Leonhard Euler (1707-1783) - celebru matematician elvețian și rus, membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, și-a trăit cea mai mare parte a vieții în Rusia. Cel mai faimos în analiză matematică, statistică, informatică și logică este cercul Euler (diagrama Euler-Venn), folosit pentru a desemna domeniul de aplicare al conceptelor și al mulțimilor de elemente.
John Venn (1834-1923) - filozof și logician englez, coautor al diagramei Euler-Venn.
Concepte compatibile și incompatibile
Sub conceptul în logică înseamnă o formă de gândire care reflectă trăsăturile esențiale ale unei clase de obiecte omogene. Ele sunt notate printr-unul sau un grup de cuvinte: „harta lumii”, „coarda a cincea-șaptea dominantă”, „luni”, etc.
În cazul în care elementele din sfera unui concept aparțin total sau parțial sferei de aplicare a altuia, se vorbește de concepte compatibile. Dacă, totuși, niciun element din domeniul de aplicare al unui anumit concept nu aparține domeniului altuia, avem concepte incompatibile.
La rândul său, fiecare tip de concept are propriul său set de relații posibile. Pentru concepte compatibile, acestea sunt:
- identitatea (echivalența) volumelor;
- încrucișare (potrivire parțială)volume;
- subordonare (subordonare).
Pentru incompatibil:
- subordonare (coordonare);
- opus (contraralitate);
- contradicție (contradicție).
Schematic, relațiile dintre concepte în logică sunt de obicei notate folosind cercuri Euler-Venn.
Relații echivalente
În acest caz, conceptele înseamnă același subiect. În consecință, volumele acestor concepte sunt complet aceleași. De exemplu:
A - Sigmund Freud;
B este fondatorul psihanalizei.
Sau:
A este un pătrat;
B este un dreptunghi echilateral;
C este un romb echiunghiular.
Cercurile Euler care coincid complet sunt folosite pentru desemnare.
Intersecție (potrivire parțială)
Această categorie include concepte care au elemente comune legate de încrucișare. Adică volumul unuia dintre concepte este parțial inclus în volumul celuil alt:
A - profesor;
B este un iubitor de muzică.
După cum se poate observa din acest exemplu, volumele de concepte coincid parțial: un anumit grup de profesori se poate dovedi a fi iubitori de muzică și invers - pot exista reprezentanți ai profesiei didactice printre iubitorii de muzică. O atitudine similară va fi și în cazul în care conceptul A este, de exemplu, un „cetățean”, iar B este un „șofer”.
Subordonare (subordonare)
Notat schematic ca cercuri Euler de diferite scări. Relaţiiîntre concepte în acest caz se caracterizează prin faptul că conceptul de subordonat (mai mic ca volum) este complet inclus în subordonat (mai mare ca volum). În același timp, conceptul de subordonat nu îl epuizează complet pe cel de subordonat.
De exemplu:
A - arbore;
B - pin.
Conceptul B va fi subordonat conceptului A. Deoarece pinul aparține copacilor, conceptul A din acest exemplu devine subordonat, „absorbând” domeniul de aplicare al conceptului B.
Coordonare (coordonare)
Relația caracterizează două sau mai multe concepte care se exclud reciproc, dar aparțin unui anumit cerc generic comun. De exemplu:
A – clarinet;
B - chitară;
C - vioară;
D este un instrument muzical.
Conceptele A, B, C nu se intersectează unul cu celăl alt, totuși, toate aparțin categoriei instrumentelor muzicale (conceptul D).
Opus (contrar)
Relațiile opuse dintre concepte implică faptul că aceste concepte aparțin aceluiași gen. În același timp, unul dintre concepte are anumite proprietăți (trăsături), în timp ce celăl alt le neagă, înlocuindu-le cu altele opuse în natură. Astfel, avem de-a face cu antonime. De exemplu:
A este un pitic;
B este un gigant.
Cercul Euler cu relații opuse între concepteeste împărțit în trei segmente, dintre care primul corespunde conceptului A, al doilea conceptului B și al treilea tuturor celorl alte concepte posibile.
