Rădăcina pătrată aritmetică și proprietățile acesteia

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 05:39

Toți am studiat rădăcinile pătrate aritmetice la ora de algebră de la școală. Se întâmplă că, dacă cunoștințele nu sunt reîmprospătate, atunci acestea sunt repede uitate, la fel și cu rădăcinile. Acest articol va fi util elevilor de clasa a VIII-a care doresc să-și reîmprospăteze cunoștințele în acest domeniu și altor școlari, deoarece lucrăm cu rădăcini în clasele a 9-a, a 10-a și a 11-a.

Istoria rădăcinii și gradului

Chiar și în cele mai vechi timpuri, și în special în Egiptul antic, oamenii aveau nevoie de diplome pentru a efectua operații pe numere. Când nu exista un astfel de concept, egiptenii au notat produsul aceluiași număr de douăzeci de ori. Dar în curând a fost inventată o soluție la problemă - numărul de ori în care numărul trebuie înmulțit cu el însuși a început să fie scris în colțul din dreapta sus deasupra lui, iar această formă de înregistrare a supraviețuit până în zilele noastre.

Și istoria rădăcinii pătrate a început acum aproximativ 500 de ani. A fost desemnat în diferite moduri și abia în secolul al XVII-lea Rene Descartes a introdus un astfel de semn, pe care îl folosim până astăzi.

Ce este o rădăcină pătrată

Să începem prin a explica ce este o rădăcină pătrată. Rădăcina pătrată a unui număr c este un număr nenegativ care, la pătrat, va fi egal cu c. În acest caz, c este mai mare sau egal cu zero.

Pentru a aduce un număr sub rădăcină, îl pătram și punem semnul rădăcinii peste el:

32=9, 3=√9

De asemenea, nu putem obține valoarea rădăcinii pătrate a unui număr negativ, deoarece orice număr dintr-un pătrat este pozitiv, adică:

c² ≧ 0, dacă √c este un număr negativ, atunci c^{2 < 0 - contrar regulii.}

Pentru a calcula rapid rădăcinile pătrate, trebuie să cunoașteți tabelul cu pătratele numerelor.

Proprietăți

Să luăm în considerare proprietățile algebrice ale rădăcinii pătrate.

1) Pentru a extrage rădăcina pătrată a produsului, trebuie să luați rădăcina fiecărui factor. Adică, poate fi scris ca produsul rădăcinilor factorilor:

√ac=√a × √c, de exemplu:

√36=√4 × √9

2) Când extrageți o rădăcină dintr-o fracție, este necesar să extrageți rădăcina separat de numărător și numitor, adică scrieți-o ca un coeficient al rădăcinilor lor.

3) Valoarea obținută prin luarea rădăcinii pătrate a unui număr este întotdeauna egală cu modulul acestui număr, deoarece modulul poate fi numai pozitiv:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Pentru a ridica o rădăcină la orice putere, o ridicăm la eaexpresie radicală:

(√с)⁴=√с^{4, de exemplu:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Pătratul rădăcinii aritmetice a lui c este egal cu acest număr însuși:

(√s)2=s.

Rădăcinile numerelor iraționale

Să spunem că rădăcina lui șaisprezece este ușoară, dar cum să luăm rădăcina unor numere precum 7, 10, 11?

Un număr a cărui rădăcină este o fracție neperiodică infinită se numește irațional. Nu putem extrage rădăcina din ea singuri. O putem compara doar cu alte numere. De exemplu, luați rădăcina lui 5 și comparați-o cu √4 și √9. Este clar că √4 < √5 < √9, apoi 2 < √5 < 3. Aceasta înseamnă că valoarea rădăcinii lui cinci este undeva între doi și trei, dar există o mulțime de fracții zecimale între ele și alegerea fiecăruia este o modalitate dubioasă de a găsi rădăcina.

Puteți face această operație pe un calculator - acesta este cel mai simplu și mai rapid mod, dar în clasa a VIII-a nu vi se va cere niciodată să extrageți numere iraționale din rădăcina pătrată aritmetică. Trebuie doar să vă amintiți valorile aproximative ale rădăcinii lui doi și ale rădăcinii lui trei:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Exemple

Acum, pe baza proprietăților rădăcinii pătrate, vom rezolva câteva exemple:

1) √17² - 8²

Amintiți-vă formula pentru diferența de pătrate:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Cunoaștem proprietatea rădăcinii aritmetice pătrate - pentru a extrage rădăcina din produs, trebuie să o extrageți din fiecare factor:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Aplicați o altă proprietate a rădăcinii - pătratul rădăcinii aritmetice a unui număr este egal cu acest număr în sine:

2 × 3 + 6=12

Important! Adesea, când încep să lucreze și să rezolve exemple cu rădăcini pătrate aritmetice, elevii fac următoarea greșeală:

√12 + 3=√12 + √3 - nu poți face asta!

Nu putem lua rădăcina fiecărui termen. Nu există o astfel de regulă, dar se confundă cu luarea rădăcinii fiecărui factor. Dacă am avea această intrare:

√12 × 3, atunci ar fi corect să scriem √12 × 3=√12 × √3.

Și așa putem scrie doar:

√12 + 3=√15