Lumea este aranjată în așa fel încât rezolvarea unui număr mare de probleme se rezumă la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Rădăcinile ecuațiilor sunt importante pentru descrierea diferitelor modele. Acest lucru era cunoscut chiar și de inspectorii Babilonului antic. Astronomii și inginerii au fost, de asemenea, forțați să rezolve astfel de probleme. În secolul al VI-lea d. Hr., omul de știință indian Aryabhata a dezvoltat elementele de bază pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Formulele au fost finalizate în secolul al XIX-lea.
Concepte generale
Vă invităm să vă familiarizați cu regularitățile de bază ale egalităților pătratice. În general, egalitatea poate fi scrisă după cum urmează:
ax2 + bx + c=0, Numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice poate fi egal cu una sau două. O analiză rapidă poate fi făcută folosind conceptul de discriminant:
D=b2 - 4ac
În funcție de valoarea calculată, obținem:
- Când D > 0 există două rădăcini diferite. Formula generală pentru determinarea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată ca (-b± √D) / (2a).
- D=0, în acest caz rădăcina este una și corespunde valorii x=-b / (2a)
- D < 0, pentru o valoare negativă a discriminantului, nu există o soluție pentru ecuație.
Notă: dacă discriminantul este negativ, ecuația nu are rădăcini doar în regiunea numerelor reale. Dacă algebra este extinsă la conceptul de rădăcini complexe, atunci ecuația are o soluție.
Să oferim un lanț de acțiuni care confirmă formula pentru găsirea rădăcinilor.
Din forma generală a ecuației, rezultă:
ax2 + bx=-c
Înmulțim părțile din dreapta și din stânga cu 4a și adăugăm b2, obținem
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Transformați partea stângă în pătratul polinomului (2ax + b)2. Extragem rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), transferăm coeficientul b în partea dreaptă, obținem:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
De aici urmează:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Ce trebuia afișat.
Caz special
În unele cazuri, soluția problemei poate fi simplificată. Deci, pentru un coeficient b par obținem o formulă mai simplă.
Notați k=1/2b, atunci formula formei generale a rădăcinilor ecuației pătratice ia forma:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Când D=0, obținem x=-k / a
Un alt caz special este soluția ecuației cu a=1.
Pentru forma x2 + bx + c=0 rădăcinile vor fi x=-k ± √(k2 - c) cu discriminant mai mare de 0. Pentru cazul în care D=0, rădăcina va fi determinată printr-o formulă simplă: x=-k.
Utilizați grafice
Orice persoană, fără să știe, se confruntă constant cu fenomene fizice, chimice, biologice și chiar sociale care sunt bine descrise printr-o funcție pătratică.
Notă: curba construită pe baza unei funcții pătratice se numește parabolă.
Iată câteva exemple.
- La calcularea traiectoriei unui proiectil, se folosește proprietatea mișcării de-a lungul unei parabole a unui corp tras la un unghi față de orizont.
- Proprietatea unei parabole de a distribui uniform sarcina este utilizată pe scară largă în arhitectură.
Înțelegând importanța funcției parabolice, să ne dăm seama cum să folosim graficul pentru a-i explora proprietățile, folosind conceptele de „discriminant” și „rădăcinile unei ecuații pătratice”.
În funcție de valoarea coeficienților a și b, există doar șase opțiuni pentru poziția curbei:
- Discriminantul este pozitiv, a și b au semne diferite. Ramurile parabolei se uită în sus, ecuația pătratică are două soluții.
- Discriminant și coeficientul b sunt egali cu zero, coeficientul a este mai mare decât zero. Graficul se află în zona pozitivă, ecuația are 1 rădăcină.
- Discriminantul și toți coeficienții sunt pozitivi. Ecuația pătratică nu are soluție.
- Discriminant și coeficientul a sunt negativi, b este mai mare decât zero. Ramurile graficului sunt îndreptate în jos, ecuația are două rădăcini.
- Discriminant șicoeficientul b este egal cu zero, coeficientul a este negativ. Parabola se uită în jos, ecuația are o rădăcină.
- Valorile discriminantului și ale tuturor coeficienților sunt negative. Nu există soluții, valorile funcției sunt complet în zona negativă.
Notă: opțiunea a=0 nu este luată în considerare, deoarece în acest caz parabola degenerează într-o linie dreaptă.
Toate cele de mai sus sunt bine ilustrate de figura de mai jos.
Exemple de rezolvare a problemelor
Condiție: folosind proprietățile generale, faceți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt egale între ele.
Soluție:
în funcție de starea problemei x1 =x2 sau -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Simplificarea notației:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, deschideți parantezele și dați termeni similari. Ecuația devine 2√(b2 - 4ac)=0. Această afirmație este adevărată când b2 - 4ac=0, deci b 2=4ac, atunci valoarea b=2√(ac) este înlocuită în ecuația
ax2 + 2√(ac)x + c=0, în forma redusă obținem x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Răspuns:
pentru un nu este egal cu 0 și orice c, există o singură soluție dacă b=2√(c / a).
Ecuațiile cuadrrice, cu toată simplitatea lor, sunt de mare importanță în calculele de inginerie. Aproape orice proces fizic poate fi descris cu o aproximare folosindfuncții de putere de ordinul n. Ecuația pătratică va fi prima astfel de aproximare.
