Figurele revoluției din geometrie li se acordă o atenție deosebită atunci când se studiază caracteristicile și proprietățile lor. Unul dintre ele este un trunchi de con. Acest articol își propune să răspundă la întrebarea ce formulă poate fi utilizată pentru a calcula aria unui trunchi de con.
Despre ce cifră vorbim?
Înainte de a descrie aria unui trunchi de con, este necesar să se ofere o definiție geometrică exactă a acestei figuri. Trunchiat este un astfel de con, care se obține ca urmare a tăierii vârfului unui con obișnuit de către un plan. În această definiție, ar trebui subliniate o serie de nuanțe. În primul rând, planul de secțiune trebuie să fie paralel cu planul bazei conului. În al doilea rând, figura originală trebuie să fie un con circular. Desigur, poate fi o figură eliptică, hiperbolică și de alt tip, dar în acest articol ne vom restrânge doar să luăm în considerare doar un con circular. Acesta din urmă este prezentat în figura de mai jos.
Este usor de ghicit ca se poate obtine nu doar cu ajutorul unei sectiuni cu un avion, ci si cu ajutorul unei operatii de rotatie. PentruPentru a face acest lucru, trebuie să luați un trapez care are două unghiuri drepte și să îl rotiți în jurul laturii care este adiacentă acestor unghiuri drepte. Ca urmare, bazele trapezului vor deveni razele bazelor trunchiului de con, iar partea laterală înclinată a trapezului va descrie suprafața conică.
Dezvoltarea formei
Având în vedere suprafața unui trunchi de con, este util să aducem dezvoltarea acestuia, adică imaginea suprafeței unei figuri tridimensionale pe un plan. Mai jos este o scanare a figurii studiate cu parametri arbitrari.
Se poate observa că aria figurii este formată din trei componente: două cercuri și un segment circular trunchiat. Evident, pentru a determina suprafața necesară, este necesar să se însumeze zonele tuturor figurilor numite. Să rezolvăm această problemă în paragraful următor.
Zona trunchiată de con
Pentru a înțelege mai ușor următorul raționament, introducem următoarea notație:
- r1, r2 - razele bazelor mari și, respectiv, mici;
- h - înălțimea figurii;
- g - generatoarea conului (lungimea laturii oblice a trapezului).
Aria bazelor unui trunchi de con este ușor de calculat. Să scriem expresiile corespunzătoare:
So1=pir12;
So2=pir22.
Aria unei părți a unui segment circular este oarecum mai dificil de determinat. Dacă ne imaginăm că centrul acestui sector circular nu este decupat, atunci raza lui va fi egală cu valoarea G. Nu este greu de calculat dacă luăm în considerare corespunzătoaretriunghiuri asemănătoare conice dreptunghiulare. Este egal cu:
G=r1g/(r1-r2).
Atunci aria întregului sector circular, care este construit pe raza G și care se bazează pe un arc de lungime 2pir1, va fi egală către:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Acum, să determinăm aria micului sector circular S2, care va trebui să fie scăzut din S1. Este egal cu:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Aria suprafeței trunchiate conice Sb este egală cu diferența dintre S1 și S 2. Primim:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
În ciuda unor calcule greoaie, am obținut o expresie destul de simplă pentru aria suprafeței laterale a figurii.
Adăugând zonele bazelor și Sb, ajungem la formula pentru aria unui trunchi de con:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Astfel, pentru a calcula valoarea lui S a figurii studiate, trebuie să cunoașteți cei trei parametri liniari ai acesteia.
Exemplu de problemă
Con circular dreptcu o rază de 10 cm și o înălțime de 15 cm a fost tăiată de un plan pentru a obține un trunchi de con regulat. Știind că distanța dintre bazele figurii trunchiate este de 10 cm, este necesar să găsim suprafața acesteia.
Pentru a utiliza formula pentru zona unui con trunchiat, trebuie să găsiți trei dintre parametrii acestuia. Unul pe care îl știm:
r1=10 cm.
Celel alte două sunt ușor de calculat dacă luăm în considerare triunghiuri dreptunghiulare similare, care se obțin ca urmare a secțiunii axiale a conului. Luând în considerare starea problemei, obținem:
r2=105/15=3,33 cm.
În sfârșit, ghidajul trunchiului de con g va fi:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Acum puteți înlocui valorile r1, r2 și g în formula pentru S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Suprafața dorită a figurii este de aproximativ 852 cm2.
