Avion în spațiu. Amplasarea avioanelor în spațiu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Un plan este un obiect geometric ale cărui proprietăți sunt utilizate la construirea proiecțiilor de puncte și linii, precum și la calcularea distanțelor și unghiurilor diedrice dintre elementele figurilor tridimensionale. Să luăm în considerare în acest articol ce ecuații pot fi folosite pentru a studia locația planurilor în spațiu.

Definiția avionului

Toată lumea își imaginează intuitiv ce obiect va fi discutat. Din punct de vedere geometric, un plan este o colecție de puncte, orice vector între care trebuie să fie perpendicular pe un vector. De exemplu, dacă există m puncte diferite în spațiu, atunci se pot face m(m-1) / 2 vectori diferiți din ele, conectând punctele în perechi. Dacă toți vectorii sunt perpendiculari pe o direcție, atunci aceasta este o condiție suficientă ca toate punctele m să aparțină aceluiași plan.

Ecuație generală

În geometria spațială, un plan este descris folosind ecuații care conțin în general trei coordonate necunoscute corespunzătoare axelor x, y și z. Laobțineți ecuația generală în coordonate plane în spațiu, să presupunem că există un vector n¯(A; B; C) și un punct M(x₀; y₀; z_{0). Folosind aceste două obiecte, avionul poate fi definit în mod unic.}

Într-adevăr, să presupunem că există un al doilea punct P(x; y; z) ale cărui coordonate sunt necunoscute. Conform definiției de mai sus, vectorul MP¯ trebuie să fie perpendicular pe n¯, adică produsul scalar pentru ele este egal cu zero. Apoi putem scrie următoarea expresie:

(n¯MP¯)=0 sau

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Deschizând parantezele și introducând un nou coeficient D, obținem expresia:

Ax + By + Cz + D=0 unde D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Această expresie se numește ecuația generală pentru plan. Este important de reținut că coeficienții din fața lui x, y și z formează coordonatele vectorului n¯(A; B; C) perpendicular pe plan. Coincide cu normalul și este un ghid pentru avion. Pentru a determina ecuația generală, nu contează unde este direcționat acest vector. Adică, planurile construite pe vectorii n¯ și -n¯ vor fi aceleași.

Figura de mai sus arată un plan, un vector normal cu acesta și o dreaptă perpendiculară pe plan.

Segmente tăiate de plan pe axe și ecuația corespunzătoare

Ecuația generală permite utilizarea unor operații matematice simple pentru a determina, înîn ce puncte planul va intersecta axele de coordonate. Este important să cunoașteți aceste informații pentru a vă face o idee despre poziția în spațiu a avionului, precum și atunci când îl reprezentați în desene.

Pentru a determina punctele de intersecție numite, se folosește o ecuație în segmente. Se numește așa deoarece conține în mod explicit valorile lungimii segmentelor tăiate de planul pe axele de coordonate, atunci când se numără de la punctul (0; 0; 0). Să obținem această ecuație.

Scrieți expresia generală pentru avion după cum urmează:

Ax + By + Cz=-D

Părțile din stânga și din dreapta pot fi împărțite cu -D fără a încălca egalitatea. Avem:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 sau

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Design numitorii fiecărui termen cu un nou simbol, obținem:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C apoi

x/p + y/q + z/r=1

Aceasta este ecuația menționată mai sus în segmente. Din aceasta rezultă că valoarea numitorului fiecărui termen indică coordonata intersecției cu axa corespunzătoare a planului. De exemplu, intersectează axa y în punctul (0; q; 0). Acest lucru este ușor de înțeles dacă înlocuiți coordonatele zero x și z în ecuație.

Rețineți că dacă nu există o variabilă în ecuație în segmente, aceasta înseamnă că planul nu intersectează axa corespunzătoare. De exemplu, având în vedere expresia:

x/p + y/q=1

Aceasta înseamnă că planul va tăia segmentele p și q de pe axele x, respectiv y, dar va fi paralel cu axa z.

Concluzie despre comportamentul avionului cândabsența unei variabile în ecuația ei este valabilă și pentru o expresie de tip general, așa cum se arată în figura de mai jos.

Ecuație parametrică vectorială

Există un al treilea tip de ecuație care permite descrierea unui plan în spațiu. Se numește vector parametric deoarece este dat de doi vectori aflați în plan și doi parametri care pot lua valori independente arbitrare. Să arătăm cum poate fi obținută această ecuație.

