Unele probleme de matematică necesită abilitatea de a calcula rădăcina pătrată. Aceste probleme includ rezolvarea ecuațiilor de ordinul doi. În acest articol, vă prezentăm o metodă eficientă pentru calcularea rădăcinilor pătrate și o folosim atunci când lucrați cu formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.
Ce este o rădăcină pătrată?
În matematică, acest concept corespunde simbolului √. Datele istorice spun că a început să fie folosit pentru prima dată în jurul primei jumătate a secolului al XVI-lea în Germania (prima lucrare germană despre algebră a lui Christoph Rudolf). Oamenii de știință cred că acest simbol este o literă latină transformată r (radix înseamnă „rădăcină” în latină).
Rădăcina oricărui număr este egală cu o astfel de valoare, al cărei pătrat corespunde expresiei rădăcinii. În limbajul matematicii, această definiție va arăta astfel: √x=y dacă y2=x.
Rădăcina unui număr pozitiv (x > 0) este de asemeneaun număr pozitiv (y > 0), dar dacă rădăcina este luată dintr-un număr negativ (x < 0), atunci rezultatul acestuia va fi deja un număr complex, inclusiv unitatea imaginară i.
Iată două exemple simple:
√9=3 deoarece 32 =9; √(-9)=3i deoarece i2=-1.
Formula iterativă a lui Heron pentru găsirea rădăcinilor pătrate
Exemplele de mai sus sunt foarte simple, iar calcularea rădăcinilor din ele nu este dificilă. Dificultățile încep să apară deja la găsirea valorilor rădăcinii pentru orice valoare care nu poate fi reprezentată ca un pătrat al unui număr natural, de exemplu √10, √11, √12, √13, ca să nu mai vorbim de faptul că în practică este necesar să găsim rădăcini pentru numere non-întregi: de exemplu √(12, 15), √(8, 5) și așa mai departe.
În toate cazurile de mai sus, ar trebui utilizată o metodă specială de calcul a rădăcinii pătrate. În prezent, sunt cunoscute câteva astfel de metode: de exemplu, extinderea într-o serie Taylor, împărțirea pe o coloană și altele. Dintre toate metodele cunoscute, poate cea mai simplă și cea mai eficientă este utilizarea formulei iterative a lui Heron, care este cunoscută și ca metoda babiloniană pentru determinarea rădăcinilor pătrate (există dovezi că vechii babilonieni au folosit-o în calculele lor practice).
Să fie necesar să se determine valoarea lui √x. Formula pentru găsirea rădăcinii pătrate este următoarea:
an+1=1/2(a+x/a), unde limn->∞(a)=> x.
Descifrează această notație matematică. Pentru a calcula √x, ar trebui să luați un număr a0 (poate fi arbitrar, dar pentru un rezultat rapid, ar trebui să îl alegeți astfel încât (a0) 2 a fost cât mai aproape posibil de x, apoi înlocuiți-l în formula specificată a rădăcinii pătrate și obțineți un nou număr a1, care va fi deja fiți mai aproape de valoarea dorită. este necesar să înlocuiți a1 în expresie și să obțineți a2 Această procedură trebuie repetată până când se obține precizia necesară.
Un exemplu de aplicare a formulei iterative a lui Heron
Algoritmul descris mai sus pentru obținerea rădăcinii pătrate a unui anumit număr poate suna destul de complicat și confuz pentru mulți, dar în realitate totul se dovedește a fi mult mai simplu, deoarece această formulă converge foarte repede (mai ales dacă un număr norocos este ales un 0).
Să luăm un exemplu simplu: trebuie să calculăm √11. Alegem un0=3, deoarece 32=9, care este mai aproape de 11 decât 42=16. Înlocuind în formulă, obținem:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nu are rost să continuăm calculele, deoarece am obținut că a2 și a3 încep să difere doar la a 5-a zecimală loc. Astfel, a fost suficient să aplici doar de 2 ori formula lacalculați √11 până la 0,0001.
În prezent, calculatoarele și calculatoarele sunt utilizate pe scară largă pentru a calcula rădăcinile, cu toate acestea, este util să rețineți formula marcată pentru a putea calcula manual valoarea exactă a acestora.
