Cred că ar trebui să începem cu istoria unui instrument matematic atât de glorios precum ecuațiile diferențiale. La fel ca orice calcul diferențial și integral, aceste ecuații au fost inventate de Newton la sfârșitul secolului al XVII-lea. El a considerat chiar această descoperire a lui atât de importantă încât a criptat chiar mesajul, care astăzi poate fi tradus cam așa: „Toate legile naturii sunt descrise prin ecuații diferențiale”. Poate părea o exagerare, dar este adevărat. Orice lege a fizicii, chimiei, biologiei poate fi descrisă prin aceste ecuații.
Matematicienii Euler și Lagrange au adus o contribuție uriașă la dezvoltarea și crearea teoriei ecuațiilor diferențiale. Deja în secolul al XVIII-lea, ei au descoperit și dezvoltat ceea ce studiază acum în cursurile de nivel superior ale universităților.
O nouă piatră de hotar în studiul ecuațiilor diferențiale a început datorită lui Henri Poincare. El a creat o „teorie calitativă a ecuațiilor diferențiale”, care, în combinație cu teoria funcțiilor unei variabile complexe, a adus o contribuție semnificativă la fundamentul topologiei - știința spațiului și a acesteia.proprietăți.
Ce sunt ecuațiile diferențiale?
Mulți oameni se tem de o singură expresie „ecuație diferențială”. Cu toate acestea, în acest articol vom detalia întreaga esență a acestui aparat matematic foarte util, care de fapt nu este atât de complicat pe cât pare din nume. Pentru a începe să vorbim despre ecuații diferențiale de ordinul întâi, ar trebui să vă familiarizați mai întâi cu conceptele de bază care sunt legate în mod inerent de această definiție. Și vom începe cu diferența.
Diferenţial
Mulți cunosc acest concept de la școală. Cu toate acestea, să aruncăm o privire mai atentă la el. Imaginează-ți un grafic al unei funcții. Îl putem crește în așa măsură încât oricare dintre segmentele sale va lua forma unei linii drepte. Pe el luăm două puncte care sunt infinit aproape unul de celăl alt. Diferența dintre coordonatele lor (x sau y) va fi o valoare infinitezimală. Se numește diferențial și este notat prin semnele dy (diferențial de la y) și dx (diferențial de la x). Este foarte important să înțelegeți că diferența nu este o valoare finită, iar acesta este semnificația și funcția sa principală.
Și acum trebuie să luăm în considerare următorul element, care ne va fi util în explicarea conceptului de ecuație diferențială. Acesta este derivatul.
Derivată
Toți am auzit probabil la școală și acest concept. Se spune că derivată este rata de creștere sau scădere a unei funcții. Totuși, din această definițiemulte devin neclare. Să încercăm să explicăm derivata în termeni de diferenţiale. Să revenim la un segment infinitezimal al unei funcții cu două puncte care sunt la o distanță minimă unul de celăl alt. Dar chiar și pentru această distanță, funcția reușește să se schimbe într-o anumită sumă. Și pentru a descrie această schimbare, au venit cu o derivată, care altfel poate fi scrisă ca raport al diferențialelor: f(x)'=df/dx.
Acum merită să luăm în considerare proprietățile de bază ale derivatului. Sunt doar trei:
- Derivata sumei sau a diferenței poate fi reprezentată ca sumă sau diferență de derivate: (a+b)'=a'+b' și (a-b)'=a'-b'.
- A doua proprietate este legată de înmulțire. Derivata unui produs este suma produselor unei functii si derivata alteia: (ab)'=a'b+ab'.
- Derivata diferenței poate fi scrisă ca următoarea egalitate: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Toate aceste proprietăți vor fi utile pentru a găsi soluții la ecuații diferențiale de ordinul întâi.
Există și derivate parțiale. Să presupunem că avem o funcție z care depinde de variabilele x și y. Pentru a calcula derivata parțială a acestei funcții, să spunem, în raport cu x, trebuie să luăm variabila y ca o constantă și să diferențiem pur și simplu.
Integral
Un alt concept important este integrala. De fapt, acesta este direct opusul derivatului. Există mai multe tipuri de integrale, dar pentru a rezolva cele mai simple ecuații diferențiale, avem nevoie de cele mai banale integrale nedefinite.
Deci, ce este o integrală? Să presupunem că avem o oarecare dependență fdin x. Luăm integrala din ea și obținem funcția F (x) (deseori numită antiderivată), a cărei derivată este egală cu funcția originală. Astfel F(x)'=f(x). De asemenea, rezultă din aceasta că integrala derivatei este egală cu funcția originală.
Când rezolvați ecuații diferențiale, este foarte important să înțelegeți semnificația și funcția integralei, deoarece va trebui să le luați foarte des pentru a găsi soluția.
Ecuațiile sunt diferite în funcție de natura lor. În secțiunea următoare, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale de ordinul întâi și apoi vom învăța cum să le rezolvăm.
Clase de ecuații diferențiale
„Difury” sunt împărțite în funcție de ordinea derivatelor implicate în ele. Astfel, există prima, a doua, a treia și mai multă ordine. Ele pot fi, de asemenea, împărțite în mai multe clase: derivate obișnuite și parțiale.
