La cuvântul „infinit” fiecare persoană are propriile sale asociații. Mulți desenează în imaginația lor marea care trece dincolo de orizont, în timp ce alții au în fața ochilor imaginea unui cer înstelat fără sfârșit. Matematicienii, obișnuiți să opereze cu numere, își imaginează infinitul într-un mod complet diferit. De multe secole au încercat să găsească cea mai mare dintre cantitățile fizice necesare pentru măsurare. Unul dintre ele este numărul Graham. Câte zerouri sunt în el și pentru ce este folosit, acest articol vă va spune.
Număr infinit de mare
În matematică, acesta este numele unei astfel de variabile x , dacă pentru orice număr pozitiv dat se poate specifica un număr natural N astfel încât pentru toate numerele n mai mari decât N inegalitatea |x | > M. Cu toate acestea, nu, de exemplu, întregul Z poate fi considerat infinit de mare, deoarece va fi întotdeauna mai mic decât (Z + 1).
Câteva cuvinte despre „giganți”
Cele mai mari numere care au semnificație fizică sunt considerate a fi:
- 1080. Acest număr, numit în mod obișnuit quinquavigintillion, este folosit pentru a desemna numărul aproximativ de quarci și leptoni (cele mai mici particule) din Univers.
- 1 Google. Un astfel de număr în sistemul zecimal este scris ca o unitate cu 100 de zerouri. Conform unor modele matematice, de la momentul big bang-ului până la explozia celei mai masive găuri negre, ar trebui să treacă de la 1 la 1,5 ani googol, după care universul nostru va trece în ultima etapă a existenței sale, adică putem presupunem că acest număr are un anumit sens fizic.
- 8, 5 x 10185. Constanta lui Planck este 1,616199 x 10-35 m, adică în notație zecimală arată ca 0,0000000000000000000000000000616199 m. Există aproximativ 1 googol lungime Planck într-un inch. Se estimează că aproximativ 8,5 x 10185 Lungimi Planck se pot încadra în întregul nostru univers.
- 277 232 917 – 1. Acesta este cel mai mare număr prim cunoscut. Dacă notația sa binară are o formă destul de compactă, atunci pentru a o reprezenta sub formă zecimală, va fi nevoie de nu mai puțin de 13 milioane de caractere. A fost găsit în 2017 ca parte a unui proiect de căutare a numerelor Mersenne. Dacă entuziaștii continuă să lucreze în această direcție, atunci la nivelul actual de dezvoltare a tehnologiei informatice, în viitorul apropiat este puțin probabil să poată găsi un număr Mersenne cu un ordin de mărime mai mare de 277 232 917- 1, deși așanorocosul câștigător va primi 150.000 USD.
- Hugoplex. Aici luăm doar 1 și adăugăm zerouri după el în cantitate de 1 googol. Puteți scrie acest număr ca 10^10^100. Este imposibil să-l reprezentăm în formă zecimală, deoarece dacă întregul spațiu al Universului este umplut cu bucăți de hârtie, pe fiecare dintre care 0 ar fi scris cu o dimensiune a fontului „Cuvânt” de 10, atunci în acest caz doar jumătate din toate 0 după 1 ar fi obținute pentru numărul googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Acesta este un număr care arată numărul de ani după care, conform teoremei Poincaré, Universul nostru, ca urmare a fluctuațiilor cuantice aleatoare, va reveni la o stare apropiată de cea de astăzi.
Cum au apărut numerele lui Graham
În 1977, cunoscutul popularizator al științei Martin Gardner a publicat un articol în Scientific American referitor la demonstrarea lui Graham a uneia dintre problemele teoriei lui Ramse. În ea, el a numit limita stabilită de om de știință cel mai mare număr folosit vreodată în raționamentul matematic serios.
Cine este Ronald Lewis Graham
Omul de știință, acum peste 80 de ani, s-a născut în California. În 1962, a primit un doctorat în matematică de la Universitatea din Berkeley. A lucrat la Bell Labs timp de 37 de ani și mai târziu s-a mutat la AT&T Labs. Omul de știință a colaborat activ cu unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XX-lea, Pal Erdős, și este câștigătorul multor premii prestigioase. Bibliografia științifică a lui Graham conține peste 320 de lucrări științifice.
La mijlocul anilor '70, omul de știință era interesat de problema asociată teorieiRamsey. În demonstrația sa, a fost determinată limita superioară a soluției, care este un număr foarte mare, numit ulterior după Ronald Graham.
Problemă cu Hypercube
Pentru a înțelege esența numărului Graham, trebuie mai întâi să înțelegeți cum a fost obținut.
Omul de știință și colegul său Bruce Rothschild rezolvau următoarea problemă:
Există un hipercub n-dimensional. Toate perechile de vârfuri ale sale sunt conectate în așa fel încât să se obțină un grafic complet cu 2de vârfuri. Fiecare dintre marginile sale este colorată fie în albastru, fie în roșu. A fost necesar să se găsească numărul minim de vârfuri pe care ar trebui să-l aibă un hipercub, astfel încât fiecare astfel de colorare să conțină un subgraf monocromatic complet cu 4 vârfuri situate în același plan.
Decizie
Graham și Rothschild au demonstrat că problema are o soluție N' care satisface condiția 6 ⩽ N' ⩽N unde N este un număr bine definit, foarte mare.
Liga inferioară pentru N a fost ulterior rafinată de alți oameni de știință, care au demonstrat că N trebuie să fie mai mare sau egal cu 13. Astfel, expresia pentru cel mai mic număr de vârfuri ale unui hipercub care îndeplinește condițiile prezentate mai sus a devenit 13 ⩽ N'⩽ N.
notația săgeată a lui Knuth
Înainte de a defini numărul Graham, ar trebui să vă familiarizați cu metoda reprezentării lui simbolice, deoarece nici notația zecimală, nici cea binară nu este absolut potrivită pentru aceasta.
