Inegalitățile algebrice sau sistemele lor cu coeficienți raționali ale căror soluții se caută în numere întregi sau întregi. De regulă, numărul de necunoscute în ecuațiile diofantine este mai mare. Astfel, ele sunt cunoscute și ca inegalități nedefinite. În matematica modernă, conceptul de mai sus este aplicat ecuațiilor algebrice ale căror soluții sunt căutate în numere întregi algebrice de o anumită extensie a câmpului variabilelor Q-raționale, câmpului variabilelor p-adice etc.
Originile acestor inegalități
Studiul ecuațiilor diofantine se află la granița dintre teoria numerelor și geometria algebrică. Găsirea de soluții în variabile întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Deja la începutul mileniului II î. Hr. babilonienii antici au reușit să rezolve sisteme de ecuații cu două necunoscute. Această ramură a matematicii a înflorit cel mai mult în Grecia antică. Aritmetica lui Diophantus (cca. secolul al III-lea d. Hr.) este o sursă semnificativă și principală care conține diverse tipuri și sisteme de ecuații.
În această carte, Diophantus a prevăzut o serie de metode pentru studierea inegalităților celui de-al doilea și al treileagrade care au fost pe deplin dezvoltate în secolul al XIX-lea. Crearea teoriei numerelor raționale de către acest cercetător al Greciei antice a condus la analiza soluțiilor logice ale sistemelor nedefinite, care sunt urmărite sistematic în cartea sa. Deși lucrarea sa conține soluții la anumite ecuații diofantine, există motive să credem că era familiarizat și cu câteva metode generale.
Studiul acestor inegalități este de obicei asociat cu dificultăți serioase. Datorită faptului că conțin polinoame cu coeficienți întregi F (x, y1, …, y). Pe baza acestui fapt, s-au tras concluzii că nu există un singur algoritm care să poată fi utilizat pentru a determina pentru orice x dat dacă ecuația F (x, y1, …., y ). Situația poate fi rezolvată pentru y1, …, y . Pot fi scrise exemple de astfel de polinoame.
Cea mai simplă inegalitate
ax + by=1, unde a și b sunt relativ întregi și numere prime, are un număr mare de execuții (dacă x0, y0 se formează rezultatul, apoi perechea de variabile x=x0 + b și y=y0 -an, unde n este arbitrar, va fi de asemenea considerată o inegalitate). Un alt exemplu de ecuații diofantine este x2 + y2 =z2. Soluțiile integrale pozitive ale acestei inegalități sunt lungimile laturilor mici x, y și triunghiurilor dreptunghiulare, precum și ipotenuza z cu dimensiunile laturilor întregi. Aceste numere sunt cunoscute ca numere pitagorice. Sunt indicate toate tripletele cu privire la primulvariabilele de mai sus sunt date de x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, unde m și n sunt numere întregi și numere prime (m>n>0).
Diophantus, în aritmetica sa, caută soluții raționale (nu neapărat integrale) ale unor tipuri speciale ale inegalităților sale. O teorie generală pentru rezolvarea ecuațiilor diofantine de gradul întâi a fost dezvoltată de C. G. Baschet în secolul al XVII-lea. Alți oameni de știință la începutul secolului al XIX-lea au studiat în principal inegalități similare, cum ar fi ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, unde a, b, c, d, e și f sunt generale, eterogene, cu două necunoscute de gradul doi. Lagrange a folosit fracții continue în studiul său. Gauss pentru formele pătratice a dezvoltat o teorie generală care stă la baza unor tipuri de soluții.
În studiul acestor inegalități de gradul doi s-au înregistrat progrese semnificative abia în secolul al XX-lea. A. Thue a constatat că ecuația diofantină a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, unde n≧3, a0, …, a , c sunt numere întregi și a0tn + …+ a nu poate avea un număr infinit de soluții întregi. Cu toate acestea, metoda lui Thue nu a fost dezvoltată corespunzător. A. Baker a creat teoreme eficiente care dau estimări asupra performanței unor ecuații de acest fel. BN Delaunay a propus o altă metodă de investigare aplicabilă unei clase mai restrânse a acestor inegalități. În special, forma ax3 + y3 =1 este complet rezolvabilă în acest fel.
