Chiar și la școală, toți elevii se familiarizează cu conceptul de „geometrie euclidiană”, ale cărui principale prevederi sunt concentrate în jurul mai multor axiome bazate pe elemente geometrice precum punct, plan, linie, mișcare. Toate împreună formează ceea ce a fost cunoscut de mult sub termenul „spațiu euclidian”.
Spațiul euclidian, a cărui definiție se bazează pe conceptul de multiplicare scalară a vectorilor, este un caz special de spațiu liniar (afin) care satisface o serie de cerințe. În primul rând, produsul scalar al vectorilor este absolut simetric, adică vectorul cu coordonatele (x;y) este identic cantitativ cu vectorul cu coordonatele (y;x), dar opus ca direcție.
În al doilea rând, dacă se realizează produsul scalar al unui vector cu el însuși, atunci rezultatul acestei acțiuni va fi pozitiv. Singura excepție va fi cazul în care coordonatele inițiale și finale ale acestui vector sunt egale cu zero: în acest caz, produsul său cu el însuși va fi, de asemenea, egal cu zero.
În al treilea rând, produsul scalar este distributiv, adică este posibil să se descompună una dintre coordonatele sale în suma a două valori, ceea ce nu va implica nicio modificare a rezultatului final al înmulțirii scalare a vectorilor. În cele din urmă, în al patrulea rând, atunci când vectorii sunt înmulțiți cu același număr real, produsul lor scalar va crește, de asemenea, cu același factor.
Dacă toate aceste patru condiții sunt îndeplinite, putem spune cu încredere că avem un spațiu euclidian.
Spațiul euclidian din punct de vedere practic poate fi caracterizat prin următoarele exemple specifice:
- Cel mai simplu caz este prezența unui set de vectori cu un produs scalar definit conform legilor de bază ale geometriei.
- Spațiul euclidian se va obține și dacă prin vectori înțelegem un anumit set finit de numere reale cu o formulă dată care descrie suma sau produsul lor scalar.
- Un caz special de spațiu euclidian este așa-numitul spațiu zero, care se obține dacă lungimea scalară a ambilor vectori este egală cu zero.
Spațiul euclidian are o serie de proprietăți specifice. În primul rând, factorul scalar poate fi scos din paranteze atât din primul, cât și din cel de-al doilea factor al produsului scalar, rezultatul din acesta nu se va schimba în niciun fel. În al doilea rând, împreună cu distributivitatea primului element al scalaruluiprodus, acționează și distributivitatea celui de-al doilea element. În plus, pe lângă suma scalară a vectorilor, distributivitatea are loc și în cazul scăderii vectoriale. În cele din urmă, în al treilea rând, atunci când un vector este înmulțit scalar cu zero, rezultatul va fi și zero.
Astfel, spațiul euclidian este cel mai important concept geometric folosit în rezolvarea problemelor cu aranjarea reciprocă a vectorilor unul față de celăl alt, care se caracterizează printr-un astfel de concept precum produsul scalar.
