În matematică și procesare, conceptul de semnal analitic (pe scurt - C, AC) este o funcție complexă care nu are componente de frecvență negative. Părțile reale și imaginare ale acestui fenomen sunt funcții reale legate între ele prin transformarea Hilbert. Un semnal analitic este un fenomen destul de comun în chimie, a cărui esență este similară cu definiția matematică a acestui concept.
Performanțe
Reprezentarea analitică a unei funcții reale este un semnal analitic care conține funcția inițială și transformata Hilbert a acesteia. Această reprezentare facilitează multe manipulări matematice. Ideea principală este că componentele de frecvență negative ale transformării Fourier (sau spectrului) unei funcții reale sunt redundante datorită simetriei hermitiene a unui astfel de spectru. Aceste componente de frecvență negativă pot fi aruncate fărăpierderea de informații, cu condiția să dorești să te ocupi în schimb de o funcție complexă. Acest lucru face ca anumite atribute ale caracteristicilor să fie mai accesibile și facilitează obținerea tehnicilor de modulare și demodulare, cum ar fi SSB.
Componente negative
Atâta timp cât funcția care este manipulată nu are componente de frecvență negative (adică este încă analitică), conversia de la complex înapoi la real este pur și simplu o chestiune de eliminare a părții imaginare. Reprezentarea analitică este o generalizare a conceptului de vector: în timp ce un vector este limitat la o amplitudine, fază și frecvență invariante în timp, o analiză calitativă a unui semnal analitic permite parametrii variabili în timp.
Amplitudinea instantanee, faza instantanee și frecvența sunt utilizate în unele aplicații pentru a măsura și detecta caracteristicile locale ale lui C. O altă aplicație a reprezentării analitice se referă la demodularea semnalelor modulate. Coordonatele polare separă în mod convenabil efectele modulării AM și ale fazei (sau frecvenței) și demodulează în mod eficient anumite tipuri.
Atunci un simplu filtru trece-jos cu coeficienți reali poate tăia partea de interes. Un alt motiv este scăderea frecvenței maxime, ceea ce scade frecvența minimă pentru eșantionarea fără alias. Deplasarea de frecvență nu subminează utilitatea matematică a reprezentării. Astfel, în acest sens, downconverted este încă analitic. Cu toate acestea, restabilirea reprezentării realenu mai este o simplă chestiune de a extrage pur și simplu componenta reală. Poate fi necesară o conversie ascendentă și, dacă semnalul este eșantionat (timp discret), poate fi necesară și interpolarea (eșantionare suplimentară) pentru a evita aliasarea.
Variabile
Conceptul este bine definit pentru fenomene cu o singură variabilă, care sunt de obicei temporare. Această temporalitate îi încurcă pe mulți matematicieni începători. Pentru două sau mai multe variabile, C analitic poate fi definit în moduri diferite, iar două abordări sunt prezentate mai jos.
Părțile reale și imaginare ale acestui fenomen corespund la două elemente ale unui semnal monogen cu valoare vectorială, așa cum este definit pentru fenomene similare cu o variabilă. Totuși, monogenic poate fi extins la un număr arbitrar de variabile într-un mod simplu, creând o funcție vectorială (n + 1)-dimensională pentru cazul semnalelor n-variabile.
Conversie semnal
Puteți converti un semnal real într-unul analitic adăugând o componentă imaginară (Q), care este transformarea Hilbert a componentei reale.
Apropo, acest lucru nu este nou pentru procesarea sa digitală. Una dintre modalitățile tradiționale de a genera AM cu bandă laterală unică (SSB), metoda de fazare, implică crearea de semnale prin generarea unei transformări Hilbert a unui semnal audio într-o rețea de rezistență-condensator analogică. Deoarece are doar frecvențe pozitive, este ușor să îl convertiți într-un semnal RF modulat cu o singură bandă laterală.
Formule de definiție
Expresia semnalului analitic este o funcție complexă holomorfă definită la limita semiplanului complex superior. Limita semiplanului superior coincide cu aleator, deci C este dat de maparea fa: R → C. De la mijlocul secolului trecut, când Denis Gabor a propus în 1946 să folosească acest fenomen pentru a studia amplitudinea și faza constantă., semnalul a găsit multe aplicații. A fost subliniată particularitatea acestui fenomen [Vak96], unde s-a arătat că doar o analiză calitativă a semnalului analitic corespunde condițiilor fizice de amplitudine, fază și frecvență.
