Piramida este o figură spațială geometrică, ale cărei caracteristici sunt studiate în liceu la cursul geometriei solide. În acest articol, vom lua în considerare o piramidă triunghiulară, tipurile acesteia, precum și formule pentru calcularea suprafeței sale.
Despre ce piramidă vorbim?
O piramidă triunghiulară este o figură care poate fi obținută prin conectarea tuturor vârfurilor unui triunghi arbitrar cu un singur punct care nu se află în planul acestui triunghi. Conform acestei definiții, piramida luată în considerare ar trebui să fie formată dintr-un triunghi inițial, care se numește baza figurii, și trei triunghiuri laterale care au o latură comună cu baza și sunt conectate între ele într-un punct. Acesta din urmă este numit vârful piramidei.
Imaginea de mai sus arată o piramidă triunghiulară arbitrară.
Figura luată în considerare poate fi oblică sau dreaptă. În acest din urmă caz, perpendiculara coborâtă din vârful piramidei până la baza acesteia trebuie să o intersecteze în centrul geometric. centrul geometric al oricăruitriunghiul este punctul de intersecție al medianelor sale. Centrul geometric coincide cu centrul de masă al figurii în fizică.
Dacă un triunghi regulat (echilateral) se află la baza unei piramide drepte, atunci se numește triunghi regulat. Într-o piramidă obișnuită, toate laturile sunt egale între ele și sunt triunghiuri echilaterale.
Dacă înălțimea unei piramide obișnuite este astfel încât triunghiurile sale laterale devin echilaterale, atunci se numește tetraedru. Într-un tetraedru, toate cele patru fețe sunt egale între ele, astfel încât fiecare dintre ele poate fi considerată o bază.
Elementele piramidei
Aceste elemente includ fețele sau laturile unei figuri, marginile, vârfurile, înălțimea și apotemele acesteia.
După cum se arată, toate laturile unei piramide triunghiulare sunt triunghiuri. Numărul lor este 4 (3 laturi și unul la bază).
Vârfurile sunt punctele de intersecție ale celor trei laturi triunghiulare. Nu este greu de ghicit că pentru piramida luată în considerare există 4 dintre ele (3 aparțin bazei și 1 vârfului piramidei).
Muchiile pot fi definite ca linii care intersectează două laturi triunghiulare sau ca linii care se conectează la fiecare două vârfuri. Numărul de muchii corespunde cu dublul numărului de vârfuri de bază, adică pentru o piramidă triunghiulară este 6 (3 muchii aparțin bazei și 3 muchii sunt formate de fețele laterale).
Înălțimea, după cum s-a menționat mai sus, este lungimea perpendicularei trase de la vârful piramidei până la baza acesteia. Dacă trasăm înălțimi de la acest vârf spre fiecare parte a bazei triunghiulare,atunci se vor numi apotem (sau apotem). Astfel, piramida triunghiulara are o in altime si trei apoteme. Acestea din urmă sunt egale între ele pentru o piramidă obișnuită.
Baza piramidei și aria ei
Deoarece baza figurii luate în considerare este în general un triunghi, pentru a-i calcula aria este suficient să-i găsiți înălțimea ho și lungimea laturii bazei a, pe care este coborât. Formula pentru zona So a bazei este:
So=1/2hoa
Dacă triunghiul bazei este echilateral, atunci aria bazei piramidei triunghiulare se calculează folosind următoarea formulă:
So=√3/4a2
Adică, aria So este determinată în mod unic de lungimea laturii a a bazei triunghiulare.
Latura și suprafața totală a figurii
Înainte de a lua în considerare aria unei piramide triunghiulare, este util să arăți dezvoltarea acesteia. Ea este fotografiată mai jos.
Aria acestei maturi formate din patru triunghiuri este aria totală a piramidei. Unul dintre triunghiuri corespunde bazei, a cărei formulă pentru valoarea considerată a fost scrisă mai sus. Trei fețe triunghiulare laterale formează împreună zona laterală a figurii. Prin urmare, pentru a determina această valoare, este suficient să aplicați formula de mai sus pentru un triunghi arbitrar fiecăruia dintre ele și apoi să adăugați cele trei rezultate.
Dacă piramida este corectă, atunci calcululsuprafața laterală este facilitată, deoarece toate fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale identice. Notați hb lungimea apotemului, apoi aria suprafeței laterale Sb poate fi determinată după cum urmează:
Sb=3/2ahb
Această formulă decurge din expresia generală pentru aria unui triunghi. Numărul 3 a apărut în numărătoare datorită faptului că piramida are trei fețe laterale.
Apotema hb într-o piramidă obișnuită poate fi calculat dacă se cunoaște înălțimea figurii h. Aplicând teorema lui Pitagora, obținem:
hb=√(h2+ a2/12)
Evident, aria totală S a suprafeței figurii este egală cu suma ariilor sale laterale și de bază:
S=So+ Sb
Pentru o piramidă obișnuită, înlocuind toate valorile cunoscute, obținem formula:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
Aria unei piramide triunghiulare depinde numai de lungimea laturii bazei sale și de înălțimea.
Exemplu de problemă
Se știe că marginea laterală a unei piramide triunghiulare este de 7 cm, iar latura bazei este de 5 cm. Trebuie să găsiți aria suprafeței figurii dacă știți că piramida este obișnuit.
Utilizați o egalitate generală:
S=So+ Sb
Zona So este egal cu:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825 cm2.
Pentru a determina suprafața laterală, trebuie să găsiți apotema. Nu este greu de demonstrat că prin lungimea marginii laterale ab este determinată de formula:
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6,538 cm.
Atunci aria lui Sb este:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49,035 cm2.
Aria totală a piramidei este:
S=So+ Sb=10,825 + 49,035=59,86 cm2.
Rețineți că atunci când am rezolvat problema, nu am folosit valoarea înălțimii piramidei în calcule.
