Matricele (tabelele cu elemente numerice) pot fi folosite pentru diferite calcule. Unele dintre ele sunt înmulțirea cu un număr, un vector, o altă matrice, mai multe matrice. Produsul este uneori incorect. Un rezultat eronat este rezultatul necunoașterii regulilor de efectuare a acțiunilor de calcul. Să ne dăm seama cum să facem înmulțirea.
Matrice și număr
Să începem cu cel mai simplu lucru - înmulțirea unui tabel cu numere cu o anumită valoare. De exemplu, avem o matrice A cu elementele aij (i sunt numerele rândurilor și j sunt numerele coloanei) și numărul e. Produsul matricei prin numărul e va fi matricea B cu elementele bij, care se găsesc prin formula:
bij=e × aij.
T. e. pentru a obține elementul b11 trebuie să luați elementul a11 și să-l înmulțiți cu numărul dorit, pentru a obține b12 este necesar pentru a găsi produsul elementului a12 și numărul e etc.
Să rezolvăm problema numărul 1 prezentată în imagine. Pentru a obține matricea B, înmulțiți pur și simplu elementele din A cu 3:
- a11 × 3=18. Scriem această valoare în matricea B în locul în care se intersectează coloana nr. 1 și rândul nr. 1.
- a21 × 3=15. Avem elementul b21.
- a12 × 3=-6. Am primit elementul b12. O scriem în matricea B în locul în care se intersectează coloana 2 și rândul 1.
- a22 × 3=9. Acest rezultat este elementul b22.
- a13 × 3=12. Introduceți acest număr în matrice în locul elementului b13.
- a23 × 3=-3. Ultimul număr primit este elementul b23.
Astfel, avem o matrice dreptunghiulară cu elemente numerice.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vectorii și condiția existenței unui produs de matrici
În disciplinele matematice, există un „vector”. Acest termen se referă la un set ordonat de valori de la a1 la a . Ele se numesc coordonate ale spațiului vectorial și sunt scrise ca o coloană. Există și termenul de „vector transpus”. Componentele sale sunt aranjate ca un șir.
Vectorii pot fi numiți matrici:
Vectorul
Vectorul
Când ați terminatpeste matrice de operații de înmulțire, este important de reținut că există o condiție pentru existența unui produs. Acțiunea de calcul A × B poate fi efectuată numai atunci când numărul de coloane din tabelul A este egal cu numărul de rânduri din tabelul B. Matricea rezultată rezultată în urma calculului are întotdeauna numărul de rânduri din tabelul A și numărul de coloane. în tabelul B.
La înmulțire, nu este recomandat să rearanjați matricele (multiplicatorii). Produsul lor de obicei nu corespunde legii comutative (deplasării) a înmulțirii, adică rezultatul operației A × B nu este egal cu rezultatul operației B × A. Această caracteristică se numește necomutativitatea produsului lui matrici. În unele cazuri, rezultatul înmulțirii A × B este egal cu rezultatul înmulțirii B × A, adică produsul este comutativ. Matricele pentru care este valabilă egalitatea A × B=B × A se numesc matrici de permutare. Vedeți mai jos exemple de astfel de tabele.
Înmulțirea printr-un vector coloană
La înmulțirea unei matrice cu un vector coloană, trebuie să ținem cont de condiția existenței produsului. Numărul de coloane (n) din tabel trebuie să se potrivească cu numărul de coordonate care alcătuiesc vectorul. Rezultatul calculului este vectorul transformat. Numărul său de coordonate este egal cu numărul de linii (m) din tabel.
Cum se calculează coordonatele vectorului y dacă există o matrice A și un vector x? Pentru calcule create formule:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
unde x1, …, x sunt coordonatele din vectorul x, m este numărul de rânduri din matrice și numărul de coordonate în noul vector y, n este numărul de coloane din matrice și numărul de coordonate din vectorul x, a11, a12, …, amn– elemente ale matricei A.
Astfel, pentru a obține componenta i-a a noului vector, se realizează produsul scalar. Vectorul i-lea rând este luat din matricea A și este înmulțit cu vectorul disponibil x.
Să rezolvăm problema 2. Puteți găsi produsul dintre o matrice și un vector deoarece A are 3 coloane și x este format din 3 coordonate. Ca rezultat, ar trebui să obținem un vector coloană cu 4 coordonate. Să folosim formulele de mai sus:
- Calculați y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Valoarea finală este 2.
- Calculați y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Când calculăm, obținem 0.
- Calculați y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Suma produselor factorilor indicați este 6.
- Calculați y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Coordonata este -8.
Înmulțire vector-matrice de rând
Nu puteți înmulți o matrice cu mai multe coloane cu un vector rând. În astfel de cazuri nu este îndeplinită condiția existenței lucrării. Dar multiplicarea unui vector rând cu o matrice este posibilă. Acestoperația de calcul se realizează atunci când numărul de coordonate din vector și numărul de rânduri din tabel se potrivesc. Rezultatul produsului dintre un vector și o matrice este un nou vector rând. Numărul său de coordonate trebuie să fie egal cu numărul de coloane din matrice.
Calculul primei coordonate a unui nou vector implică înmulțirea vectorului rând și a primului vector coloană din tabel. A doua coordonată este calculată într-un mod similar, dar în locul primului vector coloană se ia al doilea vector coloană. Iată formula generală pentru calcularea coordonatelor:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, unde yk este o coordonată din vectorul y, (k este între 1 și n), m este numărul de rânduri din matrice și numărul de coordonate în vectorul x, n este numărul de coloane din matrice și numărul de coordonate din vectorul y, a cu indici alfanumerici sunt elementele matricei A.
Produs de matrici dreptunghiulare
Acest calcul poate părea complicat. Cu toate acestea, înmulțirea se face ușor. Să începem cu o definiție. Produsul unei matrice A cu m rânduri și n coloane și al unei matrice B cu n rânduri și p coloane este o matrice C cu m rânduri și p coloane, în care elementul cij este suma produselor elementelor i-al-lea rând din tabelul A și j-a coloană din tabelul B. În termeni mai simpli, elementul cij este produsul scalar al i-lea rând vector din tabelul A și vectorul j-a coloană din tabelul B.
Acum să ne dăm seama în practică cum să găsim produsul matricelor dreptunghiulare. Să rezolvăm pentru aceasta problema nr 3. Condiția de existență a unui produs este îndeplinită. Să începem să calculăm elementele cij:
- Matricea C va avea 2 rânduri și 3 coloane.
- Calculați elementul c11. Pentru a face acest lucru, efectuăm produsul scalar al rândului nr. 1 din matricea A și coloanei nr. 1 din matricea B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Apoi procedăm într-un mod similar, schimbând doar rânduri, coloane (în funcție de indexul elementului).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementele sunt calculate. Acum rămâne doar să faceți un bloc dreptunghiular din numerele primite.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplicarea a trei matrici: partea teoretică
Poți găsi produsul a trei matrici? Această operație de calcul este fezabilă. Rezultatul poate fi obținut în mai multe moduri. De exemplu, există 3 tabele pătrate (din aceeași ordine) - A, B și C. Pentru a calcula produsul, puteți:
- Înmulțiți mai întâi A și B. Apoi înmulțiți rezultatul cu C.
- Găsiți mai întâi produsul dintre B și C. Apoi înmulțiți matricea A cu rezultatul.
Dacă trebuie să înmulțiți matrici dreptunghiulare, atunci mai întâi trebuie să vă asigurați că această operație de calcul este posibilă. Ar trebui săprodusele A × B și B × C există.
Înmulțirea incrementală nu este o greșeală. Există așa ceva ca „asociativitatea înmulțirii matricei”. Acest termen se referă la egalitatea (A × B) × C=A × (B × C).
Practica de multiplicare cu trei matrice
Matrice pătrată
Începeți prin a înmulți matrice pătrate mici. Figura de mai jos arată problema numărul 4, pe care trebuie să o rezolvăm.
Vom folosi proprietatea asociativității. Mai întâi înmulțim fie A și B, fie B și C. Ne amintim un singur lucru: nu poți schimba factori, adică nu poți înmulți B × A sau C × B. Cu această înmulțire, vom obține o rezultat eronat.
