În cursul școlar de geometrie solidă, una dintre cele mai simple figuri care are dimensiuni diferite de zero de-a lungul a trei axe spațiale este o prismă patruunghiulară. Luați în considerare în articol ce fel de figură este, din ce elemente constă și, de asemenea, cum îi puteți calcula suprafața și volumul.
Conceptul de prismă
În geometrie, o prismă este o figură spațială, care este formată din două baze și suprafețe laterale identice care leagă laturile acestor baze. Rețineți că ambele baze sunt transformate una în alta folosind operația de translație paralelă de către un vector. Această atribuire a prismei duce la faptul că toate laturile sale sunt întotdeauna paralelograme.
Numărul de laturi ale bazei poate fi arbitrar, începând de la trei. Când acest număr tinde spre infinit, prisma se transformă lin într-un cilindru, deoarece baza sa devine un cerc, iar paralelogramele laterale, conectându-se, formează o suprafață cilindrică.
Ca orice poliedru, o prismă se caracterizează prinlaturi (planuri care delimitează figura), muchii (segmente de-a lungul cărora se intersectează oricare două laturi) și vârfuri (punctele de întâlnire a trei laturi, pentru o prismă două dintre ele sunt laterale, iar a treia este baza). Cantitățile celor trei elemente numite ale figurii sunt interconectate prin următoarea expresie:
P=C + B - 2
Aici P, C și B sunt numărul de muchii, laturi și, respectiv, vârfuri. Această expresie este notația matematică a teoremei lui Euler.
Imaginea de mai sus arată două prisme. La baza unuia dintre ele (A) se află un hexagon regulat, iar laturile laterale sunt perpendiculare pe baze. Figura B arată o altă prismă. Laturile sale nu mai sunt perpendiculare pe baze, iar baza este un pentagon regulat.
Ce este o prismă patruunghiulară?
După cum reiese din descrierea de mai sus, tipul de prismă este determinat în primul rând de tipul de poligon care formează baza (ambele baze sunt aceleași, așa că putem vorbi despre una dintre ele). Dacă acest poligon este un paralelogram, atunci obținem o prismă patruunghiulară. Astfel, toate laturile acestui tip de prisme sunt paralelograme. O prismă pătraunghiulară are propriul nume - un paralelipiped.
Numărul de laturi ale unui paralelipiped este de șase și fiecare latură are o paralelă similară. Deoarece bazele cutiei sunt două laturi, celel alte patru sunt laterale.
Numărul de vârfuri ale paralelipipedului este opt, ceea ce este ușor de observat dacă ne amintim că vârfurile prismei se formează numai la vârfurile poligoanelor de bază (4x2=8). Aplicând teorema lui Euler, obținem numărul de muchii:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Din cele 12 coaste, doar 4 sunt formate independent de laturi. Cele 8 rămase se află în planurile bazelor figurii.
Mai departe în articol vom vorbi doar despre prisme patrulatere.
Tipuri de paralelipipede
Primul tip de clasificare este caracteristicile paralelogramului subiacent. Poate arăta astfel:
- regular, ale cărui unghiuri nu sunt egale cu 90o;
- dreptunghi;
- un pătrat este un patrulater obișnuit.
Al doilea tip de clasificare este unghiul la care latura traversează baza. Două cazuri diferite sunt posibile aici:
- acest unghi nu este drept, atunci prisma se numește oblică sau oblică;
- unghiul este de 90o, atunci o astfel de prismă este dreptunghiulară sau doar dreaptă.
Al treilea tip de clasificare este legat de înălțimea prismei. Dacă prisma este dreptunghiulară, iar baza este fie un pătrat, fie un dreptunghi, atunci se numește cuboid. Dacă la bază există un pătrat, prisma este dreptunghiulară, iar înălțimea sa este egală cu lungimea laturii pătratului, atunci obținem binecunoscuta figură cub.
Suprafața și zona prismei
Setul tuturor punctelor care se află pe două baze ale unei prisme(paralelograme) și pe laturile sale (patru paralelograme) formează suprafața figurii. Aria acestei suprafețe poate fi calculată calculând suprafața bazei și această valoare pentru suprafața laterală. Apoi suma lor va da valoarea dorită. Matematic, aceasta este scrisă după cum urmează:
S=2So+ Sb
Aici So și Sb sunt aria bazei și, respectiv, a suprafeței laterale. Numărul 2 înainte de So apare deoarece există două baze.
Rețineți că formula scrisă este valabilă pentru orice prismă și nu doar pentru aria unei prisme patrulatere.
Este util să ne amintim că aria unui paralelogram Sp se calculează prin formula:
Sp=ah
Unde simbolurile a și h indică lungimea uneia dintre laturile sale și, respectiv, înălțimea desenată pe această latură.
Aria unei prisme dreptunghiulare cu o bază pătrată
Într-o prismă patruunghiulară obișnuită, baza este un pătrat. Pentru certitudine, notăm partea sa cu litera a. Pentru a calcula aria unei prisme patrulatere obișnuite, ar trebui să cunoașteți înălțimea acesteia. Conform definiției acestei mărimi, este egală cu lungimea perpendicularei căzute de la o bază la alta, adică egală cu distanța dintre ele. Să o notăm cu litera h. Deoarece toate fețele laterale sunt perpendiculare pe bazele tipului de prismă luat în considerare, înălțimea unei prisme pătrangulare obișnuite va fi egală cu lungimea muchiei sale laterale.