Să presupunem că există câțiva vectori cunoscuți u ¯(a₁; b₁; c₁) și v¯(a₂; b₂; c₂). Dacă nu sunt paralele, atunci pot fi folosite pentru a seta un anumit plan fixând începutul unuia dintre acești vectori la un punct cunoscut M(x₀; y₀; z_{0). Dacă un vector arbitrar MP¯ poate fi reprezentat ca o combinație de vectori liniari u¯ și v¯, atunci aceasta înseamnă că punctul P(x; y; z) aparține aceluiași plan ca u¯, v¯. Astfel, putem scrie egalitatea:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Sau scriind această egalitate în termeni de coordonate, obținem:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Egalitatea prezentată este o ecuație vectorială parametrică pentru plan. LAspațiul vectorial de pe planul u¯ și v¯ se numesc generatoare.

În continuare, la rezolvarea problemei, se va arăta cum această ecuație poate fi redusă la o formă generală pentru un plan.

Unghiul dintre avioane în spațiu

În mod intuitiv, avioanele din spațiul 3D se pot intersecta sau nu. În primul caz, este interesant să găsim unghiul dintre ele. Calculul acestui unghi este mai dificil decât unghiul dintre linii, deoarece vorbim despre un obiect geometric diedru. Cu toate acestea, vectorul de ghidare deja menționat pentru avion vine în ajutor.

Se stabilește geometric că unghiul diedric dintre două plane care se intersectează este exact egal cu unghiul dintre vectorii lor de ghidare. Să notăm acești vectori ca n₁¯(a₁; b₁; c_{1) și n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Cosinusul unghiului dintre ele se determină din produsul scalar. Adică, unghiul însuși în spațiul dintre planuri poate fi calculat prin formula:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Aici modulul din numitor este folosit pentru a elimina valoarea unghiului obtuz (între planele care se intersectează este întotdeauna mai mic sau egal cu 90o).

În formă de coordonate, această expresie poate fi rescrisă după cum urmează:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Planuri perpendiculare și paralele

Dacă planele se intersectează și unghiul diedrul format de ele este 90o, atunci ele vor fi perpendiculare. Un exemplu de astfel de planuri este o prismă dreptunghiulară sau un cub. Aceste figuri sunt formate din șase avioane. La fiecare vârf al figurilor numite există trei plane perpendiculare unul pe celăl alt.

Pentru a afla dacă planurile considerate sunt perpendiculare, este suficient să calculăm produsul scalar al vectorilor lor normali. O condiție suficientă pentru perpendicularitatea în spațiul planurilor este valoarea zero a acestui produs.

Paralele se numesc planuri care nu se intersectează. Uneori se mai spune că planurile paralele se intersectează la infinit. Condiția paralelismului în spațiul planelor coincide cu acea condiție pentru vectorii de direcție n₁¯ și n_{2¯. Îl puteți verifica în două moduri:}

Calculează cosinusul unghiului diedru (cos(φ)) folosind produsul scalar. Dacă planurile sunt paralele, atunci valoarea va fi 1.

Încercați să reprezentați un vector prin altul înmulțind cu un număr, adică n₁¯=kn_{2¯. Dacă acest lucru se poate face, atunci planurile corespunzătoare suntparalel.}

Figura arată două plane paralele.

Acum să dăm exemple de rezolvare a două probleme interesante folosind cunoștințele matematice obținute.

Cum se obține o formă generală dintr-o ecuație vectorială?

Aceasta este o expresie vectorială parametrică pentru un plan. Pentru a înțelege mai ușor fluxul operațiilor și trucurile matematice folosite, luați în considerare un exemplu specific:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Extindeți această expresie și exprimați parametrii necunoscuți:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Apoi:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Deschizând parantezele din ultima expresie, obținem:

z=2x-2 + 3y - 6 sau

2x + 3y - z - 8=0

Am obținut forma generală a ecuației pentru planul specificat în enunțul problemei în formă vectorială

Cum se construiește un avion prin trei puncte?

Este posibil să desenezi un singur plan prin trei puncte dacă aceste puncte nu aparțin unei singure drepte. Algoritmul pentru rezolvarea acestei probleme constă în următoarea secvență de acțiuni:

găsește coordonatele a doi vectori conectând puncte cunoscute în perechi;
calculează produsul lor încrucișat și obține un vector normal cu planul;
scrieți ecuația generală folosind vectorul găsit șioricare dintre cele trei puncte.

Să luăm un exemplu concret. Puncte acordate: