Una dintre cele mai dificile și de neînțeles subiecte ale matematicii universitare este integrarea și calculul diferențial. Trebuie să cunoașteți și să înțelegeți aceste concepte, precum și să le puteți aplica. Multe discipline tehnice universitare sunt legate de diferențiale și integrale.
Informații scurte despre ecuații
Aceste ecuații sunt unul dintre cele mai importante concepte matematice din sistemul educațional. O ecuație diferențială este o ecuație care leagă variabilele independente, funcția care trebuie găsită și derivatele acelei funcție de variabilele care se presupune că sunt independente. Calculul diferențial pentru găsirea unei funcții a unei variabile se numește obișnuit. Dacă funcția dorită depinde de mai multe variabile, atunci se vorbește de o ecuație cu diferență parțială.
De fapt, găsirea unui anumit răspuns la ecuație se reduce la integrare, iar metoda soluției este determinată de tipul de ecuație.
Ecuații de ordinul întâi
O ecuație diferențială de ordinul întâi este o ecuație care poate descrie o variabilă, o funcție dorită și derivata sa întâi. Astfel de ecuații pot fi date în trei forme: explicit, implicit, diferențial.
Concepte necesare pentru rezolvare
Condiție inițială - setarea valorii funcției dorite pentru o anumită valoare a unei variabile care este independentă.
Rezolvarea unei ecuații diferențiale - orice funcție diferențiabilă, exact substituită în ecuația originală, o transformă în egală identică. Soluția obținută, care nu este explicită, este integrala ecuației.
Soluția generală a ecuațiilor diferențiale este o funcție y=y(x;C), care poate satisface următoarele judecăți:
- O funcție poate avea o singură constantă arbitrară С.
- Funcția rezultată trebuie să fie o soluție a ecuației pentru orice valoare arbitrară a unei constante arbitrare.
- Cu o condiție inițială dată, o constantă arbitrară poate fi definită într-un mod unic, astfel încât soluția particulară rezultată să fie în concordanță cu condiția inițială inițială dată.
În practică, problema Cauchy este adesea folosită - găsirea unei soluții care este particulară și poate fi comparată cu condiția stabilită la început.
Teorema lui Cauchy este o teoremă care subliniază existența și unicitatea unei anumite soluții în calculul diferențial.
Sens geometric:
- Soluție generală y=y(x;C)ecuația este numărul total de curbe integrale.
- Calcul diferențial vă permite să conectați coordonatele unui punct din planul XOY și tangentei trasate la curba integrală.
- Setarea condiției inițiale înseamnă stabilirea unui punct în avion.
- Pentru a rezolva problema Cauchy înseamnă că din întregul set de curbe integrale reprezentând aceeași soluție a ecuației, este necesar să se selecteze singura care trece prin singurul punct posibil.
- Îndeplinirea condițiilor teoremei Cauchy într-un punct înseamnă că o curbă integrală (în plus, doar una) trece în mod necesar prin punctul ales în plan.
Ecuație variabilă separabilă
Prin definiție, o ecuație diferențială este o ecuație în care partea sa dreaptă descrie sau este reflectată ca un produs (uneori un raport) a două funcții, una depinzând doar de „x”, iar ceal altă - doar de „y . Un exemplu clar pentru acest tip: y'=f1(x)f2(y).
Pentru a rezolva ecuații de o anumită formă, trebuie mai întâi să transformați derivata y'=dy/dx. Apoi, manipulând ecuația, trebuie să o aduceți într-o formă în care puteți integra cele două părți ale ecuației. După transformările necesare, integrăm ambele părți și simplificăm rezultatul.
Ecuații omogene
Prin definiție, o ecuație diferențială poate fi numită omogenă dacă are următoarea formă: y'=g(y/x).
În acest caz, înlocuirea y/x=este folosită cel mai dest(x).
Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesar să se reducă o ecuație omogenă la o formă cu variabile separabile. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați următoarele operații:
- Afișați, care exprimă derivata funcției originale, din orice funcție originală ca o nouă ecuație.