În prezent, notația săgeată a lui Knuth este folosită pentru a reprezenta această cantitate. Potrivit ei:
ab=o „săgeată în sus” b.
Pentru operarea exponentiatiei multiple, a fost introdusa intrarea:
a „săgeată în sus” „săgeată în sus” b=ab="un turn format din a în cantitate de b piese."
Și pentru pentație, adică desemnarea simbolică a exponențiării repetate a operatorului anterior, Knuth a folosit deja 3 săgeți.
Folosind această notație pentru numărul Graham, avem secvențe „săgeți” imbricate una în alta, în valoare de 64 de buc.
Scale
Numărul lor celebru, care excită imaginația și extinde granițele conștiinței umane, ducând-o dincolo de limitele Universului, Graham și colegii săi l-au obținut ca limită superioară pentru numărul N în demonstrația hipercubului problema prezentată mai sus. Este extrem de dificil pentru o persoană obișnuită să-și imagineze cât de mare este scara sa.
Întrebarea numărului de caractere sau, așa cum se spune uneori în mod greșit, zerourile din numărul lui Graham, interesează aproape toți cei care aud despre această valoare pentru prima dată.
Este suficient să spunem că avem de-a face cu o secvență în creștere rapidă, care constă din 64 de membri. Chiar și primul său termen este imposibil de imaginat, deoarece este format din n „turnuri”, constând din 3-to. Deja „etajul său inferior” de 3 triple este egal cu 7.625.597.484.987, adică depășește 7 miliarde, adică despre etajul 64 (nu este membru!). Astfel, în prezent este imposibil să spunem exact care este numărul Graham, deoarece nu este suficient să-l calculăm.puterea combinată a tuturor computerelor care există astăzi pe Pământ.
Record spart?
În procesul de demonstrare a teoremei lui Kruskal, numărul lui Graham a fost „aruncat de pe piedestal”. Omul de știință a propus următoarea problemă:
Există o succesiune infinită de arbori finiți. Kruskal a demonstrat că există întotdeauna o secțiune a unui grafic, care este atât o parte a unui grafic mai mare, cât și copia sa exactă. Această afirmație nu ridică nicio îndoială, deoarece este evident că va exista întotdeauna o combinație care se repetă exact la infinit
Mai târziu, Harvey Friedman a restrâns oarecum această problemă luând în considerare doar astfel de grafice aciclice (arbori) încât pentru unul anume cu coeficient i există cel mult (i + k) vârfuri. El a decis să afle care ar trebui să fie numărul de grafice aciclice, astfel încât cu această metodă a sarcinii lor să fie întotdeauna posibil să găsească un subarbore care să fie încorporat într-un alt arbore.
Ca urmare a cercetărilor pe această problemă, s-a constatat că N, în funcție de k, crește cu o viteză extraordinară. În special, dacă k=1, atunci N=3. Cu toate acestea, la k=2, N ajunge deja la 11. Cel mai interesant lucru începe când k=3. În acest caz, N „decolează” rapid și atinge o valoare care este de multe ori mai mare decât numărul Graham. Pentru a vă imagina cât de mare este, este suficient să scrieți numărul calculat de Ronald Graham sub forma G64 (3). Atunci valoarea Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), va fi de ordinul lui G(G(187196)). Cu alte cuvinte, se obține o mega-valoare, care este infinit mai mareun număr Graham inimaginabil de mare. În același timp, chiar și ea va fi mai mică de infinit de un număr gigantic de ori. Este logic să vorbim despre acest concept mai detaliat.
Infinit
Acum că am explicat care este numărul Graham de pe degete, ar trebui să înțelegem sensul care a fost și este investit în acest concept filozofic. La urma urmei, „infinitul” și „un număr infinit de mare” pot fi considerate identice într-un anumit context.
Cea mai mare contribuție la studiul acestei probleme a fost adusă de Aristotel. Marele gânditor al antichității a împărțit infinitul în potențial și actual. Prin acesta din urmă, el a înțeles realitatea existenței lucrurilor infinite.
Conform lui Aristotel, sursele de idei despre acest concept fundamental sunt:
- timp;
- separarea valorilor;
- conceptul de graniță și existența a ceva dincolo de ea;
- inepuizabilitatea naturii creative;
- gândire care nu are limite.
În interpretarea modernă a infinitului, nu puteți specifica o măsură cantitativă, așa că căutarea celui mai mare număr poate continua pentru totdeauna.
Concluzie
Metafora „Priviți la infinit” și numărul lui Graham pot fi considerate sinonime într-un anumit sens? Mai degrabă da și nu. Ambele sunt imposibil de imaginat, chiar și cu cea mai puternică imaginație. Cu toate acestea, așa cum sa menționat deja, nu poate fi considerat „cel mai, cel mai mult”. Un alt lucru este că, în acest moment, valorile mai mari decât numărul Graham nu au un stabilitsimțul fizic.
De asemenea, nu are proprietățile unui număr infinit, cum ar fi:
- ∞ + 1=∞;
- există un număr infinit de numere pare și impare;
- ∞ - 1=∞;
- numărul de numere impare este exact jumătate din toate numerele;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Pentru a rezuma: numărul lui Graham este cel mai mare număr din practica demonstrației matematice, conform Cartei Recordurilor Guinness. Cu toate acestea, există numere care sunt de multe ori mai mari decât această valoare.
Cel mai probabil, în viitor va fi nevoie de „giganți” și mai mari, mai ales dacă o persoană trece dincolo de sistemul nostru solar sau inventează ceva de neimaginat la nivelul actual al conștiinței noastre.
