Ecuațiile cuadrrice apar adesea într-o serie de probleme de matematică și fizică, așa că fiecare elev ar trebui să fie capabil să le rezolve. Acest articol detaliază principalele metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice și oferă, de asemenea, exemple de utilizare a acestora.
Ce ecuație se numește pătratică
În primul rând, vom răspunde la întrebarea acestui paragraf pentru a înțelege mai bine despre ce va fi articolul. Deci, ecuația pătratică are următoarea formă generală: c + bx+ax2=0, unde a, b, c sunt niște numere, care se numesc coeficienți. Aici a≠0 este o condiție obligatorie, altfel ecuația indicată degenerează într-una liniară. Coeficienții rămași (b, c) pot lua absolut orice valoare, inclusiv zero. Astfel, expresii precum ax2=0, unde b=0 și c=0, sau c+ax2=0, unde b=0, sau bx+ax2=0, unde c=0 sunt, de asemenea, ecuații pătratice, care se numesc incomplete, deoarece fie coeficientul liniar b din ele este zero sau zeroeste un termen liber c, sau ambele dispar.
O ecuație în care a=1 se numește redus, adică are forma: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Rezolvarea unei ecuații pătratice este de a găsi astfel de valori x care să-i satisfacă egalitatea. Aceste valori se numesc rădăcini. Deoarece ecuația luată în considerare este o expresie de gradul doi, aceasta înseamnă că numărul maxim al rădăcinilor sale nu poate depăși două.
Ce metode de rezolvare a ecuațiilor pătrate există
În general, există 4 metode de rezolvare. Numele lor sunt enumerate mai jos:
- Factoring.
- Adăugare la pătrat.
- Folosind o formulă cunoscută (prin discriminant).
- Metoda de soluție este geometrică.
După cum puteți vedea din lista de mai sus, primele trei metode sunt algebrice, deci sunt folosite mai des decât ultima, care implică reprezentarea unei funcții.
Există o altă modalitate de a rezolva ecuațiile pătrate folosind teorema Vieta. Ar putea fi inclus pe locul 5 în lista de mai sus, însă acest lucru nu se face, deoarece teorema lui Vieta este o consecință simplă a celei de-a treia metode.
Mai târziu în articol vom analiza mai detaliat metodele de soluție numite și, de asemenea, vom oferi exemple de utilizare a acestora pentru a găsi rădăcinile unor ecuații specifice.
Metoda 1. Factoring
Pentru această metodă în matematica ecuațiilor pătratice, există o frumoasădenumire: factorizare. Esența acestei metode este următoarea: este necesar să se prezinte ecuația pătratică ca un produs al doi termeni (expresii), care trebuie să fie egal cu zero. După o astfel de reprezentare, puteți utiliza proprietatea produsului, care va fi egală cu zero numai atunci când unul sau mai mulți (toți) membrii săi sunt zero.
Acum luați în considerare succesiunea de acțiuni specifice care trebuie efectuate pentru a găsi rădăcinile ecuației:
- Mutați toți membrii într-o parte a expresiei (de exemplu, la stânga), astfel încât să rămână doar 0 în ceal altă parte (dreapta).
- Reprezentați suma termenilor dintr-o parte a ecuației ca produs a două ecuații liniare.
- Setați fiecare dintre expresiile liniare la zero și rezolvați-le.
După cum puteți vedea, algoritmul de factorizare este destul de simplu, totuși, majoritatea studenților au dificultăți în timpul implementării punctului 2, așa că îl vom explica mai detaliat.
Pentru a ghici care 2 expresii liniare, atunci când sunt înmulțite între ele, vor da ecuația pătratică dorită, trebuie să vă amintiți două reguli simple:
- Coeficienții liniari ai două expresii liniare, atunci când sunt înmulțiți unul cu celăl alt, ar trebui să dea primul coeficient al ecuației pătratice, adică numărul a.
- Termenii liberi ai expresiilor liniare, atunci când sunt înmulțiți, ar trebui să dea numărul c al ecuației dorite.
După ce toate numerele de factori sunt selectate, aceștia ar trebui înmulțiți, iar dacă dau ecuația dorită, treceți la pasul 3 dinalgoritmul de mai sus, altfel ar trebui să modificați multiplicatorii, dar trebuie să faceți acest lucru pentru ca regulile de mai sus să fie întotdeauna respectate.
Exemplu de soluție prin metoda de factorizare
Să arătăm clar cum este algoritmul de rezolvare a unei ecuații pătratice pentru a compune și a găsi rădăcini necunoscute. Să fie dată o expresie arbitrară, de exemplu, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Să trecem la soluția sa, observând succesiunea punctelor de la 1 la 3, care sunt expuse în paragraful anterior al articolului.