- Următorul pas este de a transforma funcția rezultată în forma f(x;y)=g(y/x). Cu cuvinte mai simple, faceți ca ecuația să conțină doar raportul y/x și constante.
- Efectuați următoarea înlocuire: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Înlocuirea făcută va ajuta la împărțirea variabilelor din ecuație, aducând-o treptat la o formă mai simplă.
Ecuații liniare
Definiția unor astfel de ecuații este următoarea: o ecuație diferențială liniară este o ecuație în care partea sa dreaptă este exprimată ca o expresie liniară în raport cu funcția originală. Funcția dorită în acest caz: y'=a(x)y + b(x).
Să reformulam definiția după cum urmează: orice ecuație de ordinul 1 va deveni liniară în forma sa dacă funcția inițială și derivata ei sunt incluse în ecuația de gradul întâi și nu sunt înmulțite una cu ceal altă. „Forma clasică” a unei ecuații diferențiale liniare are următoarea structură: y' + P(x)y=Q(x).
Înainte de a rezolva o astfel de ecuație, ar trebui convertită la „forma clasică”. Următorul pas va fi alegerea metodei de rezolvare: metoda Bernoulli sau metoda Lagrange.
Rezolvarea ecuației cufolosind metoda introdusă de Bernoulli, implică înlocuirea și reducerea unei ecuații diferențiale liniare la două ecuații cu variabile separate referitoare la funcțiile U(x) și V(x), care au fost date în forma lor originală.
Metoda Lagrange este de a găsi o soluție generală a ecuației inițiale.
- Este necesar să găsim aceeași soluție a ecuației omogene. După căutare, avem funcția y=y(x, C), unde C este o constantă arbitrară.
- Căutăm o soluție la ecuația inițială în aceeași formă, dar considerăm C=C(x). Înlocuim funcția y=y(x, C(x)) în ecuația originală, găsim funcția C(x) și notăm soluția ecuației generale inițiale.
Ecuația Bernoulli
Ecuația lui Bernoulli - dacă partea dreaptă a calculului ia forma f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, unde k este orice valoare numerică rațională posibilă, nefiind luată ca o exemple de cazuri când k=0 și k=1.
Dacă k=1, atunci calculul devine separabil, iar când k=0, ecuația rămâne liniară.
Să luăm în considerare cazul general de rezolvare a acestui tip de ecuație. Avem ecuația standard Bernoulli. Trebuie redusă la una liniară, pentru aceasta trebuie să împărțiți ecuația la yk. După această operație, înlocuiți z(x)=y1-k. După o serie de transformări, ecuația se va reduce la una liniară, cel mai adesea prin metoda substituției z=UV.
Ecuații în diferențele totale
Definiție. O ecuație cu structura P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 se numește ecuație integralădiferențiale, dacă este îndeplinită următoarea condiție (în această condiție, „d” este o diferență parțială): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Toate ecuațiile diferențiale de ordinul întâi considerate mai devreme pot fi afișate ca diferențiale.
Astfel de calcule sunt rezolvate în mai multe moduri. Dar, totuși, toate încep cu o verificare a stării. Dacă condiția este îndeplinită, atunci regiunea cea mai din stânga a ecuației este diferența totală a funcției încă necunoscute U(x;y). Apoi, în conformitate cu ecuația, dU (x; y) va fi egal cu zero și, prin urmare, aceeași integrală a ecuației în diferențele totale va fi afișată sub forma U (x; y) u003d C. Prin urmare, soluția ecuației se reduce la găsirea funcției U (x; y).
Factor de integrare
Dacă condiția dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx nu este îndeplinită în ecuație, atunci ecuația nu are forma pe care am considerat-o mai sus. Dar uneori este posibil să alegeți o funcție M(x;y), atunci când este înmulțită cu care ecuația ia forma unei ecuații în plin „difuză”. Funcția M (x;y) este denumită factor de integrare.
Un integrator poate fi găsit numai atunci când devine o funcție a unei singure variabile.