BFormula generală pentru suprafața unei prisme este de doi termeni. Aria bazei în acest caz este ușor de calculat, este egală cu:
So=a2
Pentru a calcula aria suprafeței laterale, argumentăm astfel: această suprafață este formată din 4 dreptunghiuri identice. În plus, laturile fiecăruia dintre ele sunt egale cu a și h. Aceasta înseamnă că aria lui Sb va fi egală cu:
Sb=4ah
Rețineți că produsul 4a este perimetrul bazei pătrate. Dacă generalizăm această expresie în cazul unei baze arbitrare, atunci pentru o prismă dreptunghiulară suprafața laterală poate fi calculată după cum urmează:
Sb=Poh
Unde Po este perimetrul bazei.
Revenind la problema calculării ariei unei prisme patrulatere obișnuite, putem scrie formula finală:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Zona unui paralelipiped oblic
Calculul este ceva mai dificil decât pentru unul dreptunghiular. În acest caz, aria bazei unei prisme patrulatere este calculată folosind aceeași formulă ca și pentru un paralelogram. Modificările se referă la modul în care este determinată suprafața laterală.
Pentru a face acest lucru, utilizați aceeași formulă prin perimetru, așa cum este indicată în paragraful de mai sus. Abia acum va avea multiplicatori ușor diferiți. Formula generală pentru Sb în cazul unei prisme oblice este:
Sb=Psrc
Aici c este lungimea marginii laterale a figurii. Valoarea Psr este perimetrul feliei dreptunghiulare. Acest mediu este construit astfel: este necesar să se intersecteze toate fețele laterale cu un plan, astfel încât să fie perpendicular pe toate. Dreptunghiul rezultat va fi tăietura dorită.
Figura de mai sus arată un exemplu de cutie oblică. Secțiunea sa hașurată în cruce formează unghiuri drepte cu laturile. Perimetrul secțiunii este Psr. Este format din patru înălțimi de paralelograme laterale. Pentru această prismă pătraunghiulară, aria suprafeței laterale este calculată folosind formula de mai sus.
Lungimea diagonalei unui cuboid
Diagonala unui paralelipiped este un segment care leagă două vârfuri care nu au laturi comune care le formează. Există doar patru diagonale în orice prismă pătrangulară. Pentru un cuboid cu un dreptunghi la bază, lungimile tuturor diagonalelor sunt egale între ele.
Figura de mai jos arată cifra corespunzătoare. Segmentul roșu este diagonala sa.
Calculul lungimii este foarte simplu, dacă vă amintiți teorema lui Pitagora. Fiecare elev poate obține formula dorită. Are următoarea formă:
D=√(A2+ B2 + C2)
Aici D este lungimea diagonalei. Caracterele rămase sunt lungimile laturilor cutiei.
Mulți oameni confundă diagonala unui paralelipiped cu diagonalele laturilor sale. Mai jos este o poză în care este coloratăsegmentele reprezintă diagonalele laturilor figurii.
Lungimea fiecăruia dintre ele este, de asemenea, determinată de teorema lui Pitagora și este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor lungimilor laturilor corespunzătoare.
Volum prisme
Pe lângă aria unei prisme patrulatere obișnuite sau a altor tipuri de prisme, pentru a rezolva unele probleme geometrice, ar trebui să cunoașteți și volumul acestora. Această valoare pentru absolut orice prismă este calculată prin următoarea formulă:
V=Soh
Dacă prisma este dreptunghiulară, atunci este suficient să calculați aria bazei sale și să o înmulțiți cu lungimea marginii laturii pentru a obține volumul figurii.
Dacă prisma este o prismă patruunghiulară obișnuită, atunci volumul ei va fi:
V=a2h.
Este ușor de observat că această formulă este convertită într-o expresie pentru volumul unui cub dacă lungimea muchiei laterale h este egală cu latura bazei a.
Problemă cu un cuboid
Pentru consolidarea materialului studiat vom rezolva următoarea problemă: există un paralelipiped dreptunghiular ale cărui laturi sunt de 3 cm, 4 cm și 5 cm. Este necesar să se calculeze suprafața, lungimea diagonalei și volumul acestuia.
Pentru certitudine, vom presupune că baza figurii este un dreptunghi cu laturile de 3 cm și 4 cm. Atunci aria sa este de 12 cm2, iar perioada este de 14 cm. Folosind formula pentru suprafața prismei, obținem:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Pentru a determina lungimea diagonalei și volumul figurii, puteți folosi direct expresiile de mai sus:
D=√(32+42+52)=7. 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problemă cu un paralelipiped oblic
Figura de mai jos arată o prismă oblică. Laturile sale sunt egale: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Trebuie să găsiți suprafața acestei figuri.
În primul rând, să determinăm aria bazei. Figura arată că unghiul ascuțit este de 50o. Atunci aria sa este:
So=ha=sin(50o)ba
Pentru a determina aria suprafeței laterale, ar trebui să găsiți perimetrul dreptunghiului umbrit. Laturile acestui dreptunghi sunt asin(45o) și bsin(60o). Atunci perimetrul acestui dreptunghi este:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Suprafața totală a acestei casete este:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Înlocuim datele din starea problemei cu lungimile laturilor figurii, obținem răspunsul:
S=458, 5496 cm3
Din rezolvarea acestei probleme se poate observa că funcțiile trigonometrice sunt folosite pentru a determina ariile figurilor oblice.