Condicție (contradicție)
În acest caz, ambele concepte sunt specii din același gen. Ca și în exemplul precedent, unul dintre concepte indică anumite calități (trăsături), în timp ce celăl alt le neagă. Totuși, spre deosebire de relația de contrarii, al doilea concept, opus, nu înlocuiește proprietățile negate cu altele alternative. De exemplu:
A este o sarcină dificilă;
B este o sarcină ușoară (nu-A).
Exprimând volumul de concepte de acest fel, cercul Euler este împărțit în două părți - a treia, verigă intermediară în acest caz nu există. Astfel, conceptele sunt și antonime. În același timp, unul dintre ei (A) devine pozitiv (afirmând o trăsătură), iar al doilea (B sau non-A) devine negativ (negătând caracteristica corespunzătoare): „hârtie albă” - „hârtie albă”, „ istorie națională” – „istorie străină”, etc.
Astfel, raportul dintre volumele de concepte unul în raport cu celăl alt este o caracteristică cheie care definește cercurile lui Euler.
Relații între seturi
De asemenea, este necesar să se facă distincția între conceptele de elemente și mulțimi, al căror volum este afișat prin cercuri Euler. Conceptul de mulțime este împrumutat din știința matematică și are un sens destul de larg. Exemplele din logică și matematică îl arată ca un anumit set de obiecte. Obiectele în sine suntelementele acestui set. „Mulți sunt mulți gândesc ca unul” (Georg Kantor, fondatorul teoriei mulțimilor).
Seturile sunt desemnate cu majuscule: A, B, C, D… etc., elementele multimii sunt desemnate cu litere mici: a, b, c, d… etc. Exemple de multime pot fi elevii care sunt într-o sală de clasă, cărți pe un anumit raft (sau, de exemplu, toate cărțile dintr-o anumită bibliotecă), pagini dintr-un jurnal, fructe de pădure într-o poiană etc.
La rândul său, dacă o anumită mulțime nu conține un singur element, atunci se numește gol și se notează prin semnul Ø. De exemplu, mulțimea punctelor de intersecție ale dreptelor paralele, mulțimea soluțiilor ecuației x2=-5.
Rezolvarea problemelor
Cercurile Euler sunt folosite în mod activ pentru a rezolva un număr mare de probleme. Exemplele de logică demonstrează clar legătura dintre operațiile logice și teoria mulțimilor. În acest caz, sunt folosite tabele de adevăr ale conceptelor. De exemplu, cercul etichetat A reprezintă regiunea adevărului. Deci zona din afara cercului va reprezenta fals. Pentru a determina aria diagramei pentru o operație logică, ar trebui să umbriți zonele care definesc cercul Euler, în care valorile sale pentru elementele A și B vor fi adevărate.
Utilizarea cercurilor Euler a găsit o aplicație practică largă în diverse industrii. De exemplu, într-o situație cu o alegere profesională. Dacă subiectul este preocupat de alegerea unei viitoare profesii, el se poate ghida după următoarele criterii:
W – ce îmi place să fac?
D – ce fac?
P– cum pot face bani buni?
Să desenăm asta sub formă de diagramă: cercuri Euler (exemple în logică - relație de intersecție):
Rezultatul vor fi acele profesii care vor fi la intersecția tuturor celor trei cercuri.
Cercurile Euler-Venn ocupă un loc separat în matematică (teoria mulțimilor) atunci când calculează combinații și proprietăți. Cercurile Euler ale mulțimii de elemente sunt incluse în imaginea unui dreptunghi care denotă mulțimea universală (U). În loc de cercuri, pot fi folosite și alte figuri închise, dar esența acesteia nu se schimbă. Cifrele se intersectează între ele, în funcție de condițiile problemei (în cazul cel mai general). De asemenea, aceste cifre ar trebui să fie etichetate corespunzător. Elementele multimilor luate in considerare pot fi puncte situate in interiorul diferitelor segmente ale diagramei. Pe baza acestuia, puteți umbri anumite zone, desemnând astfel seturile nou formate.
Cu aceste mulțimi se pot efectua operații matematice de bază: adunare (suma de mulțimi de elemente), scădere (diferență), înmulțire (produs). În plus, datorită diagramelor Euler-Venn, se pot compara mulțimi după numărul de elemente incluse în ele, fără a le număra.
