Când se pregătesc pentru examenul de matematică, elevii trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la bază și fețele laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația este clară cu fețele laterale, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.
Cum să găsești aria bazei piramidei?
Poate fi absolut orice formă: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o cifră obișnuită sau una incorectă. În sarcinile USE de interes pentru școlari, există doar sarcini cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.
Triunghi regulat
Asta este echilateral. Una în care toate laturile sunt egale și notate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei se calculează cu formula:
S=(a2√3) / 4.
Pătrat
Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă,aici „a” este din nou partea:
S=a2.
n-gon obișnuit arbitrar
Latura unui poligon are aceeași denumire. Pentru numărul de colțuri se folosește litera latină n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Cum se calculează suprafața laterală și totală?
Deoarece baza este o figură obișnuită, toate laturile piramidei sunt egale. În plus, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, aveți nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.
Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:
S=½ PA, unde P este perimetrul bazei piramidei.
Există situații când laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi ar trebui să folosiți această formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:
S=n/2în2 sin α.
Problemă 1
Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza acesteia este un triunghi echilateral cu latura de 4 cm, iar apotema este √3 cm.
Decizie. A luiTrebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P \u003d 34 \u003d 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, puteți calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½12√3=6 √3 cm 2.
Pentru un triunghi la bază, obțineți următoarea valoare a ariei: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Pentru a determina suprafața totală, trebuie să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Răspuns. 10√3cm2.
Problemă 2
Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Trebuie să-i cunoașteți suprafața.
Decizie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, atunci baza lui este un pătrat. După ce ați învățat zonele de bază și ale fețelor laterale, va fi posibil să se calculeze aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și la fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.
Primele calcule sunt simple și duc la acest număr: 49 mm2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 162): 2=19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să îl înmulțiți cu 4.
Se pare: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Răspuns. Valoarea dorită 267, 576mm2.
Problemă 3
Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. Cunoaște latura pătratului - 6 cm și înălțimea - 4 cm.
Decizie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este puțin mai dificil.
Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să luăm în considerare un triunghi dreptunghic. Este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.
Apotema dorită (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este √(32 + 42)=5 (cm).
Acum puteți calcula valoarea necesară: ½(46)5+62=96 (vezi2).
Răspuns. 96 cm2.
Problemă 4
Condiție. Dată o piramidă hexagonală regulată. Laturile bazei sale sunt de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este suprafața laterală a acestui poliedru?
Decizie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în problema nr. 2. Numai că acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.
În primul rând, aria bazei se calculează folosind formula de mai sus: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este fața laterală. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Rămâne de calculat suprafața unei astfel de plajetriunghi, apoi înmulțiți-l cu șase și adăugați-l la cel care a rezultat pentru bază.
Calcul după formula lui Heron: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Calcule care vor da suprafața laterală: 6606=3960 cm2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217, 47≈5217 cm2.
Răspuns. Baza - 726√3cm2, suprafata laterala - 3960cm2, suprafata totala - 5217cm2.
