Paradoxul lui Bertrand este o problemă în interpretarea clasică a teoriei probabilităților. Joseph a introdus-o în lucrarea sa Calcul des probabilités (1889) ca exemplu că probabilitățile nu pot fi bine definite dacă un mecanism sau o metodă produce o variabilă aleatorie.
Declarație de problemă
Paradoxul lui Bertrand este următorul.
În primul rând, luați în considerare un triunghi echilateral înscris într-un cerc. În acest caz, diametrul este ales aleatoriu. Care este probabilitatea ca acesta să fie mai lung decât latura triunghiului?
Bertrand a formulat trei argumente, toate par a fi corecte, dar dau rezultate diferite.
Metoda aleatoare a punctului final
Trebuie să selectați două locuri pe cerc și să desenați un arc care le conectează. Pentru calcul se ia în considerare paradoxul probabilității lui Bertrand. Este necesar să ne imaginăm că triunghiul este rotit astfel încât vârful său să coincidă cu unul dintre punctele de capăt ale coardei. Merită plătitrețineți că dacă ceal altă parte este pe un arc între două locuri, cercul este mai lung decât latura triunghiului. Lungimea arcului este o treime din cerc, deci probabilitatea ca o coardă aleatorie să fie mai lungă este 1/3.
Metoda de selectare
Este necesar să selectați raza cercului și un punct pe acesta. După aceea, trebuie să construiți o coardă prin acest loc, perpendicular pe diametru. Pentru a calcula paradoxul considerat al lui Bertrand al teoriei probabilităților, trebuie să ne imaginăm că triunghiul este rotit astfel încât latura să fie perpendiculară pe rază. Coarda este mai lungă decât piciorul dacă punctul selectat este mai aproape de centrul cercului. Și în acest caz, latura triunghiului traversează raza. Prin urmare, probabilitatea ca acordul să fie mai lung decât latura figurii înscrise este 1/2.
Acorduri aleatorii
Metoda punctului de mijloc. Este necesar să alegeți un loc pe cerc și să creați un acord cu un mijloc dat. Axa este mai lungă decât marginea triunghiului înscris, dacă locația selectată se află într-un cerc concentric de rază 1/2. Aria cercului mai mic este o pătrime din cifra mai mare. Prin urmare, probabilitatea unei coarde aleatoare este mai lungă decât latura triunghiului înscris și este egală cu 1/4.
Așa cum am prezentat mai sus, metodele de selecție diferă prin greutatea pe care o acordă anumitor coarde, care sunt diametre. În metoda 1, fiecare coardă poate fi selectată exact într-un fel, indiferent dacă este sau nu un diametru.
În metoda 2, fiecare linie dreaptă poate fi selectată în două moduri. În timp ce orice alt acord va fi alesdoar una dintre posibilități.
În metoda 3, fiecare selecție de punct de mijloc are un singur parametru. Cu excepția centrului cercului, care este punctul de mijloc al tuturor diametrelor. Aceste probleme pot fi evitate „ordonând” toate întrebările pentru a exclude parametrii fără a afecta probabilitățile rezultate.
Selectați metodele pot fi, de asemenea, vizualizate după cum urmează. O coardă care nu este un diametru este identificată în mod unic prin punctul său de mijloc. Fiecare dintre cele trei metode de selecție prezentate mai sus produce o distribuție diferită a mijlocului. Opțiunile 1 și 2 oferă două partiții diferite neuniforme, în timp ce metoda 3 oferă o distribuție uniformă.
Paradoxul clasic al rezolvării problemei lui Bertrand depinde de metoda prin care acordul este ales „la întâmplare”. Se dovedește că, dacă o metodă de selecție aleatorie este specificată în prealabil, problema are o soluție bine definită. Acest lucru se datorează faptului că fiecare metodă individuală are propria sa distribuție de acorduri. Cele trei hotărâri prezentate de Bertrand corespund unor moduri diferite de selecție și, în absența unor informații suplimentare, nu există niciun motiv să le favorizeze una față de alta. În consecință, problema menționată nu are o singură soluție.
