În 1900, unul dintre cei mai mari oameni de știință ai secolului trecut, David Hilbert, a întocmit o listă cu 23 de probleme nerezolvate din matematică. Munca asupra lor a avut un impact extraordinar asupra dezvoltării acestei zone a cunoașterii umane. 100 de ani mai târziu, Institutul de Matematică Clay a prezentat o listă de 7 probleme cunoscute sub numele de Problemele Mileniului. Fiecare dintre ei a primit un premiu de 1 milion USD.
Singura problemă care a apărut printre ambele liste de puzzle-uri care bântuie oamenii de știință de mai bine de un secol a fost ipoteza Riemann. Încă așteaptă decizia ei.
Scurtă notă biografică
Georg Friedrich Bernhard Riemann s-a născut în 1826 la Hanovra, într-o familie numeroasă a unui pastor sărac, și a trăit doar 39 de ani. A reușit să publice 10 lucrări. Cu toate acestea, deja în timpul vieții sale, Riemann a fost considerat succesorul profesorului său Johann Gauss. La vârsta de 25 de ani, tânărul om de știință și-a susținut disertația „Fundamentals of the theory of functions of a complex variable”. Mai târziu a formulatcelebra lui ipoteză.
Numere prime
Matematica a apărut când omul a învățat să numere. În același timp, au apărut primele idei despre numere, pe care au încercat ulterior să le clasifice. S-a observat că unele dintre ele au proprietăți comune. În special, dintre numerele naturale, adică cele care au fost folosite la numărarea (numerotarea) sau la desemnarea numărului de obiecte, se distingea un grup care era divizibil doar cu unul și prin ele însele. Ele sunt numite simple. O demonstrație elegantă a teoremei infinitului a mulțimii de astfel de numere a fost dată de Euclid în Elementele sale. Momentan, căutarea lor continuă. În special, cel mai mare număr deja cunoscut este 274 207 281 – 1.
Formula Euler
Alaturi de conceptul de infinitate a multimii primelor, Euclid a determinat si cea de-a doua teorema despre singura descompunere posibila in factori primi. Potrivit acestuia, orice număr întreg pozitiv este produsul unui singur set de numere prime. În 1737, marele matematician german Leonhard Euler a exprimat prima teoremă a infinitului a lui Euclid ca formula de mai jos.
Se numește funcție zeta, unde s este o constantă și p ia toate valorile prime. Afirmația lui Euclid despre unicitatea expansiunii a rezultat direct din aceasta.
Funcția Riemann Zeta
Formula lui Euler, la o inspecție mai atentă, este completăsurprinzător deoarece definește relația dintre numere prime și numere întregi. La urma urmei, infinitate expresii care depind doar de numere prime sunt înmulțite pe partea stângă, iar suma asociată tuturor numerelor întregi pozitive este situată în dreapta.
Riemann a mers mai departe decât Euler. Pentru a găsi cheia problemei distribuției numerelor, el a propus definirea unei formule atât pentru variabile reale, cât și pentru variabile complexe. Ea a fost cea care a primit ulterior numele funcției zeta Riemann. În 1859, omul de știință a publicat un articol intitulat „Despre numărul de numere prime care nu depășesc o valoare dată”, unde și-a rezumat toate ideile.
Riemann a sugerat utilizarea seriei Euler, care converge pentru orice s>1 real. Dacă se folosește aceeași formulă pentru complexul s, atunci seria va converge pentru orice valoare a acestei variabile cu o parte reală mai mare decât 1. Riemann a aplicat procedura de continuare analitică, extinzând definiția zeta(lor) la toate numerele complexe, dar „aruncat” unitatea. A fost exclus deoarece la s=1 funcția zeta crește la infinit.
Simț practic
Apare o întrebare logică: de ce este interesantă și importantă funcția zeta, care este cheia în munca lui Riemann asupra ipotezei nule? După cum știți, în acest moment nu a fost identificat un model simplu care să descrie distribuția numerelor prime între numerele naturale. Riemann a reușit să descopere că numărul pi(x) al primelor care nu a depășit x este exprimat în termeni de distribuție a zerourilor netriviale ale funcției zeta. Mai mult, ipoteza Riemann esteo condiție necesară pentru demonstrarea estimărilor de timp pentru funcționarea unor algoritmi criptografici.
Ipoteza Riemann
Una dintre primele formulări ale acestei probleme matematice, care nu a fost dovedită până în zilele noastre, sună astfel: funcțiile zeta netriviale 0 sunt numere complexe cu partea reală egală cu ½. Cu alte cuvinte, ele sunt situate pe linia Re s=½.
Există și o ipoteză Riemann generalizată, care este aceeași afirmație, dar pentru generalizări ale funcțiilor zeta, care sunt denumite în mod obișnuit funcții L-Dirichlet (vezi fotografia de mai jos).
În formula χ(n) - un caracter numeric (modulo k).
Afirmația riemanniană este considerată așa-numita ipoteză nulă, deoarece a fost testată pentru coerența cu datele eșantionului existente.
