Mulți, puși în fața conceptului de „teoria probabilității”, sunt speriați, crezând că este ceva copleșitor, foarte complex. Dar nu este chiar atât de tragic. Astăzi vom lua în considerare conceptul de bază al teoriei probabilităților, vom învăța cum să rezolvăm probleme folosind exemple specifice.
Știință
Ce studiază o astfel de ramură a matematicii precum „teoria probabilității”? Se notează modele de evenimente aleatoare și cantități. Pentru prima dată, oamenii de știință au devenit interesați de această problemă încă din secolul al XVIII-lea, când au studiat jocurile de noroc. Conceptul de bază al teoriei probabilităților este un eveniment. Este orice fapt care este constatat prin experiență sau observație. Dar ce este experiența? Un alt concept de bază al teoriei probabilităților. Înseamnă că această alcătuire a circumstanțelor nu a fost creată întâmplător, ci pentru un scop anume. În ceea ce privește observația, aici cercetătorul însuși nu participă la experiment, ci este pur și simplu un martor la aceste evenimente, el nu influențează în niciun fel ceea ce se întâmplă.
Evenimente
Am aflat că conceptul de bază al teoriei probabilităților este un eveniment, dar nu am luat în considerare clasificarea. Toate sunt împărțite în următoarele categorii:
- De încredere.
- Imposibil.
- Aleatoriu.
Nu conteazăce fel de evenimente sunt observate sau create în cursul experienței, toate sunt supuse acestei clasificări. Ne oferim să facem cunoștință cu fiecare dintre specii separat.
Un anume eveniment
Aceasta este o circumstanță în fața căreia a fost luat setul necesar de măsuri. Pentru a înțelege mai bine esența, este mai bine să dați câteva exemple. Fizica, chimia, economia și matematica superioară sunt supuse acestei legi. Teoria probabilității include un concept atât de important ca un anumit eveniment. Iată câteva exemple:
- Lucrăm și primim remunerație sub formă de salariu.
- Am promovat bine examenele, am promovat concursul, pentru aceasta primim o recompensă sub formă de admitere într-o instituție de învățământ.
- Am investit bani în bancă, îi vom primi înapoi dacă este necesar.
Astfel de evenimente sunt de încredere. Dacă am îndeplinit toate condițiile necesare, atunci cu siguranță vom obține rezultatul așteptat.
Evenimente imposibile
Acum luăm în considerare elementele teoriei probabilităților. Ne propunem să trecem la o explicație a următorului tip de eveniment și anume imposibilul. Mai întâi, să specificăm cea mai importantă regulă - probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Nu vă puteți abate de la această formulare atunci când rezolvați probleme. Pentru a clarifica, iată exemple de astfel de evenimente:
- Apa a înghețat la plus zece (acest lucru este imposibil).
- Lipsa energiei electrice nu afectează în niciun fel producția (la fel de imposibil ca în exemplul precedent).
Mai multe exempleNu merită citat, deoarece cele descrise mai sus reflectă foarte clar esența acestei categorii. Evenimentul imposibil nu se va întâmpla niciodată în timpul experienței sub nicio circumstanță.
Evenimente aleatoare
Studiind elementele teoriei probabilităților, ar trebui să se acorde o atenție deosebită acestui tip particular de eveniment. Asta studiază știința. Ca rezultat al experienței, ceva se poate întâmpla sau nu. În plus, testul poate fi repetat de un număr nelimitat de ori. Exemple vii sunt:
- Aruncarea unei monede este o experiență sau un test, titlul este un eveniment.
- Străgerea orbește o minge dintr-o pungă este un test, o minge roșie este prinsă este un eveniment și așa mai departe.
Poate exista un număr nelimitat de astfel de exemple, dar, în general, esența ar trebui să fie clară. Pentru a rezuma și sistematiza cunoștințele acumulate despre evenimente, este dat un tabel. Teoria probabilității studiază doar ultimul tip din toate cele prezentate.
| titlu | definiție | example |
| De încredere | Evenimente care au loc cu o garanție de 100% în anumite condiții. | Admitere într-o instituție de învățământ cu un examen de admitere bun. |
| Impossible | Evenimente care nu se vor întâmpla niciodată în nicio circumstanță. | Ninge la o temperatură de plus treizeci de grade Celsius. |
| aleatoriu | Un eveniment care poate sau nu să apară în timpul unui experiment/test. | Loviți sau ratați când aruncați o minge de baschet în cerc. |
Legi
Teoria probabilității este o știință care studiază posibilitatea producerii unui eveniment. Ca și celel alte, are niște reguli. Există următoarele legi ale teoriei probabilităților:
- Convergența secvențelor de variabile aleatoare.
- Legea numerelor mari.
Când calculați posibilitatea unui complex, puteți utiliza un complex de evenimente simple pentru a obține rezultatul într-un mod mai ușor și mai rapid. Rețineți că legile teoriei probabilităților sunt ușor de demonstrat cu ajutorul unor teoreme. Să începem cu prima lege.
Convergența secvențelor de variabile aleatoare
Rețineți că există mai multe tipuri de convergență:
- Secvența de variabile aleatoare converge în probabilitate.
- Aproape imposibil.
- Convergență RMS.
- Convergență în distribuție.
Deci, din mers, este foarte greu să ajungi la fund. Iată câteva definiții pentru a vă ajuta să înțelegeți acest subiect. Să începem cu prima privire. O secvență se numește convergentă în probabilitate dacă este îndeplinită următoarea condiție: n tinde spre infinit, numărul către care tinde șirul este mai mare decât zero și apropiat de unu.
Mergând la următoarea vizualizare, aproape sigur. Ei spun astasecvența converge aproape sigur către o variabilă aleatoare cu n tinde spre infinit și P tinde către o valoare apropiată de unu.
Următorul tip este convergența pătratică medie. Când se utilizează convergența SC, studiul proceselor aleatoare vectoriale se reduce la studiul proceselor aleatoare coordonate ale acestora.
Rămâne ultimul tip, să-l aruncăm o scurtă privire pentru a trece direct la rezolvarea problemelor. Convergența distribuției are un alt nume - „slab”, vom explica de ce mai jos. Convergența slabă este convergența funcțiilor de distribuție în toate punctele de continuitate ale funcției de distribuție limită.
Asigurați-vă că îndepliniți promisiunea: convergența slabă diferă de toate cele de mai sus prin faptul că variabila aleatoare nu este definită în spațiul de probabilitate. Acest lucru este posibil deoarece condiția este formată exclusiv folosind funcții de distribuție.
Legea numerelor mari
Ajutatorii excelenți în demonstrarea acestei legi vor fi teoremele teoriei probabilităților, cum ar fi:
- Inegalitatea lui Chebyshev.
- Teorema lui Cebișev.
- Teorema lui Cebyshev generalizată.
- Teorema lui Markov.
Dacă luăm în considerare toate aceste teoreme, atunci această întrebare poate dura câteva zeci de foi. Sarcina noastră principală este să aplicăm teoria probabilității în practică. Vă invităm să faceți acest lucru chiar acum. Dar înainte de asta, să luăm în considerare axiomele teoriei probabilităților, ele vor fi principalii asistenți în rezolvarea problemelor.
Axiome
L-am întâlnit deja pe primul când am vorbit despre evenimentul imposibil. Să ne amintim: probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Am dat un exemplu foarte viu și memorabil: a nins la o temperatură a aerului de treizeci de grade Celsius.
Al doilea sună așa: un eveniment de încredere are loc cu o probabilitate egală cu unu. Acum să arătăm cum se scrie folosind limbajul matematic: P(B)=1.
Al treilea: un eveniment aleatoriu poate să apară sau nu, dar posibilitatea variază întotdeauna de la zero la unu. Cu cât valoarea este mai aproape de unu, cu atât șansa este mai mare; dacă valoarea se apropie de zero, probabilitatea este foarte mică. Să scriem asta în limbaj matematic: 0<Р(С)<1.
Să luăm în considerare ultima, a patra axiomă, care sună astfel: probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților lor. Scriem în limbaj matematic: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Axiomele teoriei probabilităților sunt cele mai simple reguli care sunt ușor de reținut. Să încercăm să rezolvăm câteva probleme, pe baza cunoștințelor deja acumulate.
Bilet de loterie
În primul rând, luați în considerare cel mai simplu exemplu - loteria. Imaginează-ți că ai cumpărat un bilet de loterie pentru noroc. Care este probabilitatea ca să câștigi cel puțin douăzeci de ruble? În total, o mie de bilete participă la circulație, dintre care unul are un premiu de cinci sute de ruble, zece de o sută de ruble, cincizeci de douăzeci de ruble și o sută de cinci. Problemele din teoria probabilității se bazează pe găsirea posibilitățiinoroc. Acum vom analiza împreună soluția sarcinii prezentate mai sus.
Dacă notăm cu litera A un câștig de cinci sute de ruble, atunci probabilitatea de a obține A va fi 0,001. Cum am obținut-o? Trebuie doar să împărțiți numărul de bilete „norocoase” la numărul lor total (în acest caz: 1/1000).
B este un câștig de o sută de ruble, probabilitatea va fi 0,01. Acum am acționat pe același principiu ca în acțiunea anterioară (10/1000)
C - câștigurile sunt egale cu douăzeci de ruble. Găsiți probabilitatea, aceasta este egală cu 0,05.
Restul biletelor nu ne interesează, deoarece fondul lor de premii este mai mic decât cel specificat în condiție. Să aplicăm a patra axiomă: probabilitatea de a câștiga cel puțin douăzeci de ruble este P(A)+P(B)+P(C). Litera P indică probabilitatea apariției acestui eveniment, le-am găsit deja în pașii anteriori. Rămâne doar să adăugați datele necesare, în răspuns obținem 0, 061. Acest număr va fi răspunsul la întrebarea sarcinii.
Pack de carduri
Problemele de teoria probabilității pot fi mai complexe, de exemplu, luați următoarea sarcină. Înaintea ta este un pachet de treizeci și șase de cărți. Sarcina ta este să trageți două cărți la rând fără a amesteca grămada, prima și a doua cărți trebuie să fie ași, culoarea nu contează.
În primul rând, să găsim probabilitatea ca prima carte să fie un as, pentru aceasta împărțim patru la treizeci și șase. L-au pus deoparte. Scoatem a doua carte, va fi un as cu o probabilitate de trei treizeci și cincimi. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment depinde de ce carte am extras prima, care ne intereseazăa fost un as sau nu. Rezultă că evenimentul B depinde de evenimentul A.
Următorul pas este să găsim probabilitatea implementării simultane, adică înmulțim A și B. Produsul lor se găsește astfel: probabilitatea unui eveniment se înmulțește cu probabilitatea condiționată a altuia, pe care o calculăm., presupunând că a avut loc primul eveniment, adică cu prima carte am tras un as.
Pentru a clarifica totul, să dăm o desemnare unui astfel de element ca probabilitatea condiționată a unui eveniment. Se calculează presupunând că evenimentul A a avut loc. Calculat după cum urmează: P(B/A).
Rezolvați în continuare problema noastră: P(AB)=P(A)P(B/A) sau P (AB)=P(B)P(A/B). Probabilitatea este (4/36)((3/35)/(4/36). Calculați rotunjind la sutimi. Avem: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Probabilitatea ca să tragem doi ași la rând este de nouă sutimi. Valoarea este foarte mică, rezultă că probabilitatea de apariție a evenimentului este extrem de mică.
Număr uitat
Ne propunem să analizăm câteva opțiuni suplimentare pentru sarcinile care sunt studiate de teoria probabilității. Ai văzut deja exemple de rezolvare a unora dintre ele în acest articol, hai să încercăm să rezolvăm următoarea problemă: băiatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon al prietenului său, dar întrucât apelul era foarte important, a început să formeze totul pe rând. Trebuie să calculăm probabilitatea ca el să sune de cel mult trei ori. Soluția problemei este cea mai simplă dacă se cunosc regulile, legile și axiomele teoriei probabilităților.
Înainte de vizionaresoluție, încercați să o rezolvați singur. Știm că ultima cifră poate fi de la zero la nouă, adică există zece valori în total. Probabilitatea de a obține cea potrivită este de 1/10.
În continuare, trebuie să luăm în considerare opțiunile pentru originea evenimentului, să presupunem că băiatul a ghicit corect și a marcat imediat pe cel potrivit, probabilitatea unui astfel de eveniment este de 1/10. A doua opțiune: primul apel este ratat, iar al doilea este la țintă. Calculăm probabilitatea unui astfel de eveniment: înmulțim 9/10 cu 1/9, ca urmare obținem și 1/10. A treia variantă: primul și al doilea apel s-au dovedit a fi la adresa greșită, doar din a treia băiatul a ajuns unde a vrut. Calculăm probabilitatea unui astfel de eveniment: înmulțim 9/10 cu 8/9 și cu 1/8, obținem ca rezultat 1/10. În funcție de starea problemei, nu ne interesează alte opțiuni, așa că rămâne să adunăm rezultatele, ca urmare avem 3/10. Răspuns: Probabilitatea ca băiatul să sune de cel mult trei ori este de 0,3.
Carduri cu numere
În fața ta sunt nouă cărți, pe fiecare dintre care este scris un număr de la unu la nouă, numerele nu se repetă. Au fost puse într-o cutie și amestecate bine. Trebuie să calculați probabilitatea ca
- va apărea un număr par;
- cu două cifre.
Înainte de a trece la soluție, să precizăm că m este numărul de cazuri reușite și n este numărul total de opțiuni. Aflați probabilitatea ca numărul să fie par. Nu va fi greu de calculat că există patru numere pare, acesta va fi m-ul nostru, există nouă opțiuni în total, adică m=9. Apoi probabilitateaeste egal cu 0, 44 sau 4/9.
Luați în considerare cel de-al doilea caz: numărul de opțiuni este nouă și nu poate exista niciun rezultat de succes, adică m este egal cu zero. Probabilitatea ca cartea extrasă să conțină un număr din două cifre este, de asemenea, zero.
