Triunghiul este una dintre cele mai comune forme geometrice, cu care suntem deja familiarizați în școala elementară. Întrebarea cum să găsiți aria unui triunghi se confruntă de fiecare student la lecțiile de geometrie. Deci, care sunt caracteristicile găsirii zonei unei cifre date care pot fi distinse? În acest articol, vom lua în considerare formulele de bază necesare pentru a îndeplini o astfel de sarcină, precum și vom analiza tipurile de triunghiuri.
Tipuri de triunghiuri
Puteți găsi aria unui triunghi în moduri complet diferite, deoarece în geometrie există mai mult de un tip de figură care conține trei unghiuri. Aceste specii includ:
- Triunghi acut.
- Obt-unghi.
- Echilateral (corect).
- Triunghi drept.
- Isoscel.
Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre tipurile existente de triunghiuri.
Acuttriunghi
O astfel de figură geometrică este considerată cea mai comună în rezolvarea problemelor geometrice. Când devine necesară desenarea unui triunghi arbitrar, această opțiune vine în ajutor.
Într-un triunghi ascuțit, după cum sugerează și numele, toate unghiurile sunt acute și se adună până la 180°.
Triunghi obt-unghi
Acest triunghi este, de asemenea, foarte comun, dar este ceva mai puțin frecvent decât cel cu unghi ascuțit. De exemplu, atunci când rezolvați triunghiuri (adică știți mai multe dintre laturile și unghiurile sale și trebuie să găsiți elementele rămase), uneori trebuie să determinați dacă unghiul este obtuz sau nu. Cosinusul unui unghi obtuz este un număr negativ.
Într-un triunghi obtuz, valoarea unuia dintre unghiuri depășește 90°, astfel că celel alte două unghiuri pot lua valori mici (de exemplu, 15° sau chiar 3°).
Pentru a găsi aria unui triunghi de acest tip, trebuie să cunoașteți câteva nuanțe, despre care vom vorbi mai târziu.
Triunghiuri regulate și isoscele
Un poligon obișnuit este o figură care include n unghiuri și toate laturile și unghiurile sunt egale. Acesta este triunghiul dreptunghic. Deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°, fiecare dintre cele trei unghiuri este de 60°.
Un triunghi regulat, datorită proprietății sale, se mai numește și o figură echilaterală.
De asemenea, merită remarcat faptul că înun triunghi obișnuit poate fi înscris doar cu un cerc și numai un cerc poate fi circumscris în jurul lui, iar centrele lor sunt situate într-un punct.
Pe lângă tipul echilateral, se poate selecta și un triunghi isoscel, care diferă ușor de acesta. Într-un astfel de triunghi, două laturi și două unghiuri sunt egale între ele, iar a treia latură (de care se învecinează unghiuri egale) este baza.
Figura arată un triunghi isoscel DEF, ale cărui unghiuri D și F sunt egale, iar DF este baza.
triunghi drept
Un triunghi dreptunghic este numit astfel deoarece unul dintre unghiurile sale este un unghi drept, adică egal cu 90°. Celel alte două unghiuri se adaugă până la 90°.
Latura cea mai mare a unui astfel de triunghi, situată opus unghiului de 90°, este ipotenuza, în timp ce celel alte două laturi ale sale sunt catetele. Pentru acest tip de triunghiuri se aplică teorema lui Pitagora:
Suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
Figura arată un triunghi dreptunghic BAC cu ipotenuza AC și catetele AB și BC.
Pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi drept, trebuie să cunoașteți valorile numerice ale catetelor sale.
Să trecem la formulele pentru găsirea zonei acestei figuri.
Formulele de bază pentru zone
În geometrie, există două formule care sunt potrivite pentru a găsi aria celor mai multe tipuri de triunghiuri, și anume pentru unghiul ascuțit, unghiul obtuz, regulat șitriunghiuri isoscele. Să analizăm fiecare dintre ele.
După parte și înălțime
Această formulă este universală pentru găsirea ariei figurii pe care o luăm în considerare. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți lungimea laturii și lungimea înălțimii trase pe ea. Formula în sine (jumătate din produsul bazei și al înălțimii) arată astfel:
S=½AH, unde A este latura triunghiului dat și H este înălțimea triunghiului.
De exemplu, pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi ascuțit ACB, trebuie să înmulțiți latura AB cu înălțimea CD și să împărțiți valoarea rezultată la doi.
Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să găsiți aria unui triunghi în acest fel. De exemplu, pentru a utiliza această formulă pentru un triunghi cu unghi obtuz, trebuie să continuați una dintre laturile sale și numai după aceea să trageți o înălțime la el.
În practică, această formulă este folosită mai des decât altele.
Pe două părți și un colț
Această formulă, ca și cea anterioară, este potrivită pentru majoritatea triunghiurilor și, în sensul ei, este o consecință a formulei de găsire a ariei de latura și înălțimea unui triunghi. Adică formula luată în considerare poate fi derivată cu ușurință din cea anterioară. Formularea ei arată astfel:
S=½sinOAB, unde A și B sunt laturile unui triunghi și O este unghiul dintre laturile A și B.
Reamintim că sinusul unui unghi poate fi vizualizat într-un tabel special numit după matematicianul sovietic remarcabil V. M. Bradis.
Și acum să trecem la alte formule,potrivit numai pentru tipuri excepționale de triunghiuri.
Aria unui triunghi dreptunghic
Pe lângă formula universală, care include necesitatea de a desena o înălțime într-un triunghi, aria unui triunghi care conține un unghi drept poate fi găsită după picioarele sale.
Astfel, aria unui triunghi care conține un unghi drept este jumătate din produsul catetelor sale sau:
S=½ab, unde a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic.
Triunghi regulat
Acest tip de figuri geometrice diferă prin faptul că aria sa poate fi găsită cu valoarea specificată doar a uneia dintre laturile sale (deoarece toate laturile unui triunghi obișnuit sunt egale). Deci, după ce ați îndeplinit sarcina de a „găsi aria unui triunghi când laturile sunt egale”, trebuie să utilizați următoarea formulă:
S=A2√3 / 4, unde A este latura unui triunghi echilateral.
Formula lui Heron
Ultima opțiune pentru găsirea ariei unui triunghi este formula lui Heron. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți lungimile celor trei laturi ale figurii. Formula lui Heron arată astfel:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), unde a, b și c sunt laturile acestui triunghi.
Uneori sarcina dată: „aria unui triunghi obișnuit - găsiți lungimea laturii sale”. În acest caz, trebuie să utilizați formula deja cunoscută pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit și să obțineți valoarea laturii (sau pătratului său) din acesta:
A2=4S / √3.
Probleme la examen
În sarcinile GIAExistă multe formule în matematică. În plus, este adesea necesar să găsiți aria unui triunghi pe hârtie în carouri.
În acest caz, cel mai convenabil este să desenați înălțimea pe una dintre laturile figurii, să determinați lungimea acesteia prin celule și să utilizați formula universală pentru găsirea zonei:
S=½AH.
Așadar, după ce ai studiat formulele prezentate în articol, nu vei avea probleme în a găsi aria unui triunghi de orice fel.