Ecuații de ordinul al doilea
Înțelegerea ce este o rădăcină pătrată și capacitatea de a o calcula este folosită atunci când rezolvați ecuații pătratice. Aceste ecuații sunt egalități cu o necunoscută, a căror formă generală este prezentată în figura de mai jos.
Aici c, b și a sunt câteva numere, iar a nu trebuie să fie egal cu zero, iar valorile lui c și b pot fi complet arbitrare, inclusiv zero.
Orice valori ale lui x care satisfac egalitatea indicată în figură se numesc rădăcinile sale (acest concept nu trebuie confundat cu rădăcina pătrată √). Deoarece ecuația luată în considerare are al doilea ordin (x2), atunci nu pot exista mai mult de două numere pentru rădăcinile sale. Să vedem cum să găsim aceste rădăcini mai târziu în articol.
Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice (formula)
Această metodă de rezolvare a tipului considerat de egalități se mai numește și universală, sau metoda prin discriminant. Poate fi aplicat oricăror ecuații pătratice. Formula pentru discriminantul și rădăcinile ecuației pătratice este următoarea:
Arată că rădăcinile depind de valoarea fiecăruia dintre cei trei coeficienți ai ecuației. Mai mult, calcululx1 diferă de calculul x2 numai prin semnul dinaintea rădăcinii pătrate. Expresia radicală, care este egală cu b2 - 4ac, nu este altceva decât discriminantul egalității considerate. Discriminantul din formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice joacă un rol important deoarece determină numărul și tipul soluțiilor. Deci, dacă este zero, atunci va exista o singură soluție, dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, în sfârșit, discriminantul negativ duce la două rădăcini complexe x1 și x 2.
Teorema lui Vieta sau unele proprietăți ale rădăcinilor ecuațiilor de ordinul doi
La sfârșitul secolului al XVI-lea, unul dintre fondatorii algebrei moderne, francezul Francois Viet, care studia ecuațiile de ordinul doi, a reușit să obțină proprietățile rădăcinilor sale. Matematic, ele pot fi scrise astfel:
x1 + x2=-b / a și x1 x 2=c / a.
Ambele egalități pot fi obținute cu ușurință de oricine, pentru aceasta este nevoie doar de a efectua operațiile matematice corespunzătoare cu rădăcinile obținute prin formula cu discriminantul.
Combinația acestor două expresii poate fi numită pe bună dreptate a doua formulă a rădăcinilor unei ecuații pătratice, ceea ce face posibilă ghicirea soluțiilor acesteia fără a utiliza discriminantul. Trebuie remarcat aici că, deși ambele expresii sunt întotdeauna valide, este convenabil să le folosiți pentru a rezolva o ecuație numai dacă aceasta poate fi factorizată.
Sarcina de a consolida cunoștințele dobândite
Să rezolvăm o problemă de matematică în care vom demonstra toate tehnicile discutate în articol. Condițiile problemei sunt următoarele: trebuie să găsiți două numere pentru care produsul este -13, iar suma este 4.
Această condiție amintește imediat de teorema lui Vieta, aplicând formulele pentru suma rădăcinilor pătrate și produsul lor, scriem:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Presumând a=1, atunci b=-4 și c=-13. Acești coeficienți ne permit să scriem o ecuație de ordinul doi:
x2 - 4x - 13=0.
Folosiți formula cu discriminantul, obținem următoarele rădăcini:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Adică, sarcina a fost redusă la găsirea numărului √68. Rețineți că 68=417, apoi folosind proprietatea rădăcinii pătrate, obținem: √68=2√17.
Acum să folosim formula rădăcină pătrată considerată: a0=4, apoi:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nu este nevoie să calculați a3 deoarece valorile găsite diferă doar cu 0,02. Astfel, √68=8,246. Înlocuind-o în formula pentru x 1, 2, obținem:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 și x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
După cum puteți vedea, suma numerelor găsite este într-adevăr 4, dar dacă găsiți produsul lor, acesta va fi egal cu -12,999, care satisface condiția problemei cu o precizie de 0,001.