Progresul deciziei.
Pasul unu. Pentru a găsi produsul comun, înmulțim mai întâi A cu B. Când înmulțim două matrici, ne vom ghida după regulile care au fost subliniate mai sus. Deci, rezultatul înmulțirii A și B va fi o matrice D cu 2 rânduri și 2 coloane, adică o matrice dreptunghiulară va include 4 elemente. Să le găsim făcând calculul:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Rezultat intermediar gata.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Pasul doi. Acum să înmulțim matricea D cu matricea C. Rezultatul ar trebui să fie o matrice pătrată G cu 2 rânduri și 2 coloane. Calculați elemente:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Astfel, rezultatul produsului matricelor pătrate este un tabel G cu elemente calculate.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Matrici dreptunghiulare
Figura de mai jos arată problema numărul 5. Este necesar să se înmulțească matrici dreptunghiulare și să se găsească o soluție.
Să verificăm dacă este îndeplinită condiția existenței produselor A × B și B × C. Ordinele matricelor indicate ne permit să efectuăm înmulțirea. Să începem să rezolvăm problema.
Progresul deciziei.
Pasul unu. Înmulțiți B cu C pentru a obține D. Matricea B are 3 rânduri și 4 coloane, iar matricea C are 4 rânduri și 2 coloane. Aceasta înseamnă că vom obține o matrice D cu 3 rânduri și 2 coloane. Să calculăm elementele. Iată 2 exemple de calcul:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Continuăm să rezolvăm problema. Ca urmare a unor calcule suplimentare, găsim valorile d21, d2 2, d31 și d32. Aceste elemente sunt 0, 19, 1 și, respectiv, 11. Să scriem valorile găsite într-o matrice dreptunghiulară.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Pasul doi. Înmulțiți A cu D pentru a obține matricea finală F. Va avea 2 rânduri și 2 coloane. Calculați elemente:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Compuneți o matrice dreptunghiulară, care este rezultatul final al înmulțirii a trei matrici.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introducere în munca directă
Materialul destul de greu de înțeles este produsul matricelor Kronecker. Are, de asemenea, un nume suplimentar - o lucrare directă. Ce se înțelege prin acest termen? Să presupunem că avem tabelul A de ordinul m × n și tabelul B de ordinul p × q. Produsul direct al matricei A și al matricei B este o matrice de ordinul mp × nq.
Avem 2 matrici pătrate A, B, care sunt prezentate în imagine. Primul are 2 coloane și 2 rânduri, iar al doilea are 3 coloane și 3 rânduri. Vedem că matricea rezultată din produsul direct este formată din 6 rânduri și exact același număr de coloane.
Cum se calculează elementele unei noi matrice într-un produs direct? Găsirea răspunsului la această întrebare este foarte ușor dacă analizezi imaginea. Mai întâi completați prima linie. Luați primul element din rândul de sus al tabelului A și înmulțiți secvențial cu elementele primului rânddin tabelul B. Apoi, luați al doilea element din primul rând al tabelului A și înmulțiți secvențial cu elementele primului rând al tabelului B. Pentru a umple al doilea rând, luați din nou primul element din primul rând al tabelului A și înmulțiți-l cu elementele celui de-al doilea rând al tabelului B.
Matricea finală obținută prin produs direct se numește matrice bloc. Dacă analizăm din nou figura, putem vedea că rezultatul nostru este format din 4 blocuri. Toate includ elemente ale matricei B. În plus, un element al fiecărui bloc este înmulțit cu un element specific al matricei A. În primul bloc, toate elementele sunt înmulțite cu a11, în al doilea - de a12, în al treilea - pe a21, în al patrulea - pe 22.
Determinant produs
Când luăm în considerare subiectul înmulțirii matricelor, merită să luăm în considerare un astfel de termen ca „determinantul produsului de matrice”. Ce este un determinant? Aceasta este o caracteristică importantă a unei matrice pătrate, o anumită valoare care este atribuită acestei matrice. Denumirea literală a determinantului este det.