Ultimele realizări
În ultimele decenii, a existat un interes pentru studiul semnalului în multe dimensiuni, motivat de probleme apărute în domenii, de la procesarea imaginii/video până la procesele oscilatorii multidimensionale din fizică, cum ar fi cele seismice, electromagnetice și valuri gravitationale. S-a acceptat în general că, pentru a generaliza corect C analitic (analiza calitativă) la cazul mai multor dimensiuni, trebuie să se bazeze pe o construcție algebrică care extinde într-un mod convenabil numerele complexe obișnuite. Astfel de construcții sunt de obicei numite numere hipercomplexe [SKE].
În sfârșit, ar trebui să fie posibil să se construiască un semnal analitic hipercomplex fh: Rd → S, unde este reprezentat un sistem algebric hipercomplex general, care extinde în mod natural toate proprietățile necesare pentru a obține o amplitudine instantanee șifaza.
Studiu
O serie de lucrări sunt dedicate diverselor probleme legate de alegerea corectă a sistemului numeric hipercomplex, definirea transformării Fourier hipercomplexe și a transformării Hilbert fracționale pentru studiul amplitudinii și fazei instantanee. Cea mai mare parte a acestei lucrări s-a bazat pe proprietăți ale diferitelor spații, cum ar fi Cd, cuaternioni, algebre Clearon și construcții Cayley-Dixon.
În continuare, vom enumera doar câteva dintre lucrările dedicate studiului semnalului în multe dimensiuni. Din câte știm, primele lucrări asupra metodei multivariate au fost obținute la începutul anilor 1990. Acestea includ lucrarea lui Ell [Ell92] privind transformările hipercomplexe; Lucrările lui Bulow privind generalizarea metodei de reacție analitică (semnal analitic) la multe măsurători [BS01] și lucrările lui Felsberg și Sommer asupra semnalelor monogenice.
Alte perspective
Se așteaptă ca semnalul hipercomplex să extindă toate proprietățile utile pe care le avem în cazul 1D. În primul rând, trebuie să putem extrage și generaliza amplitudinea și faza instantanee la măsurători. În al doilea rând, spectrul Fourier al unui semnal analitic complex este menținut doar la frecvențe pozitive, așa că ne așteptăm ca transformata Fourier hipercomplexă să aibă propriul spectru hipervalorat, care va fi menținut doar într-un cadran pozitiv al spațiului hipercomplex. Pentru că este foarte important.
În al treilea rând, conjugă părți ale unui concept complexale semnalului analitic sunt legate de transformarea Hilbert și ne putem aștepta ca componentele conjugate din spațiul hipercomplex să fie, de asemenea, legate de o combinație a transformărilor Hilbert. Și, în sfârșit, într-adevăr, un semnal hipercomplex trebuie definit ca o extensie a unei funcții holomorfe hipercomplexe a mai multor variabile hipercomplex definite la limita unei forme într-un spațiu hipercomplex.
Abordăm aceste probleme în ordine secvențială. În primul rând, începem prin a privi formula integrală Fourier și arătăm că transformata Hilbert la 1-D este legată de formula integrală Fourier modificată. Acest fapt ne permite să definim amplitudinea, faza și frecvența instantanee fără nicio referire la sisteme de numere hipercomplexe și funcții holomorfe.
Modificarea integralelor
Continuăm prin extinderea formulei integrale Fourier modificate la mai multe dimensiuni și determinăm toate componentele defazate necesare pe care le putem colecta în amplitudine și fază instantanee. În al doilea rând, ne întoarcem la întrebarea existenței funcțiilor holomorfe ale mai multor variabile hipercomplexe. După [Sch93] rezultă că algebra hipercomplexă comutativă și asociativă generată de un set de generatoare eliptice (e2i=−1) este un spațiu potrivit pentru ca un semnal analitic hipercomplex să trăiască, numim o astfel de algebră hipercomplexă spațiul Schaefer și notăm aceastaSd.
De aceea, hipercomplexul semnalelor analitice este definit ca o funcție holomorfă la limita polidiscului/jumătatea superioară a planului într-un spațiu hipercomplex, pe care îl numim spațiu general Schaefers, și notat cu Sd. Observăm apoi validitatea formulei integrale Cauchy pentru funcțiile Sd → Sd, care sunt calculate pe o suprafață în interiorul unui polidisc în Sd și derivăm transformările Hilbert fracționale corespunzătoare care relaționează componentele conjugate hipercomplexe. În cele din urmă, se dovedește că transformata Fourier cu valori în spațiul Schaefer este suportată numai la frecvențe nenegative. Datorită acestui articol, ați aflat ce este un semnal analitic.
