Sisteme numerice - ce este? Chiar și fără să cunoască răspunsul la această întrebare, fiecare dintre noi folosește involuntar sistemele de numere în viața noastră și nu bănuiește acest lucru. Așa este, plural! Adică nu unul, ci mai multe. Înainte de a da exemple de sisteme numerice non-poziționale, să înțelegem această problemă, să vorbim și despre sistemele poziționale.
Factură necesară
Încă din cele mai vechi timpuri, oamenii au avut nevoie de numărare, adică au realizat intuitiv că au nevoie să exprime cumva o viziune cantitativă asupra lucrurilor și evenimentelor. Creierul a sugerat că este necesar să se folosească obiecte pentru numărare. Degetele au fost întotdeauna cele mai convenabile, iar acest lucru este de înțeles, deoarece sunt întotdeauna disponibile (cu rare excepții).
Așadar, reprezentanții antici ai rasei umane au trebuit să-și îndoaie degetele în sensul literal - pentru a indica numărul de mamuți uciși, de exemplu. Astfel de elemente ale contului nu aveau încă nume, ci doar o imagine vizuală, o comparație.
Sisteme moderne de numere poziționale
Sistemul numeric este o metodă (modalitate) de reprezentare a valorilor și cantităților cantitative folosind anumite semne (simboluri sau litere).
Este necesar să înțelegeți ce este pozițional și non-pozițional în numărare înainte de a da exemple de sisteme numerice non-poziționale. Există multe sisteme de numere poziționale. Acum sunt utilizate în diverse domenii de cunoaștere: binar (include doar două elemente semnificative: 0 și 1), hexazecimal (număr de caractere - 6), octal (caractere - 8), duozecimal (douăsprezece caractere), hexazecimal (include șaisprezece caractere). personaje). Mai mult, fiecare rând de caractere din sisteme începe de la zero. Tehnologiile moderne de calcul se bazează pe utilizarea codurilor binare - sistemul de numere binar pozițional.
Sistem de numere zecimale
Poziționalitatea este prezența unor poziții semnificative în diferite grade, pe care sunt situate semnele numărului. Acest lucru poate fi demonstrat cel mai bine folosind exemplul sistemului numeric zecimal. La urma urmei, suntem obișnuiți să-l folosim din copilărie. Există zece semne în acest sistem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Luați numărul 327. Are trei semne: 3, 2, 7. Fiecare dintre ele este situat în propria sa poziție (loc). Cei șapte ocupă poziția rezervată pentru valori individuale (unități), cele două - zeci și cele trei - sute. Deoarece numărul este format din trei cifre, există doar trei poziții în el.
Pe baza celor de mai sus, aceastaun număr zecimal din trei cifre poate fi descris astfel: trei sute, două zeci și șapte unități. Mai mult, semnificația (importanța) pozițiilor este numărată de la stânga la dreapta, de la o poziție slabă (una) la una mai puternică (sute).
Ne simțim foarte confortabil în sistemul numeric pozițional zecimal. Avem zece degete pe mâini și la fel și pe picioare. Cinci plus cinci - așa că, datorită degetelor, ne imaginăm cu ușurință o duzină din copilărie. De aceea este ușor pentru copii să învețe tabelele înmulțirii pentru cinci și zece. De asemenea, este atât de ușor să înveți cum să numeri bancnotele, care sunt cel mai adesea multipli (adică împărțiți fără rest) la cinci și zece.
Alte sisteme de numere poziționale
Spre surprinderea multora, trebuie spus că nu numai în sistemul de numărare zecimală, creierul nostru este obișnuit să facă niște calcule. Până acum, omenirea a folosit sisteme numerice cu șase și duozecimale. Adică într-un astfel de sistem există doar șase caractere (în hexazecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. În duozecimal sunt douăsprezece: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, unde A - indică numărul 10, B - numărul 11 (deoarece semnul trebuie să fie unul).
Judecă singur. Numărăm timpul în șase, nu-i așa? O oră este șaizeci de minute (șase zeci), o zi este douăzeci și patru de ore (de două ori douăsprezece), un an este douăsprezece luni și așa mai departe… Toate intervalele de timp se potrivesc cu ușurință în serii de șase și duozecimale. Dar suntem atât de obișnuiți cu asta încât nici nu ne gândim la asta când numărăm timpul.
Sisteme numerice non-poziționale. Unary
Este necesar să definiți ce este - un sistem numeric non-pozițional. Acesta este un astfel de sistem de semne în care nu există poziții pentru semnele unui număr, sau principiul „citirii” unui număr nu depinde de poziție. De asemenea, are propriile reguli de scriere sau de calcul.
Să dăm exemple de sisteme numerice non-poziționale. Să ne întoarcem la antichitate. Oamenii aveau nevoie de un cont și au venit cu cea mai simplă invenție - noduri. Sistemul numeric non-pozițional este nodular. Un articol (un sac de orez, un taur, un car de fân etc.) a fost numărat, de exemplu, la cumpărare sau la vânzare și a fost legat un nod pe o sfoară.
Ca urmare, s-au făcut câte noduri pe frânghie câte saci de orez s-au cumpărat (de exemplu). Dar ar putea fi și crestături pe un băț de lemn, pe o lespede de piatră etc. Un astfel de sistem numeric a devenit cunoscut sub numele de nodular. Ea are un al doilea nume - unar sau singur ("uno" în latină înseamnă "unul").
