Un plan, împreună cu un punct și o linie dreaptă, este un element geometric de bază. Cu utilizarea sa, se construiesc multe figuri din geometria spațială. În acest articol, vom lua în considerare mai detaliat întrebarea cum să găsim un unghi între două plane.
Concept
Înainte de a vorbi despre unghiul dintre două plane, ar trebui să înțelegeți bine despre ce element din geometrie vorbim. Să înțelegem terminologia. Un avion este o colecție nesfârșită de puncte din spațiu, conectând pe care obținem vectori. Acesta din urmă va fi perpendicular pe un vector. Se numește în mod obișnuit normala în plan.
Figura de mai sus arată un plan și doi vectori normali pentru acesta. Se poate observa că ambii vectori se află pe aceeași linie dreaptă. Unghiul dintre ele este de 180o.
Ecuații
Unghiul dintre două plane poate fi determinat dacă se cunoaște ecuația matematică a elementului geometric considerat. Există mai multe tipuri de astfel de ecuații,ale căror nume sunt enumerate mai jos:
- tip general;
- vector;
- în segmente.
Aceste trei tipuri sunt cele mai convenabile pentru rezolvarea diferitelor tipuri de probleme, deci sunt cele mai des folosite.
O ecuație de tip general arată astfel:
Ax + By + Cz + D=0.
Aici x, y, z sunt coordonatele unui punct arbitrar aparținând planului dat. Parametrii A, B, C și D sunt numere. Comoditatea acestei notații constă în faptul că numerele A, B, C sunt coordonatele unui vector normal planului.
Forma vectorială a planului poate fi reprezentată după cum urmează:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, b2, c2).
Aici (a2, b2, c2) și (a 1, b1, c1) - parametri ai doi vectori de coordonate care aparțin planului considerat. Punctul (x0, y0, z0) se află și el în acest plan. Parametrii α și β pot lua valori independente și arbitrare.
În sfârșit, ecuația planului în segmente este reprezentată sub următoarea formă matematică:
x/p + y/q + z/l=1.
Aici p, q, l sunt numere specifice (inclusiv cele negative). Acest tip de ecuație este util atunci când este necesar să se descrie un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, deoarece numerele p, q, l arată punctele de intersecție cu axele x, y și z.avion.
Rețineți că fiecare tip de ecuație poate fi convertit în oricare altul folosind operații matematice simple.
Formulă pentru unghiul dintre două plane
Acum luați în considerare următoarea nuanță. În spațiul tridimensional, două planuri pot fi localizate doar în două moduri. Fie se intersectează, fie sunt paralele. Între două plane, unghiul este ceea ce este situat între vectorii lor de ghidare (normal). Intersectându-se, 2 vectori formează 2 unghiuri (acut și obtuz în cazul general). Unghiul dintre plane este considerat a fi acut. Luați în considerare ecuația.
Formula pentru unghiul dintre două plane este:
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
Este ușor de ghicit că această expresie este o consecință directă a produsului scalar al vectorilor normali n1¯ și n2 ¯ pentru avioanele considerate. Modulul produsului punctual din numărător indică faptul că unghiul θ va lua numai valori de la 0o la 90o. Produsul modulelor vectorilor normali din numitor înseamnă produsul lungimilor lor.
Rețineți, dacă (n1¯n2¯)=0, atunci planurile se intersectează în unghi drept.
Exemplu de problemă
După ce ne-am dat seama ce se numește unghiul dintre două plane, vom rezolva următoarea problemă. Ca exemplu. Deci, este necesar să se calculeze unghiul dintre astfel de planuri:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Pentru a rezolva problema, trebuie să cunoașteți vectorii de direcție ai avioanelor. Pentru primul plan, vectorul normal este: n1¯=(2, -3, 0). Pentru a găsi al doilea vector normal al planului, ar trebui să înmulțim vectorii după parametrii α și β. Rezultatul este un vector: n2¯=(5, -3, 2).
Pentru a determina unghiul θ, folosim formula din paragraful anterior. Primim:
θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.
Unghiul calculat în radiani corespunde cu 31,26o. Astfel, planele din starea problemei se intersectează la un unghi de 31, 26o.
