Abilitatea de a calcula volumul figurilor spațiale este importantă în rezolvarea unui număr de probleme practice de geometrie. Una dintre cele mai comune forme este piramida. În acest articol, vom lua în considerare formulele pentru volumul piramidei, atât complet cât și trunchiat.
Piramida ca o figură tridimensională
Toată lumea știe despre piramidele egiptene, așa că au o idee bună despre ce cifră va fi discutată. Cu toate acestea, structurile egiptene din piatră sunt doar un caz special al unei clase uriașe de piramide.
Obiectul geometric considerat în cazul general este o bază poligonală, fiecare vârf al căruia este legat de un punct din spațiu care nu aparține planului de bază. Această definiție conduce la o figură formată dintr-un n-gon și n triunghiuri.
Orice piramidă este formată din n+1 fețe, 2n muchii și n+1 vârfuri. Deoarece figura luată în considerare este un poliedru perfect, numărul elementelor marcate respectă egalitatea lui Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Poligonul de la bază dă numele piramidei,de exemplu, triunghiular, pentagonal și așa mai departe. Un set de piramide cu baze diferite este prezentat în fotografia de mai jos.
Punctul în care sunt conectate n triunghiuri ale figurii se numește vârful piramidei. Dacă o perpendiculară este coborâtă de la ea la bază și o intersectează în centrul geometric, atunci o astfel de figură va fi numită linie dreaptă. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci există o piramidă înclinată.
O figură dreaptă a cărei bază este formată dintr-un n-gon echilateral (echiunghiular) se numește regulat.
Formula volumului piramidei
Pentru a calcula volumul piramidei, folosim calculul integral. Pentru a face acest lucru, împărțim figura pe planuri secante paralele cu baza într-un număr infinit de straturi subțiri. Figura de mai jos prezintă o piramidă patruunghiulară cu înălțimea h și lungimea laturii L, în care un strat subțire de secțiune este marcat cu un patrulater.
Aria fiecărui astfel de strat poate fi calculată folosind formula:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Aici A0 este aria bazei, z este valoarea coordonatei verticale. Se poate observa că dacă z=0, atunci formula dă valoarea A0.
Pentru a obține formula pentru volumul unei piramide, ar trebui să calculați integrala pe întreaga înălțime a figurii, adică:
V=∫h0(A(z)dz).
Inlocuind dependenta A(z) si calculand antiderivata, ajungem la expresia:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Avem formula pentru volumul piramidei. Pentru a găsi valoarea lui V, este suficient să înmulțiți înălțimea figurii cu aria bazei și apoi să împărțiți rezultatul la trei.
Rețineți că expresia rezultată este valabilă pentru calcularea volumului unei piramide de tip arbitrar. Adică, poate fi înclinat, iar baza sa poate fi un n-gon arbitrar.
Piramida corectă și volumul ei
Formula generala pentru volum obtinuta in paragraful de mai sus poate fi rafinata in cazul unei piramide cu baza corecta. Aria unei astfel de baze se calculează folosind următoarea formulă:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Aici L este lungimea laturii unui poligon regulat cu n vârfuri. Simbolul pi este numărul pi.
Înlocuind expresia pentru A0 în formula generală, obținem volumul unei piramide obișnuite:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
De exemplu, pentru o piramidă triunghiulară, această formulă duce la următoarea expresie:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, formula de volum devine:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Determinarea volumului piramidelor obișnuite necesită cunoașterea laturii bazei lor și a înălțimii figurii.
piramidă trunchiată
Să presupunem că am luato piramidă arbitrară și a tăiat o parte a suprafeței sale laterale care conține vârful. Figura rămasă se numește piramidă trunchiată. Este deja format din două baze n-gonale și n trapeze care le conectează. Dacă planul de tăiere a fost paralel cu baza figurii, atunci se formează o piramidă trunchiată cu baze similare paralele. Adică, lungimile laturilor uneia dintre ele pot fi obținute prin înmulțirea lungimii celeil alte cu un coeficient k.
Imaginea de mai sus arată o piramidă hexagonală regulată trunchiată. Se poate observa că baza sa superioară, ca și cea inferioară, este formată dintr-un hexagon regulat.
Formula pentru volumul unei piramide trunchiate, care poate fi derivată folosind un calcul integral similar cu cel dat, este:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Unde A0 și A1 sunt zonele bazei inferioare (mari) și, respectiv, superioare (mice). Variabila h este înălțimea piramidei trunchiate.
Volumul piramidei lui Keops
Este interesant de rezolvat problema determinării volumului pe care îl conține cea mai mare piramidă egipteană în interior.
În 1984, egiptologii britanici Mark Lehner și Jon Goodman au stabilit dimensiunile exacte ale piramidei lui Cheops. Înălțimea sa inițială a fost de 146,50 metri (în prezent aproximativ 137 de metri). Lungimea medie a fiecăreia dintre cele patru laturi ale structurii a fost de 230,363 metri. Baza piramidei este pătrată cu mare precizie.
Să folosim cifrele date pentru a determina volumul acestui gigant de piatră. Deoarece piramida este un patruunghiular obișnuit, atunci formula este valabilă pentru ea:
V4=1/3L2h.
Înlocuiți numerele, obținem:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Volumul piramidei lui Cheops este de aproape 2,6 milioane m3. Pentru comparație, observăm că bazinul olimpic are un volum de 2,5 mii m3. Adică, pentru a umple întreaga piramidă a lui Cheops, vor fi necesare peste 1000 dintre aceste bazine!