Devine evident că acest sistem de numere nu este pozițional. La urma urmei, despre ce fel de poziții putem vorbi când (poziția) este doar una! În mod ciudat, în unele părți ale Pământului, sistemul numeric unar nepozițional este încă în uz.
De asemenea, sistemele de numere non-poziționale includ:
- Roman (literele sunt folosite pentru a scrie numere - caractere latine);
- egipteanul antic (asemănător cu romanul, au fost folosite și simboluri);
- alfabetice (au fost folosite litere ale alfabetului);
- Babilonian (cuneiform - folosit direct și„pană” inversată);
- greacă (numită și alfabetică).
Sistem cu cifre romane
Vechiul Imperiu Roman, precum și știința sa, au fost foarte progresiste. Romanii au oferit lumii multe invenții utile ale științei și artei, inclusiv sistemul lor de numărare. În urmă cu două sute de ani, cifrele romane erau folosite pentru a desemna sume în documentele de afaceri (astfel s-a evitat contrafacerea).
Numerația romană este un exemplu de sistem numeric non-pozițional, îl știm acum. De asemenea, sistemul roman este utilizat în mod activ, dar nu pentru calcule matematice, ci pentru acțiuni îngust focalizate. De exemplu, cu ajutorul numerelor romane, se obișnuiește să se desemneze date istorice, secole, numere de volume, secțiuni și capitole în publicațiile de carte. Semnele romane sunt adesea folosite pentru a decora cadranele ceasurilor. Și, de asemenea, numerația romană este un exemplu de sistem numeric non-pozițional.
Romanii desemnau numerele cu litere latine. Mai mult, au notat numerele după anumite reguli. Există o listă de simboluri cheie în sistemul numeric roman, cu ajutorul căreia toate numerele au fost scrise fără excepție.
| Număr (zecimal) | Numerele romane (litera alfabetului latin) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Reguli pentru compunerea numerelor
Numărul necesar a fost obținut adunând semne (litere latine) și calculând suma acestora. Să luăm în considerare modul în care semnele sunt scrise simbolic în sistemul roman și cum ar trebui să fie „citite”. Să enumerăm principalele legi ale formării numerelor în sistemul numeric nepozițional roman.
- Numărul patru - IV, este format din două caractere (I, V - unu și cinci). Se obține scăzând semnul mai mic din cel mai mare dacă este la stânga. Când semnul mai mic este situat în dreapta, trebuie să adăugați, apoi obțineți numărul șase - VI.
- Este necesar să adăugați două semne identice unul lângă celăl alt. De exemplu: SS este 200 (C este 100) sau XX este 20.
- Dacă primul semn al unui număr este mai mic decât al doilea, atunci al treilea caracter din acest rând poate fi un caracter a cărui valoare este chiar mai mică decât primul. Pentru a evita confuzia, iată un exemplu: CDX - 410 (în zecimală).
- Unele numere mari pot fi reprezentate în moduri diferite, ceea ce este unul dintre dezavantajele sistemului de numărare roman. Iată câteva exemple: MVM (romană)=1000 + (1000 - 5)=1995 (zecimal) sau MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Și asta nu este tot.
Trucuri aritmetice
Sistemul de numere non-pozițional este uneori un set complex de reguli pentru formarea numerelor, procesarea lor (acțiuni asupra lor). Operațiile aritmetice în sistemele numerice nepoziționale nu sunt ușoarepentru oamenii moderni. Nu-i invidiem pe vechii matematicieni romani!
Exemplu de adăugare. Să încercăm să adăugăm două numere: XIX + XXVI=XXXV, această sarcină se realizează în doi pași:
- Primul - luați și adăugați fracțiile mai mici de numere: IX + VI=XV (I după V și I înainte de X se „distrug” reciproc).
- Secund - adăugați fracții mari din două numere: X + XX=XXX.
Scăderea este ceva mai complicată. Numărul de redus trebuie împărțit în elementele sale constitutive, iar apoi caracterele duplicate să fie reduse în numărul de redus și de scăzut. Scădeți 263 din 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Înmulțirea numerelor romane. Apropo, este necesar de menționat că romanii nu aveau semne ale operațiilor aritmetice, pur și simplu le-au notat cu cuvinte.
Numărul multiplu trebuia înmulțit cu fiecare simbol individual al multiplicatorului, rezultând mai multe produse care trebuiau adăugate. Așa se înmulțesc polinoamele.
În ceea ce privește împărțirea, acest proces în sistemul numeric roman a fost și rămâne cel mai dificil. Vechiul abac roman a fost folosit aici. Pentru a lucra cu el, oamenii au fost special instruiți (și nu fiecare persoană a reușit să stăpânească o astfel de știință).
Despre dezavantajele sistemelor non-poziționale
După cum sa menționat mai sus, sistemele de numere non-poziționale au dezavantajele lor, inconveniente în utilizare. Unar este suficient de simplu pentru o numărare simplă, dar pentru calcule aritmetice și complexe, nu estesuficient de bun.
În roman nu există reguli uniforme pentru formarea numerelor mari și apare confuzie și, de asemenea, este foarte dificil să faci calcule în el. De asemenea, cel mai mare număr pe care romanii antici îl puteau nota cu metoda lor a fost 100.000.