În acest articol vom lua în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite de ordinul întâi. Vom discuta, de asemenea, exemple și modalități de a le rezolva în secțiunile următoare. Vom lua în considerare numai EDO, deoarece acestea sunt cele mai comune tipuri de ecuații. Obișnuite sunt împărțite în subspecii: cu variabile separabile, omogene și eterogene. În continuare, veți afla cum diferă între ele și cum să le rezolvați.
În plus, aceste ecuații pot fi combinate, astfel încât după obținem un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi. De asemenea, vom lua în considerare astfel de sisteme și vom afla cum să le rezolvăm.
De ce luăm în considerare doar prima comandă? Pentru că trebuie să începeți cu unul simplu și să descrieți tot ce este legat de diferențialecuații, într-un articol este pur și simplu imposibil.
Ecuații variabile separabile
Acestea sunt probabil cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi. Acestea includ exemple care pot fi scrise astfel: y'=f(x)f(y). Pentru a rezolva această ecuație, avem nevoie de o formulă de reprezentare a derivatei ca raport al diferenţialelor: y'=dy/dx. Folosind-o, obținem următoarea ecuație: dy/dx=f(x)f(y). Acum putem trece la metoda de rezolvare a exemplelor standard: vom împărți variabilele în părți, adică vom transfera totul cu variabila y în partea în care se află dy și vom face același lucru cu variabila x. Obținem o ecuație de forma: dy/f(y)=f(x)dx, care se rezolvă luând integralele ambelor părți. Nu uitați de constanta care trebuie setată după luarea integralei.
Soluția oricărei „difuzații” este o funcție a dependenței lui x de y (în cazul nostru) sau, dacă există o condiție numerică, atunci răspunsul este sub forma unui număr. Să analizăm întregul curs al soluției folosind un exemplu specific:
y'=2ysin(x)
Mutați variabilele în direcții diferite:
dy/y=2sin(x)dx
Acum luăm integralele. Toate acestea pot fi găsite într-un tabel special de integrale. Și obținem:
ln(y)=-2cos(x) + C
Dacă este necesar, putem exprima „y” în funcție de „x”. Acum putem spune că ecuația noastră diferențială este rezolvată dacă nu este dată nicio condiție. O condiție poate fi dată, de exemplu, y(n/2)=e. Apoi pur și simplu substituim valoarea acestor variabile în soluție șigăsiți valoarea constantei. În exemplul nostru, este egal cu 1.
Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi
Acum la partea mai dificilă. Ecuațiile diferențiale omogene de ordinul întâi pot fi scrise în formă generală astfel: y'=z(x, y). Trebuie remarcat faptul că funcția corectă a două variabile este omogenă și nu poate fi împărțită în două dependențe: z pe x și z pe y. Verificarea dacă ecuația este omogenă sau nu este destul de simplă: facem substituția x=kx și y=ky. Acum anulăm toate k. Dacă toate aceste litere sunt reduse, atunci ecuația este omogenă și puteți proceda în siguranță la rezolvarea acesteia. Privind în viitor, să spunem: principiul rezolvării acestor exemple este, de asemenea, foarte simplu.
Trebuie să facem o substituție: y=t(x)x, unde t este o funcție care depinde și de x. Atunci putem exprima derivata: y'=t'(x)x+t. Înlocuind toate acestea în ecuația noastră originală și simplificând-o, obținem un exemplu cu variabile separabile t și x. O rezolvăm și obținem dependența t(x). Când l-am primit, pur și simplu înlocuim y=t(x)x în înlocuirea noastră anterioară. Apoi obținem dependența lui y de x.
Pentru a fi mai clar, să ne uităm la un exemplu: xy'=y-xey/x.
La verificarea cu înlocuire, totul este redus. Deci ecuația este într-adevăr omogenă. Acum facem o altă substituție despre care am vorbit: y=t(x)x și y'=t'(x)x+t(x). După simplificare, obținem următoarea ecuație: t'(x)x=-et. Rezolvăm exemplul rezultat cu variabile separate și obținem: e-t=ln(Cx). Trebuie doar să înlocuim t cu y/x (la urma urmei, dacă y=tx, atunci t=y/x) și obținemrăspuns: e-y/x=ln(xC).
Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi
Este timpul pentru un alt subiect mare. Vom analiza ecuații diferențiale neomogene de ordinul întâi. Cu ce sunt diferite de cele două anterioare? Să ne dăm seama. Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi în formă generală pot fi scrise astfel: y' + g(x)y=z(x). Merită să clarificăm faptul că z(x) și g(x) pot fi constante.
Și acum un exemplu: y' - yx=x2.
Există două moduri de a o rezolva și ne vom ocupa de ambele în ordine. Prima este metoda de variație a constantelor arbitrare.
Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie mai întâi să echivalezi partea dreaptă cu zero și să rezolvi ecuația rezultată, care după mutarea părților va lua forma:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Acum trebuie să înlocuim constanta C1 cu funcția v(x) pe care trebuie să o găsim.
y=vex2/2.
