La rezolvarea problemelor geometrice din spațiu, există adesea acelea în care este necesar să se calculeze unghiurile dintre diferitele obiecte spațiale. În acest articol, vom lua în considerare problema găsirii unghiurilor între plane și între ele și o linie dreaptă.
Rând în spațiu
Se știe că absolut orice linie dreaptă din plan poate fi definită prin următoarea egalitate:
y=ax + b
Aici a și b sunt câteva numere. Dacă reprezentăm o dreaptă în spațiu cu aceeași expresie, atunci obținem un plan paralel cu axa z. Pentru definirea matematică a liniei spațiale se folosește o metodă de soluție diferită decât în cazul bidimensional. Constă în folosirea conceptului de „vector de direcție”.
Vectorul de direcție al unei linii drepte arată orientarea acesteia în spațiu. Acest parametru aparține liniei. Deoarece există o mulțime infinită de vectori paraleli în spațiu, atunci pentru a determina în mod unic obiectul geometric considerat, este necesar să se cunoască și coordonatele punctului care îi aparține.
Să presupunem că existăpunctul P(x0; y0; z0) și vectorul de direcție v¯(a; b; c), atunci ecuația unei drepte poate fi dată după cum urmează:
(x; y; z)=P + αv¯ sau
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Această expresie se numește ecuația vectorială parametrică a unei linii drepte. Coeficientul α este un parametru care poate lua absolut orice valoare reală. Coordonatele unei linii pot fi reprezentate explicit prin extinderea acestei egalități:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Ecuația planului
Există mai multe forme de scriere a unei ecuații pentru un plan în spațiu. Aici vom lua în considerare unul dintre ele, care este cel mai des folosit la calcularea unghiurilor dintre două plane sau dintre unul dintre ele și o dreaptă.
Dacă se cunoaște un vector n¯(A; B; C), care este perpendicular pe planul dorit, și punctul P(x0; y 0; z0), care îi aparține, atunci ecuația generală pentru acesta din urmă este:
Ax + By + Cz + D=0 unde D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Am omis derivarea acestei expresii, care este destul de simplă. Aici observăm doar că, cunoscând coeficienții variabilelor din ecuația planului, se pot găsi cu ușurință toți vectorii care sunt perpendiculari pe acesta. Acestea din urmă se numesc normale și sunt folosite la calcularea unghiurilor dintre înclinat și plan și întreanalogi arbitrari.
Locația avioanelor și formula pentru unghiul dintre ele
Să spunem că sunt două avioane. Care sunt opțiunile pentru poziția lor relativă în spațiu. Deoarece planul are două dimensiuni infinite și unul zero, sunt posibile doar două opțiuni pentru orientarea lor reciprocă:
- vor fi paralele între ele;
- se pot suprapune.
Unghiul dintre plane este indicele dintre vectorii lor de direcție, adică între normalele lor n1¯ și n2¯.
Evident, dacă sunt paralele cu planul, atunci unghiul de intersecție este zero între ele. Dacă se intersectează, atunci este diferit de zero, dar întotdeauna ascuțit. Un caz special de intersecție va fi unghiul 90o, când planurile sunt reciproc perpendiculare unul pe celăl alt.
Unghiul α dintre n1¯ și n2¯ este ușor de determinat din produsul scalar al acestor vectori. Adică are loc formula:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Să presupunem că coordonatele acestor vectori sunt: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Apoi, folosind formulele pentru calcularea produsului scalar și modulelor vectorilor prin coordonatele acestora, expresia de mai sus poate fi rescrisă ca:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Modulul din numărător a apărut deoarece pentru a exclude valorile unghiurilor obtuze.
Exemple de rezolvare a problemelor pentru determinarea unghiului de intersecție a planurilor
Știind cum să găsim unghiul dintre avioane, vom rezolva următoarea problemă. Sunt date două planuri, ale căror ecuații sunt:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Care este unghiul dintre avioane?
Pentru a răspunde la întrebarea problemei, să ne amintim că coeficienții variabilelor din ecuația generală a planului sunt coordonatele vectorului ghid. Pentru planurile indicate avem următoarele coordonate ale normalelor lor:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Acum găsim produsul scalar al acestor vectori și modulele lor, avem:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Acum puteți înlocui numerele găsite în formula dată în paragraful anterior. Primim:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Valoarea rezultată corespunde unui unghi ascuțit de intersecție a planurilor specificate în condițiesarcini.
Acum luați în considerare un alt exemplu. Având două avioane:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Se intersectează? Să scriem valorile coordonatelor vectorilor lor de direcție, să le calculăm produsul scalar și modulele:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Atunci unghiul de intersecție este:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Acest unghi indică faptul că planurile nu se intersectează, ci sunt paralele. Faptul că nu se potrivesc între ele este ușor de verificat. Să luăm pentru aceasta un punct arbitrar aparținând primului dintre ele, de exemplu, P(0; 3; 2). Substituind coordonatele sale în a doua ecuație, obținem:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Adică, punctul P aparține numai primului plan.
Deci, două avioane sunt paralele când normalele lor sunt.
Avion și linie dreaptă
În cazul luării în considerare a poziției relative dintre un plan și o linie dreaptă, există mai multe opțiuni decât cu două plane. Acest fapt este legat de faptul că linia dreaptă este un obiect unidimensional. Linia și avionul pot fi:
- paralele reciproc, în acest caz planul nu intersectează linia;
- cel din urmă poate aparține planului, în timp ce va fi și paralel cu acesta;
- ambele obiecte potse intersectează la un anumit unghi.
Să luăm în considerare mai întâi ultimul caz, deoarece necesită introducerea conceptului de unghi de intersecție.
Linie și plan, unghiul dintre ele
Dacă o dreaptă intersectează un plan, atunci se numește înclinată față de acesta. Punctul de intersecție se numește baza pantei. Pentru a determina unghiul dintre aceste obiecte geometrice, este necesar să coborâți o dreaptă perpendiculară pe plan din orice punct. Apoi punctul de intersecție al perpendicularei cu planul și locul de intersecție al dreptei înclinate cu acesta formează o dreaptă. Aceasta din urmă se numește proiecția liniei inițiale pe planul luat în considerare. Unghiul ascuțit dintre linie și proiecția acesteia este cel necesar.
Definiția oarecum confuză a unghiului dintre un plan și un oblic va clarifica figura de mai jos.
Aici unghiul ABO este unghiul dintre dreapta AB și planul a.
Pentru a scrie formula pentru aceasta, luați în considerare un exemplu. Să existe o dreaptă și un plan, care sunt descrise de ecuațiile:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Este ușor de calculat unghiul dorit pentru aceste obiecte dacă găsiți produsul scalar dintre vectorii de direcție ai dreptei și ai planului. Unghiul ascuțit rezultat ar trebui să fie scăzut din 90o, apoi se obține între o dreaptă și un plan.
Figura de mai sus arată algoritmul descris pentru găsireunghi considerat. Aici β este unghiul dintre normală și linie, iar α este între linie și proiecția acesteia pe plan. Se poate observa că suma lor este de 90o.
Mai sus, a fost prezentată o formulă care răspunde la întrebarea cum să găsești un unghi între planuri. Acum dăm expresia corespunzătoare pentru cazul unei drepte și unui plan:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Modulul din formulă permite calcularea numai a unghiurilor ascuțite. Funcția arcsinus a apărut în locul arccosinusului datorită utilizării formulei de reducere corespunzătoare între funcțiile trigonometrice (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problemă: un plan intersectează o dreaptă
Acum, haideți să arătăm cum să lucrați cu formula de mai sus. Să rezolvăm problema: este necesar să calculăm unghiul dintre axa y și planul dat de ecuația:
y - z + 12=0
Acest avion este prezentat în imagine.
