Acest articol va explica formula Black-Scholes în termeni simpli. Modelul Black-Scholes este un model matematic al dinamicii unei piețe financiare care conține instrumente de investiții derivate.
Din ecuația cu diferență parțială din model (cunoscută sub numele de ecuația Black-Scholes), poate fi derivată formula Black-Scholes. Oferă un preț teoretic al opțiunii în stil european și arată că opțiunea are un preț unic, indiferent de riscul titlului și de randamentul său așteptat (în loc să înlocuiască randamentul așteptat al titlului de valoare cu o rată neutră din punct de vedere al riscului).
Formula a condus la un boom în tranzacționarea cu opțiuni și a dat legitimitate matematică Bursei de Opțiuni Chicago Board și altor piețe de opțiuni din întreaga lume. Este utilizat pe scară largă, deși adesea cu ajustări și corecții, de către participanții pe piața de opțiuni. În imaginile din acest articol puteți vedea exemple de formula Black-Scholes.
Istorie și esență
Pe baza lucrărilor dezvoltate anterior de cercetători și practicienipiețe precum Louis Bachelier, Sheen Kassouf și Ed Thorpe, Fisher Black și Myron Scholes la sfârșitul anilor 1960 au demonstrat că revizuirea dinamică a portofoliului a eliminat rentabilitatea așteptată a securității.
În 1970, după ce au încercat să aplice formula pe piețe și au suferit pierderi financiare din cauza lipsei de management al riscului în profesiile lor, au decis să se concentreze pe domeniul lor, mediul academic. După trei ani de efort, formula, numită după promulgarea lor, a fost în cele din urmă publicată în 1973 într-un articol intitulat „Pricing Options and Corporate Bonds” în Journal of Political Economy. Robert S. Merton a fost primul care a publicat o lucrare care extinde înțelegerea matematică a modelului de preț al opțiunilor și a inventat termenul „Model de preț Black-Scholes”.
Pentru munca lor, Merton și Scholes au primit Premiul Nobel pentru Economie în 1997, invocând descoperirea revizuirii dinamice independente de risc ca fiind o descoperire care decuplează opțiunea de riscul de securitate subiacent. Chiar dacă nu a primit premiul din cauza morții sale în 1995, Black a fost menționat de un academic suedez ca participant. În imaginea de mai jos puteți vedea o formulă tipică Black-Scholes.
Opțiuni
Ideea principală a acestui model este de a acoperi o opțiune prin cumpărarea și vânzarea corectă a activului suport și, ca urmare, eliminarea riscului. Acest tip de acoperire se numește „constantly updated delta hedging”. Elreprezintă baza pentru strategii mai complexe, cum ar fi cele utilizate de băncile de investiții și fondurile speculative.
Gestiunea riscurilor
Ipotezele modelului au fost relaxate și generalizate în mai multe direcții, rezultând o varietate de modele utilizate în prezent în stabilirea prețurilor derivatelor și gestionarea riscurilor. Înțelegerea modelului, așa cum se arată în formula Black-Scholes, este adesea folosită de participanții de pe piață, în contrast cu prețurile reale. Aceste detalii nu includ limite de arbitraj și prețuri neutre la risc (datorită revizuirii constante). În plus, ecuația Black-Scholes, ecuația diferențială parțială care determină prețul unei opțiuni, permite ca prețurile să fie determinate numeric atunci când nu este posibilă o formulă explicită.
Volatilitate
Formula Black-Scholes are un singur parametru care nu poate fi observat direct pe piață: volatilitatea medie viitoare a activului suport, deși poate fi găsită la prețul altor opțiuni. Pe măsură ce valoarea unui parametru (fie că este pus sau apelat) crește în acel parametru, acesta poate fi inversat pentru a produce o „suprafață de volatilitate” care este apoi utilizată pentru a calibra alte modele, cum ar fi derivatele OTC.
Având în vedere aceste ipoteze, presupunem că această piață tranzacționează și instrumente derivate. Indicăm că acest titlu va avea o anumită plată la o anumită dată în viitor, în funcție de valoarea asumată de acțiune.înainte de această dată. În mod surprinzător, prețul instrumentului derivat este acum complet determinat, deși nu știm pe ce cale va urma prețul acțiunilor în viitor.