Ecuații diofantine: metode de soluție
Teoria lui Diophantus are multe direcții. Astfel, o problemă binecunoscută în acest sistem este ipoteza că nu există o soluție non-trivială a ecuațiilor diofantiene xn + y =z n dacă n ≧ 3 (întrebarea lui Fermat). Studiul împlinirilor întregi ale inegalității este o generalizare firească a problemei tripleților pitagoreici. Euler a obținut o soluție pozitivă a problemei lui Fermat pentru n=4. În virtutea acestui rezultat, se referă la demonstrația întregului lipsă, studii nenule ale ecuației dacă n este un număr prim impar.
Studiul privind decizia nu a fost finalizat. Dificultățile cu implementarea sa sunt legate de faptul că simpla factorizare în inelul numerelor întregi algebrice nu este unică. Teoria divizorilor din acest sistem pentru multe clase de exponenți primi n face posibilă confirmarea validității teoremei lui Fermat. Astfel, ecuația liniară diofantică cu două necunoscute este îndeplinită de metodele și modalitățile existente.
Tipuri și tipuri de sarcini descrise
Aritmetica inelelor de numere întregi algebrice este folosită și în multe alte probleme și soluții ale ecuațiilor diofante. De exemplu, astfel de metode au fost aplicate la îndeplinirea inegalităților de forma N(a1 x1 +…+ a x)=m, unde N(a) este norma lui a și x1, …, xn se găsesc variabile raționale integrale. Această clasă include ecuația Pell x2–dy2=1.
Valorile a1, …, a care apar, aceste ecuații sunt împărțite în două tipuri. Primul tip - așa-numitele forme complete - includ ecuații în care între a există m numere liniar independente pe câmpul variabilelor raționale Q, unde m=[Q(a1, …, a):Q], în care există un grad de exponenți algebrici Q (a1, …, a ) peste Q. Speciile incomplete sunt cele din care numărul maxim de a i mai mic decât m.
Formulele complete sunt mai simple, studiul lor este complet și toate soluțiile pot fi descrise. Al doilea tip, specia incompletă, este mai complicată, iar dezvoltarea unei astfel de teorii nu a fost încă finalizată. Astfel de ecuații sunt studiate folosind aproximații diofantine, care includ inegalitatea F(x, y)=C, unde F (x, y) este un polinom ireductibil, omogen, de gradul n≧3. Astfel, putem presupune că yi→∞. În consecință, dacă yi este suficient de mare, atunci inegalitatea va contrazice teorema lui Thue, Siegel și Roth, din care rezultă că F(x, y)=C, unde F este o formă de gradul trei sau mai sus, ireductibilul nu poate avea un număr infinit de soluții.
Cum se rezolvă o ecuație diofantină?
Acest exemplu este o clasă destul de restrânsă printre toți. De exemplu, în ciuda simplității lor, x3 + y3 + z3=N și x2 +a 2 +z2 +u2 =N nu sunt incluse în această clasă. Studiul soluțiilor este o ramură destul de atent studiată a ecuațiilor diofantine, unde baza este reprezentarea prin forme pătratice a numerelor. Lagrangea creat o teoremă care spune că împlinirea există pentru tot N natural. Orice număr natural poate fi reprezentat ca sumă a trei pătrate (teorema lui Gauss), dar nu ar trebui să fie de forma 4a (8K- 1), unde a și k sunt exponenți întregi nenegativi.
Soluții raționale sau integrale la un sistem al unei ecuații diofantine de tip F (x1, …, x)=a, unde F (x 1, …, x) este o formă pătratică cu coeficienți întregi. Astfel, conform teoremei Minkowski-Hasse, inegalitatea ∑aijxixj=b ij și b este rațional, are o soluție integrală în numere reale și p-adice pentru fiecare număr prim p numai dacă este rezolvabil în această structură.
Datorită dificultăților inerente, studiul numerelor cu forme arbitrare de gradul trei și mai sus a fost studiat într-o măsură mai mică. Principala metodă de execuție este metoda sumelor trigonometrice. În acest caz, numărul de soluții ale ecuației este scris în mod explicit în termenii integralei Fourier. După aceea, metoda mediului este utilizată pentru a exprima numărul de îndeplinire a inegalității congruențelor corespunzătoare. Metoda sumelor trigonometrice depinde de caracteristicile algebrice ale inegalităților. Există un număr mare de metode elementare pentru rezolvarea ecuațiilor liniare diofantine.