Puteți vedea că intersectează axele y și z în punctele (0; -12; 0) și respectiv (0; 0; 12), și este paralelă cu axa x.
Vectorul direcție al dreptei y are coordonatele (0; 1; 0). Un vector perpendicular pe un plan dat este caracterizat de coordonatele (0; 1; -1). Aplicăm formula pentru unghiul de intersecție a unei drepte și a unui plan, obținem:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problemă: linie dreaptă paralelă cu planul
Acum hai să decidemsimilar cu problema anterioară, a cărei întrebare se pune diferit. Ecuațiile planului și ale dreptei sunt cunoscute:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Este necesar să aflați dacă aceste obiecte geometrice sunt paralele între ele.
Avem doi vectori: direcția dreptei este (0; 2; 2) și direcția planului este (1; 1; -1). Găsiți produsul lor punctual:
01 + 12 - 12=0
Zeroul rezultat indică faptul că unghiul dintre acești vectori este de 90o, ceea ce demonstrează că linia și planul sunt paralele.
Acum să verificăm dacă această linie este doar paralelă sau se află și în plan. Pentru a face acest lucru, selectați un punct arbitrar pe linie și verificați dacă acesta aparține planului. De exemplu, să luăm λ=0, atunci punctul P(1; 0; 0) aparține dreptei. Înlocuiți în ecuația planului P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Punctul P nu aparține planului, ceea ce înseamnă că nici întreaga linie nu se află în el.
Unde este important să cunoaștem unghiurile dintre obiectele geometrice considerate?
Formulele de mai sus și exemplele de rezolvare a problemelor nu sunt doar de interes teoretic. Ele sunt adesea folosite pentru a determina cantități fizice importante ale figurilor tridimensionale reale, cum ar fi prisme sau piramide. Este important să se poată determina unghiul dintre planuri atunci când se calculează volumele figurilor și zonele suprafețelor acestora. Mai mult, dacă în cazul unei prisme drepte este posibil să nu se folosească aceste formule pentru a determinavalori specificate, atunci pentru orice tip de piramidă utilizarea lor este inevitabilă.
Mai jos, luați în considerare un exemplu de utilizare a teoriei de mai sus pentru a determina unghiurile unei piramide cu bază pătrată.
Piramida și colțurile ei
Figura de mai jos prezintă o piramidă, la baza căreia se află un pătrat cu latura a. Înălțimea figurii este h. Trebuie să găsiți două colțuri:
- între suprafața laterală și bază;
- între coasta laterală și bază.
Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să introduceți sistemul de coordonate și să determinați parametrii vârfurilor corespunzătoare. Figura arată că originea coordonatelor coincide cu punctul din centrul bazei pătrate. În acest caz, planul de bază este descris de ecuația:
z=0
Adică, pentru orice x și y, valoarea celei de-a treia coordonate este întotdeauna zero. Planul lateral ABC intersectează axa z în punctul B(0; 0; h), iar axa y în punctul cu coordonatele (0; a/2; 0). Nu traversează axa x. Aceasta înseamnă că ecuația planului ABC poate fi scrisă ca:
y / (a / 2) + z / h=1 sau
2hy + az - ah=0
Vector AB¯ este o margine laterală. Coordonatele sale de început și de sfârșit sunt: A(a/2; a/2; 0) și B(0; 0; h). Apoi coordonatele vectorului însuși:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Am găsit toate ecuațiile și vectorii necesari. Acum rămâne să folosiți formulele luate în considerare.
Mai întâi calculăm în piramidă unghiul dintre planurile bazeisi lateral. Vectorii normali corespunzători sunt: n1¯(0; 0; 1) și n2¯(0; 2h; a). Atunci unghiul va fi:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Unghiul dintre plan și muchia AB va fi:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Rămâne să înlocuiți valorile specifice ale laturii bazei a și înălțimea h pentru a obține unghiurile necesare.
