În geometrie, după un punct, o linie dreaptă este poate cel mai simplu element. Este utilizat în construcția oricăror figuri complexe pe plan și în spațiul tridimensional. În acest articol, vom lua în considerare ecuația generală a unei linii drepte și vom rezolva câteva probleme folosind-o. Să începem!
Linie dreaptă în geometrie
Toată lumea știe că forme precum dreptunghi, triunghi, prismă, cub și așa mai departe sunt formate prin intersectarea liniilor drepte. O linie dreaptă în geometrie este un obiect unidimensional care poate fi obținut prin transferarea unui anumit punct la un vector care are aceeași direcție sau opusă. Pentru a înțelege mai bine această definiție, imaginați-vă că există un punct P în spațiu. Luați un vector arbitrar u¯ în acest spațiu. Atunci orice punct Q al dreptei poate fi obținut ca rezultat al următoarelor operații matematice:
Q=P + λu¯.
Aici λ este un număr arbitrar care poate fi pozitiv sau negativ. Dacă egalitateascrieți mai sus în termeni de coordonate, apoi obținem următoarea ecuație a unei linii drepte:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Această egalitate se numește ecuația unei linii drepte în formă vectorială. Iar vectorul u¯ se numește ghid.
Ecuația generală a unei drepte într-un plan
Fiecare elev îl poate nota fără nicio dificultate. Dar cel mai adesea ecuația este scrisă astfel:
y=kx + b.
Unde k și b sunt numere arbitrare. Numărul b este numit membru liber. Parametrul k este egal cu tangentei unghiului format de intersecția dreptei cu axa x.
Ecuația de mai sus este exprimată în raport cu variabila y. Dacă îl prezentăm într-o formă mai generală, atunci obținem următoarea notație:
Ax + By + C=0.
Este ușor de arătat că această formă de scriere a ecuației generale a unei drepte pe un plan se transformă ușor în forma anterioară. Pentru a face acest lucru, părțile din stânga și din dreapta trebuie împărțite la factorul B și exprimate y.
Figura de mai sus arată o linie dreaptă care trece prin două puncte.
O linie în spațiu 3D
Să ne continuăm studiul. Am luat în considerare întrebarea cum este dată pe un plan ecuația unei drepte într-o formă generală. Dacă aplicăm notația dată în paragraful anterior al articolului pentru cazul spațial, ce vom obține? Totul este simplu - nu mai este o linie dreaptă, ci un avion. Într-adevăr, următoarea expresie descrie un plan care este paralel cu axa z:
Ax + By + C=0.
Dacă C=0, atunci trece un astfel de avionprin axa z. Aceasta este o caracteristică importantă.
Cum să fii atunci cu ecuația generală a unei linii drepte în spațiu? Pentru a înțelege cum să întrebi, trebuie să-ți amintești ceva. Două plane se intersectează de-a lungul unei anumite drepte. Ce inseamna asta? Doar că ecuația generală este rezultatul rezolvării unui sistem de două ecuații pentru plane. Să scriem acest sistem:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Acest sistem este ecuația generală a unei linii drepte în spațiu. Rețineți că planurile nu trebuie să fie paralele între ele, adică vectorii lor normali trebuie să fie înclinați la un anumit unghi unul față de celăl alt. În caz contrar, sistemul nu va avea soluții.
Mai sus am dat forma vectorială a ecuației pentru o dreaptă. Este convenabil de utilizat atunci când rezolvați acest sistem. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să găsiți produsul vectorial al normalelor acestor plane. Rezultatul acestei operații va fi un vector de direcție al unei linii drepte. Apoi, orice punct aparținând dreptei ar trebui calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați oricare dintre variabile egale cu o anumită valoare, cele două variabile rămase pot fi găsite prin rezolvarea sistemului redus.
Cum se traduce o ecuație vectorială într-una generală? Nuanțe
Aceasta este o problemă reală care poate apărea dacă trebuie să scrieți ecuația generală a unei drepte folosind coordonatele cunoscute a două puncte. Să arătăm cum se rezolvă această problemă cu un exemplu. Fie cunoscute coordonatele a două puncte:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Ecuația în formă vectorială este destul de ușor de compus. Coordonatele vectorului de direcție sunt:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Rețineți că nu există nicio diferență dacă scădem coordonatele Q din coordonatele punctului P, vectorul își va schimba direcția doar spre opus. Acum ar trebui să luați orice punct și să scrieți ecuația vectorială:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Pentru a scrie ecuația generală a unei linii drepte, parametrul λ ar trebui exprimat în ambele cazuri. Și apoi comparați rezultatele. Avem:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(a-a1)/(a2-a1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(a2-y1).
Rămâne doar să deschideți parantezele și să transferați toți termenii ecuației într-o parte a ecuației pentru a obține o expresie generală pentru o dreaptă care trece prin două puncte cunoscute.
În cazul unei probleme tridimensionale, algoritmul de soluție este păstrat, doar rezultatul acestuia va fi un sistem de două ecuații pentru plane.
Sarcină
Este necesar să se facă o ecuație generalăo linie dreaptă care intersectează axa x la (-3, 0) și este paralelă cu axa y.
Să începem să rezolvăm problema scriind ecuația în formă vectorială. Deoarece linia este paralelă cu axa y, atunci vectorul de direcție pentru ea va fi următorul:
u¯=(0, 1).
Apoi linia dorită va fi scrisă după cum urmează:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Acum să traducem această expresie într-o formă generală, pentru aceasta exprimăm parametrul λ:
- x=-3;
- y=λ.
Astfel, orice valoare a variabilei y aparține liniei, cu toate acestea, numai singura valoare a variabilei x îi corespunde. Prin urmare, ecuația generală va lua forma:
x + 3=0.
Problemă cu o linie dreaptă în spațiu
Se știe că două plane care se intersectează sunt date de următoarele ecuații:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Este necesar să se găsească ecuația vectorială a dreptei de-a lungul căreia se intersectează aceste plane. Să începem.
Așa cum s-a spus, ecuația generală a unei linii drepte în spațiul tridimensional este deja dată sub forma unui sistem de doi cu trei necunoscute. În primul rând, determinăm vectorul direcție de-a lungul căruia planele se intersectează. Înmulțind coordonatele vectoriale ale normalelor la plane, obținem:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Deoarece înmulțirea unui vector cu un număr negativ îi inversează direcția, putem scrie:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Cătrepentru a găsi o expresie vectorială pentru o linie dreaptă, în plus față de vectorul de direcție, ar trebui să cunoaștem un punct al acestei drepte. Găsiți deoarece coordonatele sale trebuie să satisfacă sistemul de ecuații în condiția problemei, atunci le vom găsi. De exemplu, să punem x=0, apoi obținem:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Astfel, punctul aparținând dreptei dorite are coordonatele:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Atunci obținem răspunsul la această problemă, ecuația vectorială a dreptei dorite va arăta astfel:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Corectitudinea soluției poate fi verificată cu ușurință. Pentru a face acest lucru, trebuie să alegeți o valoare arbitrară a parametrului λ și să înlocuiți coordonatele obținute ale punctului dreptei în ambele ecuații pentru planuri, veți obține o identitate în ambele cazuri.
