Chiar și la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, cu siguranță, sistemele de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe moduri de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare, care constau din mai mult de două egalități.
Istorie
Astăzi se știe că arta de a rezolva ecuații și sistemele lor își are originea în Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor obișnuită au apărut după apariția semnului egal „= , care a fost introdus în 1556 de matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Într-adevăr, nu există un exemplu mai bun de egalitate.
Fondatorul desemnărilor moderne de litere ale necunoscutelor și al semnelor de grade este matematicianul francez Francois Viet. Cu toate acestea, desemnările sale diferă semnificativ de cele de astăzi. De exemplu, el a notat pătratul unui număr necunoscut cu litera Q (lat. „quadratus”), iar cubul cu litera C (lat. „cubus”). Aceste denumiri acum par incomode, dar atuncia fost cel mai înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.
Totuși, dezavantajul metodelor de soluție de atunci era că matematicienii considerau doar rădăcini pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valorile negative nu au avut nicio utilitate practică. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Rafael Bombelli au fost primii care au luat în considerare rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. Iar aspectul modern, principala metodă de rezolvare a ecuațiilor pătratice (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrării lui Descartes și Newton.
La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a găsit o nouă modalitate de a ușura rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost numită ulterior după el și o folosim până astăzi. Dar despre metoda Cramer vom vorbi puțin mai târziu, dar deocamdată vom discuta despre ecuații liniare și metode de rezolvare a acestora separat de sistem.
Ecuații liniare
Ecuațiile liniare sunt cele mai simple egalități cu variabilă(e). Ele sunt clasificate drept algebrice. Ecuațiile liniare sunt scrise în formă generală după cum urmează: 2+…a x =b. Vom avea nevoie de reprezentarea lor în această formă atunci când compilăm sisteme și matrici în continuare.
Sisteme de ecuații algebrice liniare
Definiția acestui termen este aceasta: este un set de ecuații care au necunoscute comune și o soluție comună. De regulă, la școală totul era decis de sistemecu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le notăm, astfel încât să fie convenabil să le rezolvăm mai târziu. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1, 2, 3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui reduse la forma canonică: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
După toți acești pași, putem începe să vorbim despre cum să găsim o soluție la sistemele de ecuații liniare. Matricele vor fi foarte utile pentru aceasta.
Matrice
O matrice este un tabel format din rânduri și coloane, iar elementele sale sunt situate la intersecția lor. Acestea pot fi fie valori specifice, fie variabile. Cel mai adesea, pentru a desemna elemente, sub acestea sunt plasate indicele (de exemplu, a11 sau a23). Primul index înseamnă numărul rândului, iar al doilea numărul coloanei. Pe matrice, precum și pe orice alt element matematic, puteți efectua diverse operații. Deci puteți:
1) Scădeți și adăugați tabele de aceeași dimensiune.
2) Înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector.
3) Transpunere: transformați rândurile matricei în coloane și coloanele în rânduri.
4) Înmulțiți matrice dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeil alte.
Vom discuta despre toate aceste tehnici mai detaliat, deoarece ne vor fi utile în viitor. Scăderea și adăugarea matricelor este foarte ușoară. Asa depe măsură ce luăm matrice de aceeași dimensiune, atunci fiecare element al unui tabel corespunde fiecărui element al altuia. Astfel, adunăm (scădem) aceste două elemente (important este ca ele să fie în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau vector, trebuie pur și simplu să înmulțiți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. Este foarte interesant uneori să-l vezi în viața reală, de exemplu, când schimbi orientarea unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop sunt o matrice, iar atunci când schimbați poziția, aceasta se transpune și devine mai lată, dar scade în înălțime.
Să aruncăm o altă privire asupra unui astfel de proces precum înmulțirea matriceală. Deși nu ne va fi de folos, va fi totuși util să-l cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celăl alt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Le înmulțim unul cu celăl alt și apoi le adăugăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a11 și a12 cu b 12și b22 vor fi egale cu: a11b12 + a 12 b22). Astfel, se obține un element al tabelului și acesta este completat în continuare printr-o metodă similară.
Acum putem începe să vedem cum este rezolvat sistemul de ecuații liniare.
Metoda Gauss
Acest subiect începe să treacă chiar și la școală. Cunoaștem bine conceptul de „sistem de două ecuații liniare” și știm să le rezolvăm. Dar ce se întâmplă dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Metoda Gauss ne va ajuta în acest sens.
Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă faceți o matrice din sistem. Dar nu o poți transforma și rezolva în forma sa cea mai pură.
Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare gaussiene? Apropo, deși această metodă poartă numele lui, a fost descoperită în antichitate. Gauss propune următoarele: să efectueze operații cu ecuații pentru a reduce eventual întregul set la o formă în trepte. Adică este necesar ca de sus în jos (dacă este plasat corect) de la prima ecuație până la ultima, o necunoscută să scadă. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima - trei necunoscute, în a doua - două, în a treia - una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia în a doua sau în prima ecuație și apoi găsim celel alte două variabile.
Metoda Cramer
Pentru a stăpâni această metodă, este vital să stăpânești abilitățile de adunare, scădere a matricelor și, de asemenea, trebuie să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă faci toate acestea prost sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.
Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare Cramer? Totul este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice din coeficienții numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu luați numerele în fața necunoscutelor și aranjați-letabel în ordinea în care sunt înregistrate în sistem. Dacă numărul este precedat de semnul „-”, atunci notăm un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice din coeficienții necunoscutelor, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la forma canonică, când numai numărul este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienții din stânga). Apoi trebuie să creați mai multe matrice - câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, înlocuim pe rând fiecare coloană cu coeficienți din prima matrice cu o coloană de numere după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi găsim determinanții acestora.
După ce am găsit determinanții, problema este mică. Avem o matrice inițială și există mai multe matrice rezultate care corespund unor variabile diferite. Pentru a obține soluțiile sistemului, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.
Alte metode
Există mai multe metode pentru a obține soluția sistemelor de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este folosită pentru a găsi soluții la un sistem de ecuații pătratice și este, de asemenea, asociată cu utilizarea matricelor. Există și o metodă Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este folosit în calcul.
Cazuri dificile
Complexitatea apare de obicei atunci când numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este inconsecvent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să scriem soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Va conține cel puțin o variabilă.
Concluzie
Aici ajungem la final. Pentru a rezuma: am analizat ce sunt un sistem și o matrice, am învățat cum să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, au fost luate în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum se rezolvă sistemul de ecuații liniare: metoda Gauss și metoda Cramer. Am vorbit despre cazuri dificile și despre alte modalități de a găsi soluții.
De fapt, acest subiect este mult mai amplu și, dacă doriți să-l înțelegeți mai bine, vă sfătuim să citiți mai multă literatură de specialitate.