Un exemplu de mod de a face un răspuns general unic este să specificați că punctele de capăt ale coardei sunt distanțate uniform între 0 și c, unde c este circumferința cercului. Această distribuție este aceeași ca în primul argument al lui Bertrand și probabilitatea unică rezultată va fi 1/3.
Acest paradox al lui Bertrand Russell și alte unicități ale clasiculuiinterpretările de posibilitate justifică formulări mai riguroase. Inclusiv frecvența probabilității și teoria subiectivistă bayesiană.
Ce stă la baza paradoxului lui Bertrand
În articolul său din 1973 „The Well-posed Problem”, Edwin Jaynes a oferit soluția sa unică. El a observat că paradoxul lui Bertrand se bazează pe o premisă bazată pe principiul „necunoașterii maxime”. Aceasta înseamnă că nu trebuie să utilizați informații care nu sunt furnizate în declarația problemei. Jaynes a subliniat că problema lui Bertrand nu determină poziția sau dimensiunea cercului. Și a susținut că, prin urmare, orice decizie definită și obiectivă trebuie să fie „indiferență” față de dimensiune și poziție.
În scopuri ilustrative
Presupunând că toate acordurile sunt plasate aleatoriu pe un cerc de 2 cm, acum trebuie să arunci cu paie în el de departe.
Apoi trebuie să luați un alt cerc cu un diametru mai mic (de exemplu, 1 centimetru), care se potrivește într-o cifră mai mare. Apoi, distribuția acordurilor pe acest cerc mai mic ar trebui să fie aceeași ca pe cel maxim. Dacă a doua cifră se mișcă și în interiorul primei, probabilitatea, în principiu, nu ar trebui să se schimbe. Este foarte ușor de observat că pentru metoda 3 se va produce următoarea modificare: distribuția acordurilor pe cercul mic roșu va fi diferită calitativ de distribuția pe cercul mare.
Același lucru se întâmplă și cu metoda 1. Deși este mai greu de văzut în vizualizarea grafică.
Metoda 2 este singuracare se dovedește a fi atât o scară, cât și un invariant de translație.
Metoda numărul 3 pare să fie pur și simplu extensibilă.
Metoda 1 nu este nici una.
Cu toate acestea, Janes nu a folosit cu ușurință invarianții pentru a accepta sau a respinge aceste metode. Acest lucru ar lăsa posibilitatea să existe o altă metodă nedescrisă care s-ar potrivi cu aspectele sale de înțeles rezonabil. Jaynes a aplicat ecuații integrale care descriu invarianțe. Pentru a determina direct distribuția probabilității. În problema lui, ecuațiile integrale au într-adevăr o soluție unică, iar aceasta este exact ceea ce a fost numită metoda a doua rază aleatorie de mai sus.
Într-o lucrare din 2015, Alon Drory susține că principiul lui Jaynes poate da, de asemenea, alte două soluții Bertrand. Autorul asigură că implementarea matematică a proprietăților de invarianță de mai sus nu este unică, ci depinde de procedura de bază aleatorie de selecție pe care o persoană decide să o folosească. El arată că fiecare dintre cele trei soluții Bertrand poate fi obținută folosind invarianța de rotație, scalare și translație. În același timp, ajungând la concluzia că principiul Jaynes este la fel de supus interpretării ca și modul de indiferență în sine.
Experimente fizice
Metoda 2 este singura soluție care satisface invarianții de transformare care sunt prezenți în concepte fiziologice specifice, cum ar fi mecanica statistică și structura gazelor. De asemenea, în propusExperimentul lui Janes de a arunca paie dintr-un cerc mic.
Cu toate acestea, pot fi concepute și alte experimente practice care oferă răspunsuri conform altor metode. De exemplu, pentru a ajunge la o soluție la metoda primului punct final aleatoriu, puteți atașa un contor în centrul zonei. Și lăsați rezultatele a două rotații independente evidențiază locurile finale ale coardei. Pentru a ajunge la o soluție la cea de-a treia metodă, se poate acoperi cercul cu melasă, de exemplu, și se poate marca primul punct pe care aterizează musca ca coardă din mijloc. Mai mulți meditatori au creat studii pentru a trage concluzii diferite și au confirmat rezultatele în mod empiric.
