarece axele x și y aparțin planului, iar lungimea segmentului tăiat pe axa z este zero (punctul (0; 0; 0) aparține planului).