Să schimbăm derivatul:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Și înlocuiți aceste expresii în ecuația originală:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Puteți vedea că doi termeni se anulează în partea stângă. Dacă într-un exemplu nu s-a întâmplat acest lucru, atunci ai greșit ceva. Continuați:
v'ex2/2 =x2.
Acum rezolvăm ecuația obișnuită în care trebuie să separăm variabilele:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Pentru a extrage integrala, trebuie să aplicăm aici integrarea pe părți. Cu toate acestea, acesta nu este subiectul articolului nostru. Dacă sunteți interesat, puteți învăța singur cum să efectuați astfel de acțiuni. Nu este dificil și cu suficientă îndemânare și atenție nu necesită mult timp.
Să trecem la a doua metodă de rezolvare a ecuațiilor neomogene: metoda Bernoulli. Ce abordare este mai rapidă și mai ușoară depinde de dvs.
Deci, atunci când rezolvăm ecuația prin această metodă, trebuie să facem o înlocuire: y=kn. Aici k și n sunt câteva funcții dependente de x. Atunci derivata va arăta astfel: y'=k'n+kn'. Înlocuiți ambele substituții în ecuația:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grup:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Acum trebuie să echivalăm cu zero ceea ce este între paranteze. Acum, dacă combinați cele două ecuații rezultate, obțineți un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi pe care trebuie să le rezolvați:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Prima egalitate este rezolvată ca o ecuație normală. Pentru a face acest lucru, trebuie să separați variabilele:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Luați integrala și obțineți: ln(n)=x2/2. Atunci, dacă exprimăm n:
n=ex2/2.
Acum înlocuim egalitatea rezultată în a doua ecuație a sistemului:
k'ex2/2=x2.
Și transformând, obținem aceeași egalitate ca în prima metodă:
dk=x2/ex2/2.
Nu vom intra nici în pași suplimentari. Merită spus că la început rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi provoacă dificultăți semnificative. Cu toate acestea, pe măsură ce vă aprofundați în subiect, acesta începe să devină din ce în ce mai bun.
Unde sunt folosite ecuațiile diferențiale?
Ecuațiile diferențiale sunt folosite foarte activ în fizică, deoarece aproape toate legile de bază sunt scrise sub formă diferențială, iar formulele pe care le vedem sunt soluția acestor ecuații. În chimie, ele sunt folosite din același motiv: legile de bază sunt derivate din ele. În biologie, ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a modela comportamentul sistemelor, cum ar fi prădător-pradă. Ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a crea modele de reproducere, de exemplu, a unei colonii de microorganisme.
Cum vor ajuta ecuațiile diferențiale în viață?
Răspunsul la această întrebare este simplu: în niciun caz. Dacă nu sunteți om de știință sau inginer, atunci este puțin probabil să vă fie de folos. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea generală, nu strica să știi ce este o ecuație diferențială și cum se rezolvă. Și apoi întrebarea unui fiu sau a unei fiice "ce este o ecuație diferențială?" nu te va deruta. Ei bine, dacă ești om de știință sau inginer, atunci tu însuți înțelegi importanța acestui subiect în orice știință. Dar cel mai important lucru este că acum întrebarea „cum se rezolvă o ecuație diferențială de ordinul întâi?” poți întotdeauna să răspunzi. De acord, întotdeauna e frumoscând înțelegi ceea ce oamenilor chiar le este frică să înțeleagă.
Probleme principale de învățare
Principala problemă în înțelegerea acestui subiect este slaba abilitate de integrare și diferențiere a funcțiilor. Dacă ești prost la a lua derivate și integrale, atunci probabil că ar trebui să înveți mai multe, să stăpânești diferite metode de integrare și diferențiere și abia apoi să începi să studiezi materialul care a fost descris în articol.
Unii oameni sunt surprinși când află că dx poate fi transferat, pentru că mai devreme (la școală) s-a afirmat că fracția dy/dx este indivizibilă. Aici trebuie să citiți literatura despre derivată și să înțelegeți că este raportul cantităților infinitezimale care poate fi manipulat la rezolvarea ecuațiilor.
Mulți nu realizează imediat că soluția ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi este adesea o funcție sau o integrală care nu poate fi luată, iar această iluzie le dă multe probleme.
Ce mai poate fi studiat pentru o mai bună înțelegere?
Cel mai bine este să începeți o imersiune suplimentară în lumea calculului diferențial cu manuale de specialitate, de exemplu, în calcul pentru studenții de specialități non-matematice. Apoi puteți trece la literatură mai specializată.
Trebuie spus că, pe lângă ecuațiile diferențiale, există și ecuații integrale, așa că veți avea întotdeauna la ce să vă străduiți și ceva de studiat.
Concluzie
Sperăm că după ce am cititAcest articol v-a dat o idee despre ce sunt ecuațiile diferențiale și despre cum să le rezolvați corect.
În orice caz, matematica ne va fi cumva de folos în viață. Dezvoltă logica și atenția, fără de care fiecare persoană este ca și fără mâini.