Pentru un caz special al unei opțiuni call sau put european, Black și Scholes au arătat că este posibil să se creeze o poziție acoperită constând dintr-o poziție lungă într-o acțiune și o poziție scurtă într-o opțiune, a cărei valoare nu ar depinde de prețul stocului. Strategia lor dinamică de acoperire a dus la o ecuație diferențială parțială care a determinat prețul opțiunii. Soluția sa este dată de formula Black-Scholes.
Diferența de termeni
Formula Black-Scholes pentru Excel poate fi interpretată prin împărțirea mai întâi a opțiunii de call în diferența a două opțiuni binare. O opțiune de call schimbă numerar cu un activ la expirare, în timp ce un activ de apel cu sau fără un activ pur și simplu aduce un activ (fără numerar în schimb), iar un call fără numerar pur și simplu returnează banii (fără schimb de activ)). Formula Black-Scholes pentru o opțiune este diferența dintre doi termeni, iar acești doi termeni sunt egali cu valoarea opțiunilor binare call. Aceste opțiuni binare tranzacționează mult mai puțin frecvent decât opțiunile vanilie, dar sunt mai ușor de analizat.
În practică, unele valori de sensibilitate sunt de obicei prescurtate pentru a se potrivi cu scara modificărilor probabile ale parametrilor. De exemplu, rho împărțit la 10000 (modificare cu 1 punct de bază), vega cu 100 (modificare cu 1 punct de volum) și theta cu 365 sunt adesea raportate.sau 252 (tragere de o zi bazată fie pe zile calendaristice, fie pe zile de tranzacționare pe an).
Modelul de mai sus poate fi extins pentru rate variabile (dar deterministe) și volatilitate. Modelul poate fi folosit și pentru a evalua opțiunile europene pentru instrumentele de plată a dividendelor. În acest caz, sunt disponibile soluții în formă închisă dacă dividendul este o proporție cunoscută din prețul acțiunii. Opțiunile americane și pe acțiuni care plătesc un dividend în numerar cunoscut (mai realist decât un dividend proporțional pe termen scurt) sunt mai dificil de evaluat și este disponibilă o alegere a metodelor de soluție (de exemplu, grilaje și grile).
Abordare
Aproximație utilă: deși volatilitatea nu este constantă, rezultatele modelului ajută adesea la stabilirea acoperirii în proporțiile potrivite pentru a minimiza riscul. Chiar dacă rezultatele nu sunt în întregime exacte, ele servesc ca o primă aproximare la care se pot face ajustări.
De bază pentru modele mai bune: modelul Black-Scholes este robust în sensul că poate fi ajustat pentru a face față unora dintre eșecurile sale. În loc să tratăm unii parametri (cum ar fi volatilitatea sau ratele dobânzilor) ca constante, îi tratăm ca variabile și astfel adăugăm surse de risc.
Acest lucru se reflectă în greci (schimbarea valorii opțiunii pentru a modifica acești parametri sau echivalentul derivatelor parțiale în raport cu aceste variabile) și acoperirea acestor grecireduce riscul cauzat de natura variabilă a acestor parametri. Cu toate acestea, alte defecte nu pot fi eliminate prin schimbarea modelului, în special riscul de coadă și riscul de lichiditate, și în schimb sunt gestionate în afara modelului, în principal prin minimizarea acestor riscuri și prin teste de stres.
Modeling explicit
Modelare explicită: această caracteristică înseamnă că, în loc să presupunem volatilitatea a priori și să calculați prețurile din aceasta, puteți utiliza un model pentru a determina volatilitatea care oferă volatilitatea implicită a opțiunii la anumite prețuri, timpi și prețuri de exercitare. Prin rezolvarea volatilității pentru un anumit set de durate și prețuri de exercitare, se poate construi o suprafață de volatilitate implicită.
În această aplicație a modelului Black-Scholes se obține o transformare a coordonatelor din zona prețurilor în zona de volatilitate. În loc să cotați prețurile opțiunilor în dolari pe unitate (care sunt greu de comparat pe baza cursurilor, duratelor și frecvenței cupoanelor), prețurile opțiunilor pot fi cotate în termeni de volatilitate implicită, ceea ce duce la tranzacționare cu volatilitate pe piețele de opțiuni.
