Studiul proprietăților stării agregatelor gazoase a materiei este unul dintre domeniile importante ale fizicii moderne. Considerând gazele la scară microscopică, se pot obține toți parametrii macroscopici ai sistemului. Acest articol va dezvălui o problemă importantă a teoriei cinetice moleculare a gazelor: care este distribuția Maxwell a moleculelor în termeni de viteze.
Context istoric
Ideea gazului ca sistem de particule microscopice în mișcare și-a luat naștere în Grecia antică. A fost nevoie de mai mult de 1700 de ani pentru ca știința să-l dezvolte.
Fondatorul teoriei molecular-cinetice moderne (MKT) a gazului este corect să ia în considerare Daniil Bernoulli. În 1738 a publicat o lucrare numită „Hidrodinamică”. În ea, Bernoulli a subliniat ideile MKT care au fost folosite până în prezent. Deci, omul de știință credea că gazele sunt compuse din particule care se mișcă aleatoriu în toate direcțiile. Numeroase ciocniriparticulele cu pereții vasului sunt percepute ca prezența presiunii în gaze. Vitezele particulelor sunt strâns legate de temperatura sistemului. Comunitatea științifică nu a acceptat ideile îndrăznețe ale lui Bernoulli, deoarece legea conservării energiei nu fusese încă stabilită.
Ulterior, mulți oameni de știință s-au angajat în construirea unui model cinetic al gazelor. Printre acestea, trebuie remarcat Rudolf Clausius, care în 1857 a creat un model simplu de gaz. În ea, omul de știință a acordat o atenție deosebită prezenței gradelor de libertate de translație, rotație și vibrație în molecule.
În 1859, studiind lucrările lui Clausius, James Maxwell a formulat așa-numita distribuție Maxwell asupra vitezelor moleculare. De fapt, Maxwell a confirmat ideile MKT, susținându-le cu un aparat matematic. Ulterior, Ludwig Boltzmann (1871) a generalizat concluziile distribuției Maxwell. El a postulat o distribuție statistică mai generală a moleculelor în funcție de viteze și energii. În prezent este cunoscută drept distribuția Maxwell-Boltzmann.
Gaz ideal. Postulatele de bază ale ILC
Pentru a înțelege ce este funcția de distribuție Maxwell, trebuie să înțelegeți clar sistemele pentru care se aplică această funcție. Vorbim despre un gaz ideal. În fizică, acest concept este înțeles ca o substanță fluidă, care constă din particule practic adimensionale care nu au energie potențială. Aceste particule se mișcă la viteze mari, astfel încât comportamentul lor este complet determinat de energia cinetică. În plus, distanțele dintre particule sunt prea mari pentrucomparativ cu dimensiunile lor, astfel că acestea din urmă sunt neglijate.
Gazele ideale sunt descrise în MKT. Principalele sale postulate sunt următoarele:
Sistemele cu gaz
Legea de distribuție a lui Maxwell
Dacă o persoană ar avea un instrument cu care să fie posibilă măsurarea vitezei unei singure molecule de gaz, atunci, după efectuarea unui experiment adecvat, ar fi surprins. Experimentul ar arăta că fiecare moleculă a oricărui sistem gazos se mișcă cu o viteză complet arbitrară. În acest caz, în cadrul unui sistem aflat în echilibru termic cu mediul, ar fi detectate atât molecule foarte lente, cât și foarte rapide.
Legea lui Maxwell a distribuției vitezei moleculelor de gaz este un instrument care vă permite să determinați probabilitatea de a detecta particule cu o anumită viteză v în sistemul studiat. Funcția corespunzătoare arată astfel:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
În această expresie, m -masa particulei (moleculei), k - constanta lui Boltzmann, T - temperatura absolută. Astfel, dacă natura chimică a particulelor (valoarea lui m) este cunoscută, atunci funcția f(v) este determinată în mod unic de temperatura absolută. Funcția f(v) se numește densitate de probabilitate. Dacă luăm integrala din aceasta pentru o anumită limită de viteză (v; v+dv), atunci obținem numărul de particule Ni, care au viteze în intervalul specificat. În consecință, dacă luăm integrala densității de probabilitate f(v) pentru limitele de viteză de la 0 la ∞, atunci obținem numărul total de molecule N din sistem.
Reprezentare grafică a densității de probabilitate f(v)
Funcția de densitate de probabilitate are o formă matematică oarecum complexă, deci nu este ușor să-și reprezinte comportamentul la o anumită temperatură. Această problemă poate fi rezolvată dacă o reprezentați pe un grafic bidimensional. O vedere schematică a graficului de distribuție Maxwell este prezentată mai jos în figură.
Vedem că începe de la zero, deoarece viteza v a moleculelor nu poate avea valori negative. Graficul se termină undeva în regiunea vitezelor mari, scăzând ușor la zero (f(∞)->0). Următoarea caracteristică este, de asemenea, izbitoare: curba netedă este asimetrică, scade mai brusc pentru viteze mici.
