Pentru a facilita cititorului să-și imagineze ce este un hiperboloid - un obiect tridimensional - trebuie mai întâi să luați în considerare hiperbola curbată cu același nume, care se încadrează într-un spațiu bidimensional.
O hiperbolă are două axe: cea reală, care în această figură coincide cu axa absciselor, și cea imaginară, cu axa y. Dacă începeți mental să întoarceți ecuația unei hiperbole în jurul axei sale imaginare, atunci suprafața „văzută” de curbă va fi un hiperboloid cu o singură foaie.
Dacă, totuși, începem să rotim hiperbola în jurul axei sale reale în acest fel, atunci fiecare dintre cele două „jumătăți” ale curbei își va forma propria suprafață separată și împreună va fi numită două- hiperboloid cu folie.
Obținute prin rotirea curbei plane corespunzătoare, se numesc, respectiv, hiperboloizi de rotație. Au parametri în toate direcțiile perpendiculare pe axa de rotație,aparţinând curbei rotite. În general, acesta nu este cazul.
Ecuația hiperboloidului
În general, o suprafață poate fi definită prin următoarele ecuații în coordonate carteziene (x, y, z):
În cazul unui hiperboloid de revoluție, simetria acestuia față de axa în jurul căreia s-a rotit este exprimată în egalitatea coeficienților a=b.
Caracteristici hiperboloide
El are un truc. Știm că curbele pe un plan au focare - în cazul unei hiperbole, de exemplu, modulul diferenței de distanțe de la un punct arbitrar de pe o hiperbolă la un focar și al doilea este constant prin definiție, de fapt, de focalizare puncte.
La deplasarea în spațiul tridimensional, definiția practic nu se schimbă: focarele sunt din nou două puncte, iar diferența de distanțe de la ele la un punct arbitrar aparținând suprafeței hiperboloide este constantă. După cum puteți vedea, doar a treia coordonată a apărut din modificările pentru toate punctele posibile, deoarece acum sunt setate în spațiu. În general, definirea unui focar echivalează cu identificarea tipului de curbă sau suprafață: vorbind despre cum sunt situate punctele suprafeței în raport cu focarele, răspundem de fapt la întrebarea ce este un hiperboloid și cum arată.
Este demn de amintit că o hiperbolă are asimptote - linii drepte, spre care ramurile sale tind spre infinit. Dacă, la construirea unui hiperboloid de revoluție, se rotește mental asimptotele împreună cu hiperbola, atunci pe lângă hiperboloid, se va obține și un con numit asimptotic. Conul asimptotic estepentru hiperboloizi cu o singură folie și cu două foi.
O altă caracteristică importantă pe care o are doar un hiperboloid cu o singură folie este generatoarele rectilinie. După cum sugerează și numele, acestea sunt linii și se află complet pe o suprafață dată. Două generatoare rectilinii trec prin fiecare punct al unui hiperboloid cu o singură folie. Ele aparțin, respectiv, la două familii de drepte, care sunt descrise de următoarele sisteme de ecuații:
Astfel, un hiperboloid cu o singură foaie poate fi compus în întregime dintr-un număr infinit de linii drepte din două familii, iar fiecare linie a uneia dintre ele se va intersecta cu toate liniile celeil alte. Suprafețele corespunzătoare unor astfel de proprietăți se numesc riglate; ele pot fi construite folosind rotirea unei linii drepte. Definiția prin aranjarea reciprocă a liniilor (generatoare rectilinii) în spațiu poate servi și ca o desemnare clară a ceea ce este un hiperboloid.
Proprietăți interesante ale unui hiperboloid
Curbele de ordinul doi și suprafețele lor de revoluție corespunzătoare au fiecare proprietăți optice interesante asociate focarelor. În cazul unui hiperboloid, acesta este formulat după cum urmează: dacă o rază este declanșată dintr-un focar, atunci, după ce s-a reflectat de la cel mai apropiat „perete”, va lua o astfel de direcție ca și cum ar proveni din al doilea focar.
Hiperboloizi în viață
Cel mai probabil, majoritatea cititorilor și-au început cunoștințele cu geometria analitică și suprafețele de ordinul doi dintr-un roman științifico-fantastic al lui Alexei Tolstoi„Inginerul hiperboloid Garin”. Cu toate acestea, scriitorul însuși fie nu știa bine ce este un hiperboloid, fie a sacrificat acuratețea de dragul talentului artistic: invenția descrisă, în ceea ce privește caracteristicile fizice, este mai degrabă un paraboloid care adună toate razele într-un singur focar (în timp ce proprietățile optice ale hiperboloidului sunt asociate cu împrăștierea razelor).
Așa-numitele structuri hiperboloide sunt foarte populare în arhitectură: acestea sunt structuri care au forma unui hiperboloid cu o singură foaie sau un paraboloid hiperbolic. Cert este că doar aceste suprafețe de revoluție de ordinul doi au generatoare rectilinii: astfel, o structură curbă nu poate fi construită decât din grinzi drepte. Avantajele unor astfel de structuri sunt în capacitatea de a rezista la sarcini grele, de exemplu, de la vânt: forma hiperboloidă este utilizată în construcția de structuri în alte, de exemplu, turnuri de televiziune.