Ultimele evenimente
În articolul său din 2007 „Paradoxul Bertrand și principiul indiferenței”, Nicholas Shackel susține că mai mult de un secol mai târziu, problema rămâne încă nerezolvată. Ea continuă să infirme principiul indiferenței. În plus, în lucrarea sa din 2013, „The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical”, Darrell R. Robottom arată că toate hotărârile propuse nu au nimic de-a face cu propria sa întrebare. Așa că s-a dovedit că paradoxul ar fi mult mai dificil de rezolvat decât se credea anterior.
Shackel subliniază că până acum mulți oameni de știință și oameni departe de știință au încercat să rezolve paradoxul lui Bertrand. Este încă depășit cu ajutorul a două abordări diferite.
Cele în care s-a luat în considerare diferența dintre problemele neechivalente și cele în care problema a fost întotdeauna considerată corectă. Shackel îl citează pe Louis în cărțile saleMarinoff (ca exponent tipic al strategiei de diferențiere) și Edwin Jaynes (ca autor al unei teorii bine gândite).
Totuși, în lucrarea lor recentă Solving a Complex Problem, Diederik Aerts și Massimiliano Sassoli de Bianchi consideră că, pentru a rezolva paradoxul Bertrand, premisele trebuie căutate într-o strategie mixtă. Potrivit acestor autori, primul pas este rezolvarea problemei prin precizarea clară a naturii entității care este randomizată. Și numai după ce se face acest lucru, orice problemă poate fi considerată corectă. Asta crede Janes.
Deci principiul ignoranței maxime poate fi folosit pentru a o rezolva. În acest scop, și din moment ce problema nu precizează cum trebuie ales o coardă, principiul se aplică nu la nivelul diferitelor posibilități, ci la unul mult mai profund.
Selectare de piese
Această parte a problemei necesită calcularea unei meta-medii pe toate căile posibile, pe care autorii o numesc media universală. Pentru a face față acestui lucru, ei folosesc metoda discretizării. Inspirat de ceea ce se face în definirea legii probabilității în procesele Wiener. Rezultatul lor este în concordanță cu corolarul numeric al lui Jaynes, deși problema lor bine pusă diferă de cea a autorului original.
În economie și comerț, Paradoxul Bertrand, numit după creatorul său Joseph Bertrand, descrie o situație în care doi jucători (firme) ajung la un echilibru Nash. Când ambele firme stabilesc un preț egal cu costul marginal(MS).
Paradoxul lui Bertrand se bazează pe o premisă. Constă în faptul că în modele precum concurența Cournot, o creștere a numărului de firme este asociată cu convergența prețurilor cu costurile marginale. În aceste modele alternative, paradoxul lui Bertrand se află într-un oligopol al unui număr mic de firme care obțin profituri pozitive prin perceperea prețurilor peste costuri.
Pentru început, merită să presupunem că două firme A și B vând un produs omogen, fiecare având același cost de producție și distribuție. Rezultă că cumpărătorii aleg un produs numai pe baza prețului. Aceasta înseamnă că cererea este infinit elastică la preț. Nici A, nici B nu vor stabili un preț mai mare decât ceilalți, pentru că asta ar duce la prăbușirea întregului paradox lui Bertrand. Unul dintre participanții de pe piață va ceda concurentului său. Dacă stabilesc același preț, companiile vor împărți profiturile.
Pe de altă parte, dacă vreo firmă își scade prețul chiar și ușor, va obține întreaga piață și un randament semnificativ mai mare. Deoarece A și B știu acest lucru, fiecare va încerca să subcoteze concurent până când produsul se vinde cu profit economic zero.
Lucrările recente au arătat că poate exista un echilibru suplimentar în paradoxul strategiei mixte a lui Bertrand, cu profituri economice pozitive, cu condiția ca suma monopolului să fie infinită. În cazul profitului final, s-a arătat că o creștere pozitivă în concurența prețurilor este imposibilă în echilibre mixte și chiar în cazul mai general.sisteme corelate.