O caracteristică importantă a comportamentului funcției de densitate de probabilitate f(v) este prezența unui maxim pronunțat pe aceasta. După semnificația fizică a funcției, acest maxim corespunde celei mai probabile valori a vitezelor moleculelor din gaz.sistem.
Viteze importante pentru funcția f(v)
Funcția de densitate de probabilitate f(v) și reprezentarea sa grafică ne permit să definim trei tipuri importante de viteză.
Primul tip de viteză care este evident și care a fost menționat mai sus este viteza cea mai probabilă v1. Pe grafic, valoarea acestuia corespunde maximului funcției f(v). Această viteză și valorile apropiate de aceasta vor avea cele mai multe dintre particulele sistemului. Nu este greu de calculat, pentru aceasta este suficient să luăm prima derivată în raport cu viteza funcției f(v) și să o echivalăm cu zero. Ca rezultat al acestor operații matematice, obținem rezultatul final:
v1=√(2RT/M).
Aici R este constanta universală a gazului, M este masa molară a moleculelor.
Al doilea tip de viteză este valoarea medie pentru toate N particulele. Să-l notăm v2. Poate fi calculat prin integrarea funcției vf(v) peste toate vitezele. Rezultatul integrării notate va fi următoarea formulă:
v2=√(8RT/(piM)).
Deoarece raportul este 8/pi>2, viteza medie este întotdeauna puțin mai mare decât cea mai probabilă.
Orice persoană care știe puțin despre fizică înțelege că viteza medie v2 a moleculelor trebuie să fie de mare importanță într-un sistem de gaze. Cu toate acestea, aceasta este o presupunere eronată. Mult mai importantă este viteza RMS. Să o notămv3.
Conform definiției, viteza pătrată medie este suma pătratelor vitezelor individuale ale tuturor particulelor, împărțită la numărul acestor particule și luată ca rădăcină pătrată. Poate fi calculată pentru distribuția Maxwell dacă definim integrala pentru toate vitezele funcției v2f(v). Formula pentru viteza medie pătratică va lua forma:
v3=√(3RT/M).
Egalitatea arată că această viteză este mai mare decât v2 și v1 pentru orice sistem de gaz.
Astfel, toate tipurile de viteze luate în considerare pe graficul de distribuție Maxwell se află fie la extrem, fie în dreapta acestuia.
Importanța v3
S-a menționat mai sus că viteza pătrată medie este mai importantă pentru înțelegerea proceselor fizice și a proprietăților unui sistem de gaz decât viteza medie simplă v2. Acest lucru este adevărat, deoarece energia cinetică a unui gaz ideal depinde tocmai de v3 și nu de v2.
Dacă luăm în considerare un gaz ideal monoatomic, atunci următoarea expresie este adevărată pentru el:
mv32/2=3/2kT.
Aici, fiecare parte a ecuației reprezintă energia cinetică a unei particule de masă m. De ce expresia conține exact valoarea v3 și nu viteza medie v2? Foarte simplu: atunci când se determină energia cinetică a fiecărei particule, viteza sa individuală v este la pătrat, apoi toate vitezelesunt adăugate și împărțite la numărul de particule N. Adică, procedura de determinare a energiei cinetice în sine conduce la valoarea vitezei pătrate medii.
Dependența funcției f(v) de temperatură
Am stabilit mai sus că densitatea de probabilitate a vitezelor moleculare depinde în mod unic de temperatură. Cum se va schimba funcția dacă T crește sau scade? Tabelul de mai jos vă va ajuta să răspundeți la această întrebare.
Se poate observa că încălzirea sistemului închis duce la decolorarea vârfului și la deplasarea acestuia către viteze mai mari. O creștere a temperaturii duce la o creștere a tuturor tipurilor de viteze și la o scădere a densității de probabilitate a fiecăreia dintre ele. Valoarea de vârf scade din cauza conservării numărului de particule N într-un sistem închis.
În continuare, vom rezolva câteva probleme pentru a consolida materialul teoretic primit.
Problemă cu moleculele de azot din aer
Este necesar să se calculeze vitezele v1, v2 și v3 pentru azot din aer la o temperatură de 300 K (aproximativ 27 oC).
Masa molară a azotului N2 este de 28 g/mol. Folosind formulele de mai sus, obținem:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problemă cu rezervorul de oxigen
Oxigenul din cilindru era la o anumită temperatură T1. Apoi balonul a fost plasat într-o cameră mai rece. Cum se va schimba diagrama de distribuție a vitezei Maxwell pentru moleculele de oxigen atunci când sistemul ajunge la echilibrul termodinamic?
Reținându-ne teoria, putem răspunde la întrebarea problemei în acest fel: valorile tuturor tipurilor de viteze ale moleculelor vor scădea, vârful funcției f(v) se va deplasa la stânga, devin mai înguste și mai în alte.
