Un sistem mecanic care constă dintr-un punct material (corp) atârnat de un fir inextensibil fără greutate (masa sa este neglijabilă în comparație cu greutatea corpului) într-un câmp gravitațional uniform se numește pendul matematic (un alt nume este un oscilator). Există și alte tipuri de acest dispozitiv. În loc de ață, se poate folosi o tijă fără greutate. Un pendul matematic poate dezvălui în mod clar esența multor fenomene interesante. Cu o amplitudine mică de oscilație, mișcarea sa se numește armonică.
Prezentare generală a sistemului mecanic
Formula pentru perioada de oscilație a acestui pendul a fost derivată de omul de știință olandez Huygens (1629-1695). Acest contemporan al lui I. Newton era foarte îndrăgostit de acest sistem mecanic. În 1656 a creat primul ceas cu pendul. Au măsurat timpul cu excepțiepentru acuratețea timpurilor respective. Această invenție a devenit o piatră de hotar majoră în dezvoltarea experimentelor fizice și a activităților practice.
Dacă pendulul este în echilibru (atârnând vertical), atunci forța gravitațională va fi echilibrată de forța tensiunii firului. Un pendul plat pe un fir inextensibil este un sistem cu două grade de libertate cu o legătură. Când schimbați doar o componentă, caracteristicile tuturor părților sale se schimbă. Deci, dacă firul este înlocuit cu o tijă, atunci acest sistem mecanic va avea doar 1 grad de libertate. Care sunt proprietățile unui pendul matematic? În acest cel mai simplu sistem, haosul apare sub influența unei perturbații periodice. În cazul în care punctul de suspensie nu se mișcă, ci oscilează, pendulul are o nouă poziție de echilibru. Cu oscilații rapide în sus și în jos, acest sistem mecanic capătă o poziție stabilă cu susul în jos. Are și propriul ei nume. Se numește pendul lui Kapitza.
Proprietăți pendul
Pendulul matematic are proprietăți foarte interesante. Toate sunt confirmate de legile fizice cunoscute. Perioada de oscilație a oricărui alt pendul depinde de diferite circumstanțe, cum ar fi dimensiunea și forma corpului, distanța dintre punctul de suspensie și centrul de greutate, distribuția masei în raport cu acest punct. De aceea, determinarea perioadei unui corp agățat este o sarcină destul de dificilă. Este mult mai ușor de calculat perioada unui pendul matematic, a cărui formulă va fi dată mai jos. Ca urmare a observațiilor similaresistemele mecanice pot stabili următoarele modele:
• Dacă, menținând aceeași lungime a pendulului, atârnăm greutăți diferite, atunci perioada oscilațiilor lor va fi aceeași, deși masele lor vor varia foarte mult. Prin urmare, perioada unui astfel de pendul nu depinde de masa sarcinii.
• La pornirea sistemului, dacă pendulul este deviat de unghiuri nu prea mari, ci diferite, acesta va începe să oscileze cu aceeași perioadă, dar cu amplitudini diferite. Atâta timp cât abaterile de la centrul de echilibru nu sunt prea mari, oscilațiile în forma lor vor fi destul de apropiate de cele armonice. Perioada unui astfel de pendul nu depinde în niciun fel de amplitudinea oscilației. Această proprietate a acestui sistem mecanic se numește izocronism (tradus din grecescul „chronos” – timp, „isos” – egal).
Perioada pendulului matematic
Acest indicator reprezintă perioada oscilațiilor naturale. În ciuda formulării complexe, procesul în sine este foarte simplu. Dacă lungimea firului unui pendul matematic este L, iar accelerația căderii libere este g, atunci această valoare este:
T=2π√L/g
Perioada micilor oscilații naturale nu depinde în niciun caz de masa pendulului și de amplitudinea oscilațiilor. În acest caz, pendulul se mișcă ca un pendul matematic cu o lungime redusă.
Leagănele pendulului matematic
Un pendul matematic oscilează, ceea ce poate fi descris printr-o ecuație diferențială simplă:
x + ω2 sin x=0, unde x (t) este o funcție necunoscută (acesta este unghiul de abatere de la partea inferioarăpoziţia de echilibru la momentul t, exprimată în radiani); ω este o constantă pozitivă, care este determinată din parametrii pendulului (ω=√g/L, unde g este accelerația de cădere liberă și L este lungimea pendulului matematic (suspensia).
Ecuația fluctuațiilor mici în apropierea poziției de echilibru (ecuația armonică) arată astfel:
x + ω2 sin x=0
Mișcări oscilatorii ale pendulului
Un pendul matematic care face mici oscilații se mișcă de-a lungul unei sinusoide. Ecuația diferențială de ordinul doi îndeplinește toate cerințele și parametrii unei astfel de mișcări. Pentru a determina traiectoria, trebuie să specificați viteza și coordonatele, din care apoi se determină constante independente:
x=Un păcat (θ0 + ωt), unde θ0 este faza inițială, A este amplitudinea oscilației, ω este frecvența ciclică determinată din ecuația mișcării.