Item 1. Mutați toți termenii în partea stângă și aranjați-i în secvența clasică pentru o ecuație pătratică. Avem următoarea egalitate: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Îl despărțim într-un produs de ecuații liniare. Deoarece a=1 și c=-8, atunci vom selecta, de exemplu, un astfel de produs (x-2)(x+4). Îndeplinește regulile de găsire a factorilor așteptați, expuși în paragraful de mai sus. Dacă deschidem parantezele, obținem: -8+2x+x2, adică obținem exact aceeași expresie ca în partea stângă a ecuației. Aceasta înseamnă că am ghicit corect multiplicatorii și putem trece la pasul 3 al algoritmului.
Elementul 3. Echivalând fiecare factor cu zero, obținem: x=-4 și x=2.
Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, se recomandă să verificați prin înlocuirea rădăcinilor găsite în ecuația originală. În acest caz, avem: 22+22-8=0 și 2(-4)+(-4)2 -8=0. Rădăcinile găsite corect.
Astfel, folosind metoda factorizării, am constatat că ecuația dată are două rădăcini de diferiteare: 2 și -4.
Metoda 2. Complement la pătratul complet
În algebra ecuațiilor pătrate, metoda multiplicatorului nu poate fi întotdeauna utilizată, deoarece în cazul valorilor fracționale ale coeficienților ecuației pătratice apar dificultăți în implementarea paragrafului 2 al algoritmului.
Metoda pătratului complet, la rândul său, este universală și poate fi aplicată ecuațiilor pătratice de orice tip. Esența sa este de a efectua următoarele operații:
- Termenii ecuației care conține coeficienții a și b trebuie transferați într-o parte a ecuației, iar termenul liber c în ceal altă.
- În continuare, părțile egalității (dreapta și stânga) trebuie împărțite la coeficientul a, adică prezentați ecuația sub formă redusă (a=1).
- Sumați termenii cu coeficienții a și b pentru a reprezenta un pătrat al unei ecuații liniare. Deoarece a \u003d 1, atunci coeficientul liniar va fi egal cu 1, ca și pentru termenul liber al ecuației liniare, atunci ar trebui să fie egal cu jumătate din coeficientul liniar al ecuației pătratice reduse. După ce s-a întocmit pătratul expresiei liniare, este necesar să se adauge numărul corespunzător în partea dreaptă a egalității, unde se află termenul liber, care se obține prin extinderea pătratului.
- Luați rădăcina pătrată cu semnele „+” și „-” și rezolvați ecuația liniară deja obținută.
Algoritmul descris poate fi perceput la prima vedere ca destul de complicat, cu toate acestea, în practică, este mai ușor de implementat decât metoda de factorizare.
Un exemplu de soluție folosind complementul pătrat complet
Să dăm un exemplu de ecuație pătratică pentru antrenarea soluției acesteia prin metoda descrisă în paragraful anterior. Să fie dată ecuația pătratică -10 - 6x+5x2=0. Începem să o rezolvăm urmând algoritmul descris mai sus.
Item 1. Folosim metoda transferului atunci când rezolvăm ecuații pătrate, obținem: - 6x+5x2=10.
Punctul 2. Forma redusă a acestei ecuații se obține prin împărțirea la numărul 5 al fiecăruia dintre membrii săi (dacă ambele părți sunt împărțite sau înmulțite cu același număr, atunci egalitatea va fi păstrată). Ca rezultat al transformărilor, obținem: x2 - 6/5x=2.
Articol 3. Jumătate din coeficient - 6/5 este -6/10=-3/5, folosiți acest număr pentru a completa pătratul, obținem: (-3/5+x) 2 . O extindem și termenul liber rezultat ar trebui să fie scăzut din partea stângă a egalității pentru a satisface forma originală a ecuației pătratice, ceea ce este echivalent cu adăugarea acesteia în partea dreaptă. Ca rezultat, obținem: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Calculați rădăcina pătrată cu semne pozitive și negative și găsiți rădăcinile: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Cele două rădăcini găsite au următoarele valori: x1=(√59+3)/5 și x1=(3-√59)/5.
Deoarece calculele efectuate sunt legate de rădăcini, există o mare probabilitate de a face o greșeală. Prin urmare, este recomandat să verificați corectitudinea rădăcinilor x2 și x1. Primim pentru x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Înlocuiește acumx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Astfel, am arătat că rădăcinile găsite ale ecuației sunt adevărate.
