Linia și planul sunt cele mai importante două elemente geometrice care pot fi folosite pentru a construi diferite forme în spațiul 2D și 3D. Luați în considerare cum să găsiți distanța dintre liniile paralele și planele paralele.
Linie dreaptă de sarcină matematică
Din cursul de geometrie a școlii se știe că într-un sistem de coordonate dreptunghiular bidimensional o linie poate fi specificată în următoarea formă:
y=kx + b.
Unde k și b sunt numere (parametri). Forma scrisă a reprezentării unei linii într-un plan este un plan care este paralel cu axa z în spațiul tridimensional. Având în vedere acest lucru, în acest articol, pentru atribuirea matematică a unei linii drepte, vom folosi o formă mai convenabilă și mai universală - una vectorială.
Să presupunem că dreapta noastră este paralelă cu un vector u¯(a, b, c) și trece prin punctul P(x0, y0, z0). În acest caz, sub formă vectorială, ecuația sa va fi reprezentată astfel:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Aici λ este orice număr. Dacă reprezentăm în mod explicit coordonatele prin extinderea expresiei scrise, atunci vom obține o formă parametrică de scriere a unei linii drepte.
Este convenabil să se lucreze cu o ecuație vectorială atunci când se rezolvă diverse probleme în care este necesar să se determine distanța dintre liniile paralele.
linii și distanța dintre ele
Este logic să vorbim despre distanța dintre linii doar atunci când acestea sunt paralele (în cazul tridimensional, există și o distanță diferită de zero între liniile oblice). Dacă liniile se intersectează, atunci este evident că ele sunt la distanță zero una de ceal altă.
Distanța dintre liniile paralele este lungimea perpendicularei care le conectează. Pentru a determina acest indicator, este suficient să alegeți un punct arbitrar pe una dintre linii și să aruncați o perpendiculară de la acesta la alta.
Să descriem pe scurt procedura de găsire a distanței dorite. Să presupunem că cunoaștem ecuațiile vectoriale a două drepte, care sunt prezentate în următoarea formă generală:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Construiți un paralelogram pe aceste drepte astfel încât una dintre laturi să fie PQ, iar ceal altă, de exemplu, u. Evident, înălțimea acestei figuri, trasă din punctul P, este lungimea perpendicularei necesare. Pentru a-l găsi, puteți aplica următorul simpluformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Deoarece distanța dintre drepte este lungimea segmentului perpendicular dintre ele, atunci conform expresiei scrise, este suficient să găsim modulul produsului vectorial al lui PQ¯ și u¯ și să împărțim rezultatul la lungimea vectorului u¯.
Un exemplu de sarcină pentru a determina distanța dintre liniile drepte
Două linii drepte sunt date de următoarele ecuații vectoriale:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Din expresiile scrise este clar că avem două drepte paralele. Într-adevăr, dacă înmulțim cu -1 coordonatele vectorului de direcție al primei linii, obținem coordonatele vectorului de direcție al celei de-a doua drepte, ceea ce indică paralelismul acestora.
Distanța dintre liniile drepte va fi calculată folosind formula scrisă în paragraful anterior al articolului. Avem:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Apoi obținem:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Rețineți că în loc de punctele P și Q, absolut orice puncte care aparțin acestor linii ar putea fi folosite pentru a rezolva problema. În acest caz, am obține aceeași distanță d.
Setarea unui plan în geometrie
Chestiunea distanței dintre linii a fost discutată mai sus în detaliu. Acum să arătăm cum să găsim distanța dintre plane paralele.
Toată lumea reprezintă ceea ce este un avion. Conform definiției matematice, elementul geometric specificat este o colecție de puncte. Mai mult, dacă compuneți toți vectorii posibili folosind aceste puncte, atunci toți vor fi perpendiculari pe un singur vector. Acesta din urmă este de obicei numit normalul planului.
Pentru a specifica ecuația unui plan în spațiul tridimensional, cel mai des este folosită forma generală a ecuației. Arată așa:
Ax + By + Cz + D=0.
Unde literele latine majuscule sunt niște numere. Este convenabil să folosiți acest tip de ecuație plană, deoarece coordonatele vectorului normal sunt date explicit în ea. Sunt A, B, C.
Este ușor de observat că două plane sunt paralele numai atunci când normalele lor sunt paralele.
Cum se găsește distanța dintre două plane paralele ?
Pentru a determina distanța specificată, ar trebui să înțelegeți clar ce este în joc. Distanța dintre planele care sunt paralele între ele este înțeleasă ca lungimea segmentului perpendicular pe acestea. Capetele acestui segment aparțin avioanelor.
Algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme este simplu. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți coordonatele absolut oricărui punct care aparține unuia dintre cele două planuri. Apoi, ar trebui să utilizați această formulă:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Deoarece distanța este o valoare pozitivă, semnul modulului este în numărător. Formula scrisă este universală, deoarece vă permite să calculați distanța de la plan până la absolut orice element geometric. Este suficient să cunoașteți coordonatele unui punct al acestui element.
De dragul completității, observăm că dacă normalele a două plane nu sunt paralele între ele, atunci astfel de planuri se vor intersecta. Distanța dintre ele va fi atunci zero.
Problema determinării distanței dintre avioane
Se știe că două planuri sunt date de următoarele expresii:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Este necesar să se demonstreze că planurile sunt paralele și, de asemenea, să se determine distanța dintre ele.
Pentru a răspunde la prima parte a problemei, trebuie să aduceți prima ecuație într-o formă generală. Rețineți că este dat în așa-numita formă a unei ecuații în segmente. Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu 15 și mutați toți termenii într-o parte a ecuației, obținem:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Să scriem coordonatele a doi vectori normali ai planurilor:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Se poate observa că dacă n2¯ este înmulțit cu 5, atunci vom obține exact coordonatele n1¯. Astfel, planurile considerate suntparalel.
Pentru a calcula distanța dintre plane paralele, selectați un punct arbitrar din primul dintre ele și utilizați formula de mai sus. De exemplu, să luăm punctul (0, 0, 1) care aparține primului plan. Apoi obținem:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Distanța dorită este de 31 mm.
Distanța dintre avion și linie
Cunoștințele teoretice oferite ne permit, de asemenea, să rezolvăm problema determinării distanței dintre o dreaptă și un plan. S-a menționat deja mai sus că formula care este valabilă pentru calcule între planuri este universală. Poate fi folosit și pentru a rezolva problema. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să selectați orice punct care aparține liniei date.
Problema principală în determinarea distanței dintre elementele geometrice considerate este demonstrarea paralelismului lor (dacă nu, atunci d=0). Paralelismul este ușor de demonstrat dacă calculați produsul scalar al normalului și al vectorului de direcție pentru linie. Dacă elementele luate în considerare sunt paralele, atunci acest produs va fi egal cu zero.