Pendul matematic (formule pentru amplitudini mari)
Acest sistem mecanic, care își face oscilațiile cu o amplitudine semnificativă, se supune unor legi mai complexe ale mișcării. Pentru un astfel de pendul, ele sunt calculate prin formula:
sin x/2=usn(ωt/u), unde sn este sinusul Jacobi, care pentru u < 1 este o funcție periodică, iar pentru u mic coincide cu un sinus trigonometric simplu. Valoarea lui u este determinată de următoarea expresie:
u=(ε + ω2)/2ω2, unde ε=E/mL2 (mL2 este energia pendulului).
Determinarea perioadei de oscilație a unui pendul neliniarefectuată după formula:
T=2π/Ω, unde Ω=π/2ω/2K(u), K este integrala eliptică, π - 3, 14.
Mișcarea pendulului de-a lungul separatricei
O separatoare este o traiectorie a unui sistem dinamic cu un spațiu de fază bidimensional. Pendulul matematic se deplasează de-a lungul lui neperiodic. Într-un moment de timp infinit de îndepărtat, cade din poziția superioară extremă în lateral cu viteză zero, apoi o ridică treptat. În cele din urmă, se oprește, revenind la poziția inițială.
Dacă amplitudinea oscilațiilor pendulului se apropie de numărul π, aceasta indică faptul că mișcarea pe planul de fază se apropie de separatoare. În acest caz, sub acțiunea unei mici forțe periodice motrice, sistemul mecanic prezintă un comportament haotic.
Când pendulul matematic se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o forță tangențială a gravitației Fτ=–mg sin φ. Semnul minus înseamnă că această componentă tangențială este îndreptată în sens opus deflexiei pendulului. Când deplasarea pendulului de-a lungul arcului de cerc cu raza L se notează cu x, deplasarea sa unghiulară este egală cu φ=x/L. A doua lege a lui Isaac Newton, concepută pentru proiecțiile vectorului și forței de accelerație, va da valoarea dorită:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Pe baza acestui raport, este clar că acest pendul este un sistem neliniar, deoarece forța care caută să revinăcu poziția de echilibru, este întotdeauna proporțională nu cu deplasarea x, ci cu sin x/L.
Numai când pendulul matematic face mici oscilații, este un oscilator armonic. Cu alte cuvinte, devine un sistem mecanic capabil să efectueze vibrații armonice. Această aproximare este practic valabilă pentru unghiuri de 15–20°. Oscilațiile pendulului cu amplitudini mari nu sunt armonice.
Legea lui Newton pentru oscilațiile mici ale unui pendul
Dacă acest sistem mecanic efectuează vibrații mici, a doua lege a lui Newton va arăta astfel:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Pe baza acestui fapt, putem concluziona că accelerația tangențială a pendulului matematic este proporțională cu deplasarea acestuia cu semnul minus. Aceasta este condiția datorită căreia sistemul devine un oscilator armonic. Modulul câștigului proporțional dintre deplasare și accelerație este egal cu pătratul frecvenței circulare:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Această formulă reflectă frecvența naturală a micilor oscilații ale acestui tip de pendul. Pe baza acestui fapt, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Calcule bazate pe legea conservării energiei
Proprietățile mișcărilor oscilatorii ale pendulului pot fi descrise și folosind legea conservării energiei. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că energia potențială a pendulului în câmpul gravitațional este:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Energie mecanică totalăeste egal cu potențialul cinetic sau maxim: Epmax=Ekmsx=E
După ce legea conservării energiei este scrisă, luați derivata părților din dreapta și din stânga ecuației:
Ep + Ek=const
Deoarece derivata valorilor constante este 0, atunci (Ep + Ek)'=0. Derivata sumei este egală cu suma derivatelor:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, , prin urmare:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Pe baza ultimei formule, găsim: α=- g/Lx.
Aplicarea practică a pendulului matematic
Accelerația căderii libere variază în funcție de latitudinea geografică, deoarece densitatea scoarței terestre pe întreaga planetă nu este aceeași. Acolo unde apar roci cu o densitate mai mare, aceasta va fi ceva mai mare. Accelerația unui pendul matematic este adesea folosită pentru explorarea geologică. Este folosit pentru a căuta diferite minerale. Pur și simplu numărând numărul de balansări ale pendulului, puteți găsi cărbune sau minereu în măruntaiele Pământului. Acest lucru se datorează faptului că astfel de fosile au o densitate și o masă mai mari decât rocile libere care stau la baza lor.
Pendulul matematic a fost folosit de oameni de știință proeminenți precum Socrate, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimede. Mulți dintre ei credeau că acest sistem mecanic ar putea influența soarta și viața unei persoane. Arhimede a folosit un pendul matematic în calculele sale. În zilele noastre, mulți ocultiști și psihicifolosește acest sistem mecanic pentru a-și îndeplini profețiile sau pentru a căuta oameni dispăruți.
Renumitul astronom și naturalist francez K. Flammarion a folosit și el un pendul matematic pentru cercetările sale. El a susținut că cu ajutorul său a reușit să prezică descoperirea unei noi planete, apariția meteoritului Tunguska și alte evenimente importante. În timpul celui de-al Doilea Război Mondial în Germania (Berlin) a funcționat un Institut de Pendulă specializat. Astăzi, Institutul de Parapsihologie din München este angajat în cercetări similare. Angajații acestei instituții își numesc munca cu pendulul „radiestezie”.