De fapt, paradoxul lui Bertrand în economie este rar observat în practică, deoarece produsele reale sunt aproape întotdeauna diferențiate în alt mod decât preț (de exemplu, plătirea excesivă pentru o etichetă). Firmele au limite în ceea ce privește capacitatea de a produce și de a distribui. Acesta este motivul pentru care două companii au rareori aceleași costuri.
Rezultatul lui Bertrand este paradoxal deoarece, dacă numărul de firme crește de la una la două, prețul scade de la monopol la competitiv și rămâne la același nivel cu numărul de firme care cresc ulterior. Acest lucru nu este foarte realist, deoarece, în realitate, piețele cu puține firme cu putere de piață au tendința de a percepe prețuri peste costul marginal. Analiza empirică arată că majoritatea industriilor cu doi concurenți generează profituri pozitive.
În lumea modernă, oamenii de știință încearcă să găsească soluții la paradoxul care sunt mai în concordanță cu modelul de competiție Cournot. În cazul în care două firme de pe o piață realizează profituri pozitive care se situează undeva între nivelul perfect competitiv și cel al monopolului.
Câteva motive pentru care paradoxul lui Bertrand nu este direct legat de economie:
- Limite de capacitate. Uneori, firmele nu au capacitatea suficientă pentru a satisface întreaga cerere. Acest punct a fost ridicat pentru prima dată de Francis Edgeworth și a dat naștere modelului Bertrand-Edgeworth.
- Prețuri întregi. Prețurile peste MC sunt excluse deoarece o firmă poate subcota o alta la întâmplare.o suma mica. Dacă prețurile sunt discrete (de exemplu, ele trebuie să ia valori întregi), atunci o firmă trebuie să o cotească pe ceal altă cu cel puțin o rublă. Aceasta înseamnă că valoarea monedei mici este peste MC. Dacă o altă firmă îi stabilește prețul mai mare, o altă firmă îl poate scădea și capta întreaga piață, paradoxul lui Bertrand constă tocmai în asta. Nu-i va aduce niciun profit. Această companie va prefera să împartă vânzările 50/50 cu o altă firmă și să primească un venit pur pozitiv.
- Diferentierea produselor. Dacă produsele diferitelor firme diferă unele de altele, este posibil ca consumatorii să nu treacă complet la produse cu un preț mai mic.
- Competiție dinamică. Interacțiunea repetată sau concurența repetată a prețurilor poate duce la un echilibru al valorii.
- Mai multe articole pentru o sumă mai mare. Aceasta rezultă din interacțiunea repetată. Dacă o companie își stabilește prețul puțin mai mare, va obține în continuare aproximativ același număr de achiziții, dar mai mult profit pe articol. Prin urmare, ceal altă companie își va crește markup etc. (Numai în reluări, altfel dinamica merge în ceal altă direcție).
Oligopol
Dacă două companii pot conveni asupra unui preț, este în interesul lor pe termen lung să păstreze acordul: veniturile din reducerea valorii sunt mai puțin de două ori veniturile obținute din respectarea acordului și durează doar până când ceal altă firmă își reduce prețuri proprii.
Teorieprobabilitățile (ca și restul matematicii) este de fapt o invenție recentă. Și dezvoltarea nu a fost lină. Primele încercări de a oficializa calculul probabilității au fost făcute de marchizul de Laplace, care a propus definirea conceptului ca raportul dintre numărul de evenimente care duc la un rezultat.
Acest lucru, desigur, are sens numai dacă numărul tuturor evenimentelor posibile este finit. Și, în plus, toate evenimentele sunt la fel de probabile.
Astfel, la acea vreme, aceste concepte păreau să nu aibă o bază solidă. Încercările de a extinde definiția la cazul unui număr infinit de evenimente au dus la dificultăți și mai mari. Paradoxul lui Bertrand este o astfel de descoperire care i-a făcut pe matematicieni să se ferească de întregul concept de probabilitate.
