Metode de stabilire a ecuațiilor de linii în plan și în spațiul tridimensional

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Dreapta este obiectul geometric principal în plan și în spațiul tridimensional. Din linii drepte sunt construite multe figuri, de exemplu: un paralelogram, un triunghi, o prismă, o piramidă și așa mai departe. Luați în considerare în articol diferite moduri de a seta ecuațiile de linii.

Definiția unei linii drepte și tipuri de ecuații pentru a o descrie

Fiecare elev are o idee bună despre ce obiect geometric vorbește. O linie dreaptă poate fi reprezentată ca o colecție de puncte, iar dacă le conectăm pe fiecare dintre ele pe rând cu toate celel alte, atunci obținem un set de vectori paraleli. Cu alte cuvinte, este posibil să ajungeți la fiecare punct al dreptei de la unul dintre punctele sale fixe, transferându-l la un vector unitar înmulțit cu un număr real. Această definiție a unei linii drepte este folosită pentru a defini o egalitate vectorială pentru descrierea sa matematică atât în plan, cât și în spațiul tridimensional.

O linie dreaptă poate fi reprezentată matematic prin următoarele tipuri de ecuații:

general;
vector;
parametric;
în segmente;
simetric (canonic).

În continuare, vom lua în considerare toate tipurile denumite și vom arăta cum să lucrați cu ele folosind exemple de rezolvare a problemelor.

Descriere vectorială și parametrică a unei linii drepte

Să începem prin a defini o linie dreaptă printr-un vector cunoscut. Să presupunem că există un punct fix în spațiu M(x₀; y₀; z_{0). Se știe că linia dreaptă trece prin ea și este îndreptată de-a lungul segmentului vectorial v¯(a; b; c). Cum să găsiți un punct arbitrar al liniei din aceste date? Răspunsul la această întrebare va oferi următoarea egalitate:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Unde λ este un număr arbitrar.

O expresie similară poate fi scrisă pentru cazul bidimensional, în care coordonatele vectorilor și punctelor sunt reprezentate printr-un set de două numere:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Ecuațiile scrise se numesc ecuații vectoriale, iar segmentul direcționat v¯ însuși este vectorul de direcție pentru dreapta.

Din expresiile scrise, ecuațiile parametrice corespunzătoare se obțin simplu, este suficient să le rescrieți explicit. De exemplu, pentru cazul în spațiu, obținem următoarea ecuație:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Este convenabil să lucrezi cu ecuații parametrice dacă trebuie să analizezi comportamentulfiecare coordonata. Rețineți că, deși parametrul λ poate lua valori arbitrare, trebuie să fie același în toate cele trei egalități.

Ecuație generală

O altă modalitate de a defini o linie dreaptă, care este adesea folosită pentru a lucra cu obiectul geometric considerat, este utilizarea unei ecuații generale. Pentru cazul bidimensional, arată astfel:

Ax + By + C=0

Aici literele latine majuscule reprezintă valori numerice specifice. Comoditatea acestei egalități în rezolvarea problemelor constă în faptul că conține în mod explicit un vector care este perpendicular pe o dreaptă. Dacă îl notăm cu n¯, atunci putem scrie:

n¯=[A; B]

În plus, expresia este convenabil de utilizat pentru a determina distanța de la o linie dreaptă până la un punct P(x₁; y_{1). Formula pentru distanța d este:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Este ușor să arătăm că dacă exprimăm în mod explicit variabila y din ecuația generală, obținem următoarea formă binecunoscută de a scrie o dreaptă:

y=kx + b

Unde k și b sunt determinate în mod unic de numerele A, B, C.

Ecuația în segmente și canonică

Intersecția axelor de coordonate ale unei drepte

Ecuația în segmente este cel mai ușor de obținut din perspectiva generală. Vă vom arăta cum să o faceți.

Să presupunem că avem următoarea linie:

Ax + By + C=0

Mutați termenul liber în partea dreaptă a egalității, apoi împărțiți întreaga ecuație la el, obținem:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, unde q=-C / A, p=-C / B

Avem așa-numita ecuație în segmente. Și-a primit numele datorită faptului că numitorul cu care este împărțită fiecare variabilă arată valoarea coordonatei intersecției dreptei cu axa corespunzătoare. Este convenabil să folosiți acest fapt pentru a reprezenta o linie dreaptă într-un sistem de coordonate, precum și pentru a analiza poziția sa relativă în raport cu alte obiecte geometrice (linii drepte, puncte).

Acum să trecem la obținerea ecuației canonice. Acest lucru este mai ușor de făcut dacă luăm în considerare opțiunea parametrică. Pentru cazul din avion avem:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Exprimăm parametrul λ în fiecare egalitate, apoi le echivalăm, obținem:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Aceasta este ecuația dorită scrisă în formă simetrică. La fel ca o expresie vectorială, conține în mod explicit coordonatele vectorului de direcție și coordonatele unuia dintre punctele care aparțin dreptei.

Se poate observa că în acest paragraf am dat ecuații pentru cazul bidimensional. În mod similar, puteți scrie ecuația unei linii drepte în spațiu. Trebuie remarcat aici că dacă forma canonicăînregistrările și expresia în segmente vor avea aceeași formă, atunci ecuația generală în spațiu pentru o dreaptă este reprezentată printr-un sistem de două ecuații pentru planuri care se intersectează.

Problema construirii ecuației unei linii drepte

Din geometrie, fiecare elev știe că prin două puncte poți trage o singură linie. Să presupunem că următoarele puncte sunt date în planul de coordonate:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Este necesar să se găsească ecuația dreptei căreia îi aparțin ambele puncte, în segmente, în formă vectorială, canonică și generală.

Să obținem mai întâi ecuația vectorială. Pentru a face acest lucru, definiți pentru vectorul direcție directă M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Acum puteți crea o ecuație vectorială luând unul dintre cele două puncte specificate în declarația problemei, de exemplu, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Pentru a obține ecuația canonică, este suficient să transformați egalitatea găsită într-o formă parametrică și să excludeți parametrul λ. Avem:

x=-1 - 2λ, prin urmare λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, atunci obținem λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Celel alte două ecuații (generale și pe segmente) pot fi găsite din cea canonică transformând-o astfel:

x + 1=-2y + 6;

ecuație generală: x + 2y - 5=0;

în ecuația segmentelor: x / 5 + y / 2, 5=1

Ecuațiile rezultate arată că vectorul (1; 2) trebuie să fie perpendicular pe dreapta. Într-adevăr, dacă găsiți produsul său scalar cu vectorul direcție, atunci acesta va fi egal cu zero. Ecuația segmentului de dreaptă spune că linia intersectează axa x la (5; 0) și axa y la (2, 5; 0).

Problema determinării punctului de intersecție al dreptelor

Două drepte sunt date pe plan prin următoarele ecuații:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Este necesar să se determine coordonatele punctului în care aceste linii se intersectează.

Există două moduri de a rezolva problema:

Transformați ecuația vectorială într-o formă generală, apoi rezolvați sistemul a două ecuații liniare.
Nu efectuați nicio transformare, ci pur și simplu înlocuiți coordonata punctului de intersecție, exprimată prin parametrul λ, în prima ecuație. Apoi găsiți valoarea parametrului.

Să facem a doua cale. Avem: