Rezolvarea ecuațiilor în matematică are un loc special. Acest proces este precedat de multe ore de studiu a teoriei, timp în care studentul învață cum să rezolve ecuații, să le determine forma și să aducă abilitățile la un automatism deplin. Cu toate acestea, căutarea rădăcinilor nu are întotdeauna sens, deoarece acestea pur și simplu nu există. Există metode speciale pentru găsirea rădăcinilor. În acest articol, vom analiza principalele funcții, domeniile lor, precum și cazurile în care rădăcinile lor sunt absente.
Care ecuație nu are rădăcini?
O ecuație nu are rădăcini dacă nu există astfel de argumente reale x pentru care ecuația să fie identic adevărată. Pentru un nespecialist, această formulare, la fel ca majoritatea teoremelor și formulelor matematice, pare foarte vagă și abstractă, dar acest lucru este în teorie. În practică, totul devine extrem de simplu. De exemplu: ecuația 0x=-53 nu are soluție, deoarece nu există un astfel de număr x, al cărui produs cu zero ar da altceva decât zero.
Acum ne vom uita la cele mai elementare tipuri de ecuații.
1. Ecuația liniară
O ecuație se numește liniară dacă părțile ei din dreapta și din stânga sunt reprezentate ca funcții liniare: ax + b=cx + d sau într-o formă generalizată kx + b=0. Unde a, b, c, d sunt cunoscute numere, iar x este o cantitate necunoscută. Care ecuație nu are rădăcini? Exemple de ecuații liniare sunt prezentate în ilustrația de mai jos.
Practic, ecuațiile liniare sunt rezolvate prin simpla mutare a părții numerice într-o parte și a conținutului lui x în ceal altă. Rezultă o ecuație de forma mx \u003d n, unde m și n sunt numere, iar x este o necunoscută. Pentru a găsi x, este suficient să împărțiți ambele părți la m. Atunci x=n/m. Practic, ecuațiile liniare au o singură rădăcină, dar există cazuri în care fie există un număr infinit de rădăcini, fie nici una. Cu m=0 și n=0, ecuația ia forma 0x=0. Absolut orice număr va fi soluția unei astfel de ecuații.
Dar ce ecuație nu are rădăcini?
Când m=0 și n=0, ecuația nu are rădăcini din mulțimea numerelor reale. 0x=-1; 0x=200 - aceste ecuații nu au rădăcini.
2. Ecuația pătratică
O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax2 + bx + c=0 pentru a=0. Cea mai comună modalitate de a rezolva o ecuație pătratică este de a o rezolva prin discriminant. Formula pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice: D=b2 - 4ac. Apoi există două rădăcini x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Când D > 0, ecuația are două rădăcini, când D=0 - o rădăcină. Dar ce ecuație pătratică nu are rădăcini?Cel mai simplu mod de a observa numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice este pe graficul unei funcții, care este o parabolă. La un > 0 crengile sunt îndreptate în sus, la un < 0 crengile sunt coborâte în jos. Dacă discriminantul este negativ, o astfel de ecuație pătratică nu are rădăcini în mulțimea numerelor reale.
De asemenea, puteți determina vizual numărul de rădăcini fără a calcula discriminantul. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți vârful parabolei și să determinați în ce direcție sunt îndreptate ramurile. Puteți determina coordonata x a unui vârf folosind formula: x0 =-b / 2a. În acest caz, coordonata y a vârfului este găsită prin simpla înlocuire a valorii x0 în ecuația originală.
Ecuația pătratică x2 – 8x + 72=0 nu are rădăcini deoarece are un discriminant negativ D=(–8)2 - 4172=-224. Aceasta înseamnă că parabola nu atinge axa x și funcția nu ia niciodată valoarea 0, prin urmare ecuația nu are rădăcini reale.
3. Ecuații trigonometrice
Funcțiile trigonometrice sunt considerate pe un cerc trigonometric, dar pot fi reprezentate și într-un sistem de coordonate carteziene. În acest articol, ne vom uita la două funcții trigonometrice de bază și ecuațiile lor: sinx și cosx. Deoarece aceste funcții formează un cerc trigonometric cu raza 1, |sinx| și |cosx| nu poate fi mai mare de 1. Deci care ecuație sinx nu are rădăcini? Luați în considerare graficul funcției sinx prezentat în imaginemai jos.
Vedem că funcția este simetrică și are o perioadă de repetiție de 2pi. Pe baza acestui fapt, putem spune că valoarea maximă a acestei funcții poate fi 1, iar cea minimă -1. De exemplu, expresia cosx=5 nu va avea rădăcini, deoarece modulo ei este mai mare decât unu.
Acesta este cel mai simplu exemplu de ecuații trigonometrice. De fapt, soluția lor poate dura multe pagini, la sfârșitul cărora îți dai seama că ai folosit formula greșită și trebuie să o iei de la capăt. Uneori, chiar și cu găsirea corectă a rădăcinilor, puteți uita să țineți cont de restricțiile privind ODZ, motiv pentru care în răspuns apare o rădăcină sau un interval suplimentar, iar întregul răspuns se transformă într-unul eronat. Prin urmare, urmați cu strictețe toate restricțiile, deoarece nu toate rădăcinile se încadrează în domeniul de aplicare al sarcinii.
4. Sisteme de ecuații
Un sistem de ecuații este un set de ecuații combinate cu paranteze pătrate sau ondulate. Acoladele denotă execuția comună a tuturor ecuațiilor. Adică, dacă cel puțin una dintre ecuații nu are rădăcini sau o contrazice pe ceal altă, întregul sistem nu are soluție. Parantezele pătrate indică cuvântul „sau”. Aceasta înseamnă că dacă cel puțin una dintre ecuațiile sistemului are o soluție, atunci întregul sistem are o soluție.
Răspunsul sistemului cu paranteze drepte este totalitatea tuturor rădăcinilor ecuațiilor individuale. Și sistemele cu bretele au doar rădăcini comune. Sistemele de ecuații pot include funcții absolut diverse, deci această complexitate nu estevă permite să spuneți imediat ce ecuație nu are rădăcini.
Generalizare și sfaturi pentru găsirea rădăcinilor ecuației
În cărțile cu probleme și manuale există diferite tipuri de ecuații: cele care au rădăcini și cele care nu le au. În primul rând, dacă nu găsești rădăcini, să nu crezi că ele nu există deloc. Este posibil să fi făcut o greșeală undeva, apoi verificați-vă soluția.
Am acoperit cele mai elementare ecuații și tipurile acestora. Acum puteți spune care ecuație nu are rădăcini. În cele mai multe cazuri, acest lucru nu este deloc dificil de făcut. Pentru a obține succes în rezolvarea ecuațiilor, sunt necesare doar atenție și concentrare. Exersați mai mult, vă va ajuta să navigați în material mult mai bine și mai rapid.
Deci, ecuația nu are rădăcini dacă:
- în ecuația liniară mx=n valoarea m=0 și n=0;
- într-o ecuație pătratică dacă discriminantul este mai mic decât zero;
- într-o ecuație trigonometrică de forma cosx=m / sinx=n, dacă |m| > 0, |n| > 0;
- într-un sistem de ecuații cu paranteze dacă cel puțin o ecuație nu are rădăcini și cu paranteze pătrate dacă toate ecuațiile nu au rădăcini.
