Cunoașterea distanței de la un punct la un plan sau la o linie dreaptă vă permite să calculați volumul și suprafața figurilor din spațiu. Calculul acestei distanțe în geometrie se realizează folosind ecuațiile corespunzătoare pentru obiectele geometrice specificate. În articol vom arăta ce formule pot fi folosite pentru a o determina.
Ecuații de linii și plane
Înainte de a oferi formule pentru determinarea distanței de la un punct la un plan și la o dreaptă, să arătăm ce ecuații descriu aceste obiecte.
Pentru a defini un punct, se folosește un set de coordonate în sistemul dat de axe de coordonate. Aici vom lua în considerare doar sistemul dreptunghiular cartezian în care axele au aceiași vectori unitari și sunt reciproc perpendiculare. Pe un plan, un punct arbitrar este descris prin două coordonate, în spațiu - cu trei.
Se folosesc diferite tipuri de ecuații pentru a defini o linie dreaptă. În conformitate cu subiectul articolului, vă prezentămdoar două dintre ele, care sunt folosite în spațiul bidimensional pentru a defini linii.
Ecuație vectorială. Are următoarea notație:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Primul termen aici reprezintă coordonatele unui punct cunoscut aflat pe linie. Al doilea termen este coordonatele vectorului de direcție înmulțit cu un număr arbitrar λ.
Ecuație generală. Notația sa este următoarea:
Ax + By + C=0;
unde A, B, C sunt niște coeficienți.
Ecuația generală este folosită mai des pentru a determina linii pe un plan, cu toate acestea, pentru a afla distanța de la un punct la o dreaptă pe un plan, este mai convenabil să lucrezi cu o expresie vectorială.
Un plan în spațiu tridimensional poate fi scris și în mai multe moduri matematice. Cu toate acestea, cel mai adesea în probleme există o ecuație generală, care se scrie după cum urmează:
Ax + By + Cz + D=0.
Avantajul acestei notații în raport cu celel alte este că conține în mod explicit coordonatele unui vector perpendicular pe plan. Acest vector este numit ghid pentru el, coincide cu direcția normalei și coordonatele sale sunt egale cu (A; B; C).
Rețineți că expresia de mai sus coincide cu forma de scriere a unei ecuații generale pentru o dreaptă în spațiu bidimensional, așa că atunci când rezolvați probleme, trebuie să aveți grijă să nu confundați aceste obiecte geometrice.
Distanța dintre punct și linie
Să arătăm cum să calculăm distanța dintre o linie dreaptă șipunct în spațiul bidimensional.
Să fie un punct Q(x1; y1) și o linie dată de:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Distanța dintre o linie și un punct este înțeleasă ca lungimea unui segment perpendicular pe această dreaptă, coborât pe ea din punctul Q.
Înainte de a calcula această distanță, ar trebui să înlocuiți coordonatele Q în această ecuație. Dacă o satisfac, atunci Q aparține dreptei date, iar distanța corespunzătoare este egală cu zero. Dacă coordonatele punctului nu conduc la egalitate, atunci distanța dintre obiectele geometrice este diferită de zero. Poate fi calculat folosind formula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Aici P este un punct arbitrar al dreptei, care este începutul vectorului PQ¯. Vectorul u¯ este un segment de ghidare pentru o linie dreaptă, adică coordonatele acesteia sunt (a; b).
Folosirea acestei formule necesită abilitatea de a calcula produsul încrucișat la numărător.
Problemă cu un punct și o linie
Să presupunem că trebuie să găsiți distanța dintre Q(-3; 1) și o linie dreaptă care satisface ecuația:
y=5x -2.
Înlocuind coordonatele lui Q în expresie, ne putem asigura că Q nu se află pe linie. Puteți aplica formula pentru d dată în paragraful de mai sus dacă reprezentați această ecuație în formă vectorială. Să facem așa:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Acum să luăm orice punct de pe această linie, de exemplu (0; -2), și să construim un vector începând cu acesta și terminând cu Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Acum aplicați formula pentru a determina distanța, obținem:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distanța de la punct la plan
Ca și în cazul unei drepte, distanța dintre un plan și un punct din spațiu este înțeleasă ca lungimea segmentului, care dintr-un punct dat este coborât perpendicular pe plan și îl intersectează.
În spațiu, un punct este dat de trei coordonate. Dacă sunt egale cu (x1; y1; z1), atunci distanța dintre plan și acel punct poate fi calculat folosind formula:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Rețineți că utilizarea formulei vă permite să găsiți doar distanța de la avion la linie. Pentru a găsi coordonatele punctului în care un segment perpendicular intersectează un plan, este necesar să scrieți o ecuație pentru dreapta căreia îi aparține acest segment și apoi să găsiți un punct comun pentru această dreaptă și un plan dat.
Problemă cu un avion și un punct
Aflați distanța de la un punct la un plan dacă se știe că punctul are coordonatele (3; -1; 2) și planul este dat de:
-y + 3z=0.
Pentru a folosi formula corespunzătoare, scriem mai întâi coeficienții pentruavion dat. Deoarece variabila x și termenul liber sunt absente, coeficienții A și D sunt egali cu zero. Avem:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Este ușor să arăți că acest plan trece prin origine și că axa x îi aparține.
Înlocuiți coordonatele punctului și coeficienții planului în formula distanței d, obținem:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Rețineți că dacă modificați coordonatele x a unui punct, atunci distanța d nu se va modifica. Acest fapt înseamnă că mulțimea de puncte (x; -1; 2) formează o dreaptă paralelă cu planul dat.