Așa cum a susținut Riemann
Remarca matematicianului german a fost formulată inițial destul de lejer. Cert este că la acea vreme omul de știință urma să demonstreze teorema privind distribuția numerelor prime și, în acest context, această ipoteză nu avea o importanță deosebită. Cu toate acestea, rolul său în rezolvarea multor alte probleme este enorm. De aceea, presupunerea lui Riemann este acum recunoscută de mulți oameni de știință drept cea mai importantă dintre problemele matematice nedovedite.
Așa cum sa menționat deja, ipoteza Riemann completă nu este necesară pentru a demonstra teorema distribuției și este suficient să justificăm logic că partea reală a oricărui zero netrivial al funcției zeta este înîntre 0 și 1. Din această proprietate rezultă că suma tuturor 0-urilor funcției zeta care apare în formula exactă de mai sus este o constantă finită. Pentru valori mari ale lui x, acesta poate fi pierdut cu totul. Singurul membru al formulei care rămâne același chiar și pentru x foarte mare este x însuși. Termenii complexi rămași dispar asimptotic în comparație cu ei. Deci suma ponderată tinde spre x. Această împrejurare poate fi considerată o confirmare a adevărului teoremei privind distribuția numerelor prime. Astfel, zerourile funcției zeta Riemann au un rol deosebit. Constă în a demonstra că astfel de valori nu pot avea o contribuție semnificativă la formula de descompunere.
Adepți ai lui Riemann
Moartea tragică din cauza tuberculozei nu i-a permis acestui om de știință să-și ducă programul la finalul logic. Cu toate acestea, Sh-Zh a preluat locul de la el. de la Vallée Poussin și Jacques Hadamard. Independent unul de celăl alt, au dedus o teoremă privind distribuția numerelor prime. Hadamard și Poussin au reușit să demonstreze că toate funcțiile zeta non-triviale 0 se află în banda critică.
Datorită muncii acestor oameni de știință, a apărut o nouă direcție în matematică - teoria analitică a numerelor. Mai târziu, mai multe dovezi primitive ale teoremei la care lucra Riemann au fost obținute de alți cercetători. În special, Pal Erdős și Atle Selberg au descoperit chiar și un lanț logic foarte complex care o confirmă, care nu necesita utilizarea unei analize complexe. Cu toate acestea, până în acest moment, câteva importanteteoreme, inclusiv aproximări ale multor funcții ale teoriei numerelor. În acest sens, noua lucrare a lui Erdős și Atle Selberg practic nu a afectat nimic.
Una dintre cele mai simple și mai frumoase dovezi ale problemei a fost găsită în 1980 de Donald Newman. S-a bazat pe celebra teoremă Cauchy.
Ipoteza riemanniană amenință bazele criptografiei moderne
Criptarea datelor a apărut odată cu apariția hieroglifelor, mai exact, ele însele pot fi considerate primele coduri. În acest moment, există o întreagă zonă de criptografie digitală, care dezvoltă algoritmi de criptare.
Numerele prime și „semiprime”, adică cele care sunt divizibile doar cu alte 2 numere din aceeași clasă, formează baza sistemului de chei publice cunoscut sub numele de RSA. Are cea mai largă aplicație. În special, este utilizat la generarea unei semnături electronice. Vorbind în termeni accesibili maninilor, ipoteza Riemann afirmă existența unui sistem în distribuția numerelor prime. Astfel, puterea cheilor criptografice, de care depinde securitatea tranzacțiilor online în domeniul comerțului electronic, este semnificativ redusă.
Alte probleme de matematică nerezolvate
Merită să închei articolul dedicând câteva cuvinte altor ținte ale mileniului. Acestea includ:
- Egalitatea claselor P și NP. Problema este formulată după cum urmează: dacă un răspuns pozitiv la o anumită întrebare este verificat în timp polinomial, atunci este adevărat că răspunsul la această întrebare însușipoate fi găsit rapid?
- Conjectura lui Hodge. Cu cuvinte simple, poate fi formulat după cum urmează: pentru unele tipuri de varietăți (spații) algebrice proiective, ciclurile Hodge sunt combinații de obiecte care au o interpretare geometrică, adică cicluri algebrice.
- Conjectura lui Poincaré. Aceasta este singura provocare a mileniului care a fost dovedită până acum. Potrivit acesteia, orice obiect tridimensional care are proprietățile specifice unei sfere tridimensionale trebuie să fie o sferă, până la deformare.
- Afirmarea teoriei cuantice a lui Yang - Mills. Este necesar să se demonstreze că teoria cuantică propusă de acești oameni de știință pentru spațiul R 4 există și are un defect de masă 0 pentru orice grup simplu de gabarit compact G.
- Ipoteza Birch-Swinnerton-Dyer. Aceasta este o altă problemă legată de criptografie. Atinge curbele eliptice.
- Problema existenței și netezirii soluțiilor la ecuațiile Navier-Stokes.
Acum cunoașteți ipoteza Riemann. În termeni simpli, am formulat câteva dintre celel alte provocări ale mileniului. Că vor fi rezolvate sau se va dovedi că nu au soluție este o chestiune de timp. În plus, este puțin probabil ca acest lucru să aștepte prea mult, deoarece matematica folosește din ce în ce mai mult capacitățile de calcul ale computerelor. Cu toate acestea, nu totul este supus tehnologiei și, în primul rând, intuiția și creativitatea sunt necesare pentru a rezolva probleme științifice.