Pentru o matrice A formată din două coloane și două rânduri, determinantul este ușor de găsit. Există o formulă mică care face diferența dintre produsele din anumite elemente:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al determinantului pentru un tabel de ordinul doi. Există o matrice A în care a11=2, a12=3, a21=5 și a22=1. Pentru a calcula determinantul, utilizați formula:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Pentru matrice 3 × 3, determinantul este calculat folosind o formulă mai complexă. Este prezentat mai jos pentru matricea A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Pentru a ne aminti formula, am venit cu regula triunghiului, care este ilustrată în imagine. În primul rând, elementele diagonalei principale sunt înmulțite. La valoarea obținută se adaugă produsele acelor elemente indicate de unghiurile triunghiurilor cu laturile roșii. Apoi, produsul elementelor diagonalei secundare este scăzut și produsele acelor elemente indicate de colțurile triunghiurilor cu laturile albastre.
Acum să vorbim despre determinantul produsului de matrice. Există o teoremă care spune că acest indicator este egal cu produsul determinanților tabelelor multiplicatorilor. Să verificăm acest lucru cu un exemplu. Avem matricea A cu intrările a11=2, a12=3, a21=1 și a22=1 și matricea B cu intrările b11=4, b12=5, b 21 =1 și b22=2. Găsiți determinanții pentru matricele A și B, produsul A × B și determinantul acestui produs.
Progresul deciziei.
Pasul unu. Calculați determinantul pentru A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Apoi, calculați determinantul pentru B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Pasul doi. Sa gasimprodusul A × B. Notați noua matrice cu litera C. Calculați elementele acesteia:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Pasul trei. Calculați determinantul pentru C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Comparați cu valoarea care ar putea fi obținută prin înmulțirea determinanților matricelor originale. Cifrele sunt aceleași. Teorema de mai sus este adevărată.
Clasament produs
Rangul unei matrice este o caracteristică care reflectă numărul maxim de rânduri sau coloane liniar independente. Pentru calcularea rangului se efectuează transformări elementare ale matricei:
- rearanjarea a două rânduri paralele;
- înmulțirea tuturor elementelor unui anumit rând din tabel cu un număr diferit de zero;
- adăugarea elementelor unui rând de elemente dintr-un alt rând, înmulțit cu un anumit număr.
După transformări elementare, uită-te la numărul de șiruri diferite de zero. Numărul lor este rangul matricei. Luați în considerare exemplul anterior. A prezentat 2 matrice: A cu elemente a11=2, a12=3, a21=1 și a22 =1 și B cu elemente b11=4, b12=5, b21=1 și b22=2. Vom folosi și matricea C obținută ca urmare a înmulțirii. Dacă efectuăm transformări elementare, atunci nu vor exista rânduri zero în matricele simplificate. Aceasta înseamnă că atât rangul tabelului A, cât și rangul tabelului B și rangultabelul C este 2.
Acum să acordăm o atenție deosebită rangului produsului de matrice. Există o teoremă care spune că rangul unui produs de tabele care conțin elemente numerice nu depășește rangul niciunuia dintre factori. Acest lucru poate fi dovedit. Fie A o matrice k × s și B o matrice s × m. Produsul lui A și B este egal cu C.
Să studiem imaginea de mai sus. Afișează prima coloană a matricei C și notația sa simplificată. Această coloană este o combinație liniară a coloanelor incluse în matricea A. În mod similar, se poate spune despre orice altă coloană din tabloul dreptunghiular C. Astfel, subspațiul format din vectorii coloană ai tabelului C se află în subspațiul format de vectori coloană ai tabelului A. Prin aceasta, dimensiunea subspațiului nr. 1 nu depășește dimensiunea subspațiului nr. 2. Aceasta implică faptul că rangul în coloanele tabelului C nu depășește rangul în coloanele tabelului A, adică r(C) ≦ r(A). Dacă argumentăm într-un mod similar, atunci ne putem asigura că rândurile matricei C sunt combinații liniare ale rândurilor matricei B. Aceasta implică inegalitatea r(C) ≦ r(B).
Cum să găsiți produsul matricelor este un subiect destul de complicat. Poate fi stăpânit cu ușurință, dar pentru a obține un astfel de rezultat, va trebui să petreci mult timp memorând toate regulile și teoremele existente.
