O problemă geometrică tipică este găsirea unghiului dintre linii. Pe un plan, dacă se cunosc ecuațiile dreptelor, acestea pot fi desenate și unghiul măsurat cu un raportor. Cu toate acestea, această metodă este laborioasă și nu întotdeauna posibilă. Pentru a afla unghiul numit, nu este necesar să trasați linii drepte, acesta poate fi calculat. Acest articol va răspunde cum se face acest lucru.
O linie dreaptă și ecuația sa vectorială
Orice linie dreaptă poate fi reprezentată ca un vector care începe la -∞ și se termină la +∞. În acest caz, vectorul trece printr-un punct din spațiu. Astfel, toți vectorii care pot fi desenați între oricare două puncte de pe o linie dreaptă vor fi paraleli unul cu celăl alt. Această definiție vă permite să setați ecuația unei linii drepte în formă vectorială:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Aici, vectorul cu coordonatele (a; b; c) este ghidul pentru această dreaptă care trece prin punctul (x0; y0; z0). Parametrul α vă permite să transferați punctul specificat la oricare altul pentru această linie. Această ecuație este intuitivă și ușor de utilizat atât în spațiu 3D, cât și în plan. Pentru un plan, acesta nu va conține coordonatele z și a treia componentă a vectorului de direcție.
Utilitatea de a efectua calcule și de a studia poziția relativă a liniilor drepte datorită utilizării unei ecuații vectoriale se datorează faptului că vectorul său de direcție este cunoscut. Coordonatele sale sunt folosite pentru a calcula unghiul dintre linii și distanța dintre ele.
Ecuație generală pentru o dreaptă pe un plan
Să scriem în mod explicit ecuația vectorială a dreptei pentru cazul bidimensional. Arată ca:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Acum calculăm parametrul α pentru fiecare egalitate și echivalăm părțile corecte ale egalităților obținute:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Deschizând parantezele și transferând toți termenii într-o parte a egalității, obținem:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, unde A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Expresia rezultată se numește ecuația generală pentru o dreaptă dată în spațiu bidimensional (în tridimensional această ecuație corespunde unui plan paralel cu axa z, nu unei drepte).
Dacă scriem explicit de la y la x în această expresie, atunci obținem următoarea formă, cunoscutăfiecare student:
y=kx + p, unde k=-A/B, p=-C/B
Această ecuație liniară definește în mod unic o linie dreaptă pe plan. Este foarte ușor să-l desenați conform ecuației binecunoscute, pentru aceasta ar trebui să puneți pe rând x=0 și y=0, să marcați punctele corespunzătoare în sistemul de coordonate și să trasați o linie dreaptă care leagă punctele obținute.
Formula unghiului dintre linii
Pe un plan, două drepte se pot intersecta sau pot fi paralele una cu ceal altă. În spațiu, la aceste opțiuni se adaugă posibilitatea existenței unor linii oblice. Indiferent de versiunea poziției relative a acestor obiecte geometrice unidimensionale este implementată, unghiul dintre ele poate fi întotdeauna determinat prin următoarea formulă:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Unde v1¯ și v2¯ sunt vectorii ghid pentru linia 1 și, respectiv, 2. Numătorul este modulul produsului punctual pentru a exclude unghiurile obtuze și a lua în considerare numai cele ascuțite.
V1¯ și v2¯ pot fi dați prin două sau trei coordonate, în timp ce formula unghiului φ rămâne neschimbat.
Paralelismul și perpendicularitatea liniilor
Dacă unghiul dintre 2 linii calculate folosind formula de mai sus este 0o, atunci se spune că sunt paralele. Pentru a determina dacă liniile sunt paralele sau nu, nu puteți calcula unghiulφ, este suficient să arătăm că un vector de direcție poate fi reprezentat printr-un vector similar al unei alte linii, adică:
v1¯=qv2¯
Aici q este un număr real.
Dacă ecuațiile liniilor sunt date ca:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
atunci vor fi paralele numai atunci când coeficienții lui x sunt egali, adică:
k1=k2
Acest fapt poate fi demonstrat dacă luăm în considerare modul în care coeficientul k este exprimat în termeni de coordonatele vectorului de direcție al dreptei.
Dacă unghiul de intersecție dintre linii este 90o, atunci acestea se numesc perpendiculare. Pentru a determina perpendicularitatea dreptelor, de asemenea, nu este necesar să se calculeze unghiul φ, pentru aceasta este suficient să se calculeze doar produsul scalar al vectorilor v1¯ și v 2¯. Trebuie să fie zero.
În cazul liniilor drepte care se intersectează în spațiu, se poate folosi și formula pentru unghiul φ. În acest caz, rezultatul trebuie interpretat corect. φ calculat arată unghiul dintre vectorii de direcție ai dreptelor care nu se intersectează și nu sunt paralele.
Sarcina 1. linii perpendiculare
Se știe că ecuațiile dreptelor au forma:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Este necesar să se determine dacă aceste linii suntperpendicular.
Așa cum am menționat mai sus, pentru a răspunde la întrebare, este suficient să calculați produsul scalar al vectorilor ghidajelor, care corespund coordonatelor (1; 2) și (-4; 2). Avem:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Deoarece avem 0, aceasta înseamnă că dreptele luate în considerare se intersectează în unghi drept, adică sunt perpendiculare.
Sarcina 2. Unghiul de intersecție al liniei
Se știe că două ecuații pentru linii drepte au următoarea formă:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Este necesar să găsiți unghiul dintre linii.
Deoarece coeficienții lui x au valori diferite, aceste drepte nu sunt paralele. Pentru a găsi unghiul care se formează atunci când se intersectează, traducem fiecare dintre ecuații într-o formă vectorială.
Pentru prima linie obținem:
(x; y)=(x; 2x - 1)
În partea dreaptă a ecuației, avem un vector ale cărui coordonate depind de x. Să-l reprezentăm ca sumă a doi vectori, iar coordonatele primului vor conține variabila x, iar coordonatele celui de-al doilea vor consta exclusiv din numere:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Deoarece x ia valori arbitrare, poate fi înlocuit cu parametrul α. Ecuația vectorială pentru prima linie devine:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Facem aceleași acțiuni cu a doua ecuație a dreptei, obținem:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Am rescris ecuațiile originale în formă vectorială. Acum puteți folosi formula pentru unghiul de intersecție, înlocuind în ea coordonatele vectorilor de direcție ai liniilor:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Astfel, liniile luate în considerare se intersectează la un unghi de 71,565o sau 1,249 radiani.
Această problemă ar fi putut fi rezolvată diferit. Pentru a face acest lucru, a fost necesar să luați două puncte arbitrare ale fiecărei linii drepte, să compuneți vectori direcți din ele și apoi să folosiți formula pentru φ.