Metoda 3. Aplicarea binecunoscutei formule
Această metodă de rezolvare a ecuațiilor pătratice este poate cea mai simplă, deoarece constă în înlocuirea coeficienților într-o formulă cunoscută. Pentru a-l folosi, nu trebuie să vă gândiți la compilarea algoritmilor de soluție, este suficient să vă amintiți o singură formulă. Este afișat în imaginea de mai sus.
În această formulă, expresia radicală (b2-4ac) se numește discriminant (D). Din valoarea sa depinde de ce rădăcini se obțin. Există 3 cazuri:
- D>0, atunci ecuația rădăcină a două are unele reale și diferite.
- D=0, apoi se obține rădăcina, care poate fi calculată din expresia x=-b/(a2).
- D<0, apoi obțineți două rădăcini imaginare diferite, care sunt reprezentate ca numere complexe. De exemplu, numărul 3-5i este complex, în timp ce unitatea imaginară i satisface proprietatea: i2=-1.
Un exemplu de soluție prin calcularea discriminantului
Să dăm un exemplu de ecuație pătratică pentru a exersa folosind formula de mai sus. Găsiți rădăcinile pentru -3x2-6+3x+4x=0. Mai întâi, calculați valoarea discriminantului, obținem: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Deoarece se obține D<0, înseamnă că rădăcinile ecuației luate în considerare sunt numere complexe. Să le găsim substituind valoarea găsită D în formula dată în paragraful anterior (este arătată și în fotografia de mai sus). Se obține: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metoda 4. Utilizarea graficului de funcții
Se mai numește și metoda grafică pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate. Trebuie spus că, de regulă, este folosit nu pentru analiza cantitativă, ci pentru analiza calitativă a ecuației luate în considerare.
Esența metodei este reprezentarea grafică a unei funcții pătratice y=f(x), care este o parabolă. Apoi, este necesar să se determine în ce puncte parabola intersectează axa x (X), acestea vor fi rădăcinile ecuației corespunzătoare.
Pentru a spune dacă o parabolă va intersecta axa X, este suficient să cunoaștem poziția minimului (maximului) și direcția ramurilor sale (pot fie să crească, fie să scadă). Există două proprietăți ale acestei curbe de reținut:
- Dacă a>0 - parabolele ramului sunt îndreptate în sus, dimpotrivă, dacă a<0, atunci ele coboară.
- Coordonata minimă (maximă) a unei parabole este întotdeauna x=-b/(2a).
De exemplu, trebuie să determinați dacă ecuația -4x+5x2+10=0 are rădăcini. Parabola corespunzătoare va fi îndreptată în sus, deoarece un=5>0. Extremul său are coordonatele: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Deoarece minimul curbei se află deasupra axei x (y=9, 2), apoi nu o intersectează pe aceasta din urmă pentru niciunvalorile x. Adică, ecuația dată nu are rădăcini reale.
Teorema lui Vieta
După cum sa menționat mai sus, această teoremă este o consecință a metodei nr. 3, care se bazează pe aplicarea unei formule cu un discriminant. Esența teoremei Vieta este că vă permite să conectați coeficienții ecuației și rădăcinile acesteia în egalitate. Să obținem egalitățile corespunzătoare.
Să folosim formula pentru calcularea rădăcinilor prin discriminant. Adăugând două rădăcini, obținem: x1+x2=-b/a. Acum să înmulțim rădăcinile între ele: x1x2, după o serie de simplificări obținem numărul c/a.
Astfel, pentru a rezolva ecuațiile pătratice prin teorema Vieta, puteți folosi cele două egalități obținute. Dacă toți cei trei coeficienți ai unei ecuații sunt cunoscuți, atunci rădăcinile pot fi găsite prin rezolvarea sistemului adecvat al acestor două ecuații.
Un exemplu de utilizare a teoremei lui Vieta
Trebuie să scrieți o ecuație pătratică dacă știți că are forma x2+c=-bx și rădăcinile sale sunt 3 și -4.
Deoarece a=1 în ecuația luată în considerare, formulele Vieta vor arăta astfel: x2+x1=-b și x2x1=p. Înlocuind valorile cunoscute ale rădăcinilor, obținem: b=1 și c=-12. Ca rezultat, ecuația redusă pătratică restaurată va arăta astfel: x2-12=-1x. Puteți înlocui valoarea rădăcinilor în el și vă asigurați că egalitatea este valabilă.
Aplicarea inversă a teoremei Vieta, adică calculul rădăcinilor prinforma cunoscută a ecuației, permite numerelor întregi mici a, b și c să găsească rapid (intuitiv) soluții.