Analiza diofantine
Departamentul de matematică, al cărui subiect este studiul soluțiilor integrale și raționale ale sistemelor de ecuații ale algebrei prin metode de geometrie, din aceeașisfere. În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, apariția acestei teorii a numerelor a condus la studiul ecuațiilor diofantine dintr-un câmp arbitrar cu coeficienți, iar soluțiile au fost luate în considerare fie în acesta, fie în inelele sale. Sistemul de funcții algebrice s-a dezvoltat în paralel cu numerele. Analogia de bază între cele două, care a fost subliniată de D. Hilbert și, în special, de L. Kronecker, a condus la construirea uniformă a diferitelor concepte aritmetice, care sunt de obicei numite globale.
Acest lucru este vizibil mai ales dacă funcțiile algebrice studiate pe un câmp finit de constante sunt o variabilă. Concepte precum teoria câmpului de clasă, divizorul și ramificarea și rezultatele sunt o ilustrare bună a celor de mai sus. Acest punct de vedere a fost adoptat în sistemul inegalităților diofantine abia mai târziu, iar cercetările sistematice nu numai cu coeficienți numerici, ci și cu coeficienți care sunt funcții, au început abia în anii 1950. Unul dintre factorii decisivi în această abordare a fost dezvoltarea geometriei algebrice. Studiul simultan al câmpurilor numerelor și funcțiilor, care apar ca două aspecte la fel de importante ale aceluiași subiect, nu numai că a dat rezultate elegante și convingătoare, dar a condus la îmbogățirea reciprocă a celor două subiecte.
În geometria algebrică, noțiunea de varietate este înlocuită cu o mulțime neinvariantă de inegalități peste un câmp dat K, iar soluțiile acestora sunt înlocuite cu puncte raționale cu valori în K sau în extensia sa finită. În consecință, se poate spune că problema fundamentală a geometriei diofantine este studiul punctelor raționalea unei mulțimi algebrice X(K), în timp ce X sunt anumite numere din câmpul K. Execuția întregului are o semnificație geometrică în ecuații liniare diofantine.
Studii de inegalitate și opțiuni de execuție
Când studiem punctele raționale (sau integrale) pe varietăți algebrice, apare prima problemă, care este existența lor. A zecea problemă a lui Hilbert este formulată ca problema găsirii unei metode generale de rezolvare a acestei probleme. În procesul de creare a unei definiții exacte a algoritmului și după ce s-a dovedit că nu există astfel de execuții pentru un număr mare de probleme, problema a obținut un rezultat negativ evident, iar cea mai interesantă întrebare este definirea claselor de ecuații diofantine. pentru care există sistemul de mai sus. Cea mai firească abordare, din punct de vedere algebric, este așa-numitul principiu Hasse: câmpul inițial K este studiat împreună cu completările sale Kv peste toate estimările posibile. Deoarece X(K)=X(Kv) sunt o condiție necesară pentru existență, iar punctul K ia în considerare faptul că mulțimea X(Kv) nu este necompletat pentru toate v.
Importanța constă în faptul că reunește două probleme. Al doilea este mult mai simplu, este rezolvabil printr-un algoritm cunoscut. În cazul particular în care varietatea X este proiectivă, lema lui Hansel și generalizările sale fac posibilă o reducere suplimentară: problema poate fi redusă la studiul punctelor raționale pe un câmp finit. Apoi decide să construiască un concept fie prin cercetări consecvente, fie prin metode mai eficiente.
Ultimulo considerație importantă este că mulțimile X(Kv) sunt nevide pentru toate, cu excepția unui număr finit de v, astfel încât numărul de condiții este întotdeauna finit și pot fi testate eficient. Totuși, principiul lui Hasse nu se aplică curbelor de grade. De exemplu, 3x3 + 4y3=5 are puncte în toate câmpurile de numere p-adice și în sistem de numere reale, dar nu are puncte raționale.
Această metodă a servit ca punct de plecare pentru construirea unui concept care descrie clasele principalelor spații omogene ale soiurilor abeliene pentru a efectua o „abatere” de la principiul Hasse. Este descrisă în termenii unei structuri speciale care poate fi asociată cu fiecare varietate (grupul Tate-Shafarevich). Principala dificultate a teoriei constă în faptul că metodele de calcul a grupurilor sunt greu de obținut. Acest concept a fost extins și la alte clase de varietăți algebrice.
