Triunghiul este cea mai simplă figură închisă pe plan, constând din doar trei segmente interconectate. În problemele de geometrie, este adesea necesar să se determine aria acestei figuri. Ce trebuie să știi pentru asta? În articol vom răspunde la întrebarea cum să găsim aria unui triunghi pe trei laturi.
Formula generală
Fiecare elev știe că aria unui triunghi se calculează ca produsul lungimii oricăreia dintre laturile sale - a cu jumătate din înălțime - h, coborâtă la latura aleasă. Mai jos este formula corespunzătoare: S=ah/2.
Această expresie poate fi folosită dacă se cunosc cel puțin două laturi și valoarea unghiului dintre ele. În acest caz, înălțimea h este ușor de calculat folosind funcții trigonometrice, cum ar fi sinusul. Dar nu toată lumea știe cum să găsească aria pe trei laturi ale unui triunghi.
Formula lui Heron
Această formulă este răspunsul la întrebarea cumtrei laturi găsesc aria triunghiului. Înainte de a o scrie, să notăm lungimile segmentelor unei figuri arbitrare ca a, b și c. Formula lui Heron se scrie astfel: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Unde p este jumătatea perimetrului figurii, adică: p=(a+b+c)/2.
În ciuda aparentei greoaie, expresia de mai sus pentru zona S este ușor de reținut. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să calculați semiperimetrul triunghiului, apoi să scădeți din acesta cu o lungime a laturii figurii, să înmulțiți toate diferențele obținute și semiperimetrul în sine. În cele din urmă, luați rădăcina pătrată a produsului.
Această formulă poartă numele lui Heron din Alexandria, care a trăit la începutul erei noastre. Istoria modernă crede că acest filosof a fost primul care a aplicat această expresie pentru a efectua calculele corespunzătoare. Această formulă este publicată în Metrica sa, care datează din anul 60 d. Hr. Rețineți că unele dintre lucrările lui Arhimede, care a trăit cu două secole mai devreme decât Heron, conțin semne că filozoful grec cunoștea deja formula. În plus, chinezii antici știau să găsească aria unui triunghi, cunoscând trei laturi.
Este important de menționat că problema poate fi rezolvată fără a cunoaște existența formulei lui Heron. Pentru a face acest lucru, desenați câteva înălțimi în triunghi și utilizați formula generală din paragraful anterior, compilând sistemul de ecuații corespunzător.
Expresia lui Heron poate fi folosită pentru a calcula ariile poligoanelor arbitrare, după împărțirea lor întriunghiuri și calculând lungimile diagonalelor rezultate.
Exemplu de rezolvare a problemelor
Știind cum să găsim aria unui triunghi pe trei laturi, să ne consolidăm cunoștințele prin rezolvarea următoarei probleme. Lăsați laturile figurii să fie de 5 cm, 4 cm și 3 cm. Aflați aria.
Trei laturi ale unui triunghi sunt cunoscute, așa că puteți folosi formula lui Heron. Calculăm semiperimetrul și diferențele necesare, avem:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Atunci obținem aria: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Triunghiul dat în condiția problemei este dreptunghic, ceea ce este ușor de verificat dacă folosești teorema lui Pitagora. Deoarece aria unui astfel de triunghi este jumătate din produsul catetelor, obținem: S=43/2=6 cm2.
Valoarea rezultată este aceeași ca și pentru formula lui Heron, care confirmă validitatea acesteia din urmă.
