Una dintre problemele comune în stereometrie este sarcinile de a traversa linii drepte și plane și de a calcula unghiurile dintre ele. Să luăm în considerare în acest articol mai detaliat așa-numita metodă de coordonate și unghiurile dintre linie și plan.
Linie și plan în geometrie
Înainte de a lua în considerare metoda coordonatelor și unghiul dintre o dreaptă și un plan, ar trebui să vă familiarizați cu obiectele geometrice numite.
O linie este o astfel de colecție de puncte în spațiu sau pe un plan, fiecare dintre acestea putând fi obținută prin transferarea liniară a celei anterioare la un anumit vector. În cele ce urmează, notăm acest vector prin simbolul u¯. Dacă acest vector este înmulțit cu orice număr care nu este egal cu zero, atunci obținem un vector paralel cu u¯. O linie este un obiect liniar infinit.
Un plan este, de asemenea, o colecție de puncte care sunt situate în așa fel încât, dacă formați vectori arbitrari din ei, atunci toate vor fi perpendiculare pe un vector n¯. Acesta din urmă se numește normal sau pur și simplu normal. Un plan, spre deosebire de o linie dreaptă, este un obiect infinit bidimensional.
Metoda de coordonate pentru rezolvarea problemelor de geometrie
Pe baza denumirii metodei în sine, putem concluziona că vorbim despre o metodă de rezolvare a problemelor, care se bazează pe efectuarea calculelor secvenţiale analitice. Cu alte cuvinte, metoda coordonatelor vă permite să rezolvați probleme geometrice folosind instrumente de algebră universale, principalele dintre ele sunt ecuațiile.
De remarcat faptul că metoda luată în considerare a apărut în zorii geometriei și algebrei moderne. O mare contribuție la dezvoltarea sa a fost adusă de Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton și Leibniz în secolele XVII-XVIII.
Esența metodei este de a calcula distanțele, unghiurile, ariile și volumele elementelor geometrice pe baza coordonatelor punctelor cunoscute. Rețineți că forma ecuațiilor finale obținute depinde de sistemul de coordonate. Cel mai adesea, sistemul cartezian dreptunghiular este utilizat în probleme, deoarece este cel mai convenabil să lucrezi cu acesta.
Ecuația liniei
Luând în considerare metoda coordonatelor și unghiurile dintre linie și plan, să începem cu setarea ecuației dreptei. Există mai multe moduri de a reprezenta linii în formă algebrică. Aici luăm în considerare doar ecuația vectorială, deoarece poate fi obținută cu ușurință din ea în orice altă formă și este ușor de lucrat.
Să presupunem că există două puncte: P și Q. Se știe că o linie poate fi trasă prin ele șiva fi singurul. Reprezentarea matematică corespunzătoare a elementului arată astfel:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Unde PQ¯ este un vector ale cărui coordonate se obțin după cum urmează:
PQ¯=Q - P.
Simbolul λ indică un parametru care poate lua absolut orice număr.
În expresia scrisă, puteți schimba direcția vectorului și, de asemenea, puteți înlocui coordonatele Q în locul punctului P. Toate aceste transformări nu vor duce la o schimbare a locației geometrice a dreptei.
Rețineți că atunci când rezolvați probleme, uneori este necesar să reprezentați ecuația vectorială scrisă într-o formă explicită (parametrică).
Setarea unui avion în spațiu
Pe lângă o linie dreaptă, există și mai multe forme de ecuații matematice pentru un plan. Dintre acestea, notăm vectorul, ecuația în segmente și forma generală. În acest articol, vom acorda o atenție deosebită ultimei forme.
O ecuație generală pentru un plan arbitrar poate fi scrisă după cum urmează:
Ax + By + Cz + D=0.
Majuscule latine sunt anumite numere care definesc un plan.
Comfortul acestei notații este că conține în mod explicit un vector normal cu planul. Este egal cu:
n¯=(A, B, C).
Cunoașterea acestui vector face posibilă, privind pe scurt la ecuația planului, să ne imaginăm locația acestuia din urmă în sistemul de coordonate.
Aranjament reciproc înspațiu de linie și plan
În următorul paragraf al articolului vom trece la luarea în considerare a metodei coordonatelor și a unghiului dintre linie și plan. Aici vom răspunde la întrebarea cum elementele geometrice considerate pot fi localizate în spațiu. Există trei moduri:
- Dreapta intersectează planul. Folosind metoda coordonatelor, puteți calcula în ce punct unic se intersectează linia și planul.
- Planul unei drepte este paralel. În acest caz, sistemul de ecuații ale elementelor geometrice nu are soluție. Pentru a demonstra paralelismul, se folosește de obicei proprietatea produsului scalar al vectorului de direcție al dreptei și normala planului.
- Avionul conține o linie. Rezolvând sistemul de ecuații în acest caz, vom ajunge la concluzia că pentru orice valoare a parametrului λ se obține egalitatea corectă.
În al doilea și al treilea caz, unghiul dintre obiectele geometrice specificate este egal cu zero. În primul caz, este cuprins între 0 și 90o.
Calculul unghiurilor dintre drepte și plane
Acum să trecem direct la subiectul articolului. Orice intersecție a unei linii și a unui plan are loc la un anumit unghi. Acest unghi este format de linia dreaptă însăși și proiecția ei pe plan. O proiecție poate fi obținută dacă din orice punct al unei drepte se coboară o perpendiculară pe plan și apoi prin punctul de intersecție obținut al planului și perpendiculara și punctul de intersecție al planului și al dreptei inițiale, se trasează o proiecție. linie dreaptă care va fi o proiecție.
Calculul unghiurilor dintre linii și plane nu este o sarcină dificilă. Pentru a o rezolva, este suficient să cunoaștem ecuațiile obiectelor geometrice corespunzătoare. Să presupunem că aceste ecuații arată astfel:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Unghiul dorit este ușor de găsit folosind proprietatea produsului vectorilor scalari u¯ și n¯. Formula finală arată astfel:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Această formulă spune că sinusul unghiului dintre o dreaptă și un plan este egal cu raportul dintre modulul produsului scalar al vectorilor marcați și produsul lungimii lor. Pentru a înțelege de ce a apărut sinusul în loc de cosinus, să ne întoarcem la figura de mai jos.
Se poate observa că dacă aplicăm funcția cosinus, vom obține unghiul dintre vectorii u¯ și n¯. Unghiul dorit θ (α în figură) se obține astfel:
θ=90o- β.
Sinusul apare ca urmare a aplicării formulelor de reducere.
Exemplu de problemă
Să trecem la utilizarea practică a cunoștințelor dobândite. Să rezolvăm o problemă tipică a unghiului dintre o dreaptă și un plan. Sunt date următoarele coordonate a patru puncte:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Se știe că prin punctele PQMun avion trece prin el, iar o linie dreaptă trece prin MN. Folosind metoda coordonatelor, trebuie calculat unghiul dintre plan și linie.
În primul rând, să scriem ecuațiile dreptei și ale planului. Pentru o linie dreaptă, este ușor să o compui:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Pentru a face ecuația planului, găsim mai întâi normala acestuia. Coordonatele sale sunt egale cu produsul vectorial al doi vectori aflați în planul dat. Avem:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Acum, să substituim coordonatele oricărui punct aflat în el în ecuația planului general pentru a obține valoarea termenului liber D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Ecuația plană este:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Rămâne să aplicați formula pentru unghiul format la intersecția unei drepte și a unui plan pentru a obține răspunsul la problemă. Avem:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Folosind această problemă ca exemplu, am arătat cum să folosim metoda coordonatelor pentru a rezolva probleme geometrice.