Căutați un algoritm pentru îndeplinirea inegalităților
O altă idee euristică folosită în studiul ecuațiilor diofantiene este că, dacă numărul de variabile implicate într-o mulțime de inegalități este mare, atunci sistemul are de obicei o soluție. Cu toate acestea, acest lucru este foarte greu de demonstrat pentru orice caz anume. Abordarea generală a problemelor de acest tip folosește teoria analitică a numerelor și se bazează pe estimări pentru sume trigonometrice. Această metodă a fost aplicată inițial unor tipuri speciale de ecuații.
Totuși, mai târziu s-a dovedit cu ajutorul lui că dacă forma unui grad impar este F, în dși n variabile și cu coeficienți raționali, atunci n este suficient de mare în comparație cu d, deci hipersuprafața proiectivă F=0 are un punct rațional. Conform conjecturii lui Artin, acest rezultat este adevărat chiar dacă n > d2. Acest lucru a fost dovedit doar pentru formele pătratice. Probleme similare pot fi solicitate și pentru alte câmpuri. Problema centrală a geometriei diofantine este structura mulțimii de puncte întregi sau raționale și studiul acestora, iar prima întrebare care trebuie clarificată este dacă această mulțime este finită. În această problemă, situația are de obicei un număr finit de execuții dacă gradul sistemului este mult mai mare decât numărul de variabile. Aceasta este ipoteza de bază.
Inegalități pe linii și curbe
Grupul X(K) poate fi reprezentat ca o sumă directă a unei structuri libere de rang r și a unui grup finit de ordinul n. Începând cu anii 1930, a fost studiată întrebarea dacă aceste numere sunt mărginite pe mulțimea tuturor curbelor eliptice pe un anumit câmp K. Mărginirea torsiunei n a fost demonstrată în anii șaptezeci. Există curbe de rang în alt arbitrar în cazul funcțional. În cazul numeric, nu există încă un răspuns la această întrebare.
În cele din urmă, conjectura lui Mordell afirmă că numărul de puncte integrale este finit pentru o curbă din genul g>1. În cazul funcțional, acest concept a fost demonstrat de Yu. I. Manin în 1963. Instrumentul principal folosit în demonstrarea teoremelor de finitate în geometria diofantină este înălțimea. Dintre varietățile algebrice, dimensiunile peste unul sunt abelienevarietățile, care sunt analogii multidimensionali ai curbelor eliptice, au fost cele mai amănunțite studiate.
A. Weil a generalizat teorema privind caracterul finit al numărului de generatori ai unui grup de puncte raționale la varietăți abeliene de orice dimensiune (conceptul Mordell-Weil), extinzând-o. În anii 1960, a apărut conjectura lui Birch și Swinnerton-Dyer, îmbunătățind aceasta și funcțiile de grup și zeta ale varietății. Dovezile numerice susțin această ipoteză.
Problemă de rezolvare
Problema găsirii unui algoritm care poate fi utilizat pentru a determina dacă vreo ecuație diofantină are o soluție. O caracteristică esențială a problemei puse este căutarea unei metode universale care să fie potrivită oricărei inegalități. O astfel de metodă ar permite și rezolvarea sistemelor de mai sus, deoarece este echivalentă cu P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 sau p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problema găsirii unei astfel de modalități universale de a găsi soluții pentru inegalitățile liniare în numere întregi a fost pusă de D. Gilbert.
La începutul anilor 1950, au apărut primele studii menite să demonstreze inexistența unui algoritm de rezolvare a ecuațiilor diofante. În acest moment, a apărut conjectura Davis, care spunea că orice set enumerabil aparține și omului de știință grec. Deoarece sunt cunoscute exemple de mulțimi indecidabile din punct de vedere algoritmic, dar sunt enumerabile recursiv. Rezultă că conjectura lui Davis este adevărată și problema solubilității acestor ecuațiiare o execuție negativă.
După aceea, pentru conjectura lui Davis, rămâne de demonstrat că există o metodă de transformare a unei inegalități care de asemenea (sau nu a avut) în același timp o soluție. S-a arătat că o astfel de modificare a ecuaţiei diofantine este posibilă dacă are cele două proprietăţi de mai sus: 1) în orice soluţie de acest tip v ≦ uu; 2) pentru orice k, există o execuție cu creștere exponențială.
Un exemplu de ecuație diofantică liniară a acestei clase a completat demonstrația. Problema existenței unui algoritm pentru rezolvarea și recunoașterea acestor inegalități în numere raționale este încă considerată o întrebare importantă și deschisă care nu a fost studiată suficient.
