Un obiect geometric important care este studiat în spațiu plat este o linie dreaptă. În spațiul tridimensional, pe lângă linia dreaptă, există și un plan. Ambele obiecte sunt definite convenabil folosind vectori de direcție. Ce este, cum sunt folosiți acești vectori pentru a determina ecuațiile unei linii drepte și ale unui plan? Acestea și alte întrebări sunt tratate în articol.
Linie directă și cum o definiți
Fiecare elev are o idee bună despre ce obiect geometric vorbește. Din punctul de vedere al matematicii, o linie dreaptă este o mulțime de puncte, care, în cazul conexiunii lor arbitrare în perechi, conduc la o mulțime de vectori paraleli. Această definiție a unei linii este folosită pentru a scrie o ecuație pentru aceasta atât în două, cât și în trei dimensiuni.
Pentru a descrie obiectul unidimensional considerat, sunt folosite diferite tipuri de ecuații, care sunt enumerate în lista de mai jos:
- vizualizare generală;
- parametric;
- vector;
- canonică sau simetrică;
- în segmente.
Fiecare dintre aceste specii are unele avantaje față de celel alte. De exemplu, o ecuație în segmente este convenabilă de utilizat atunci când se studiază comportamentul unei linii drepte în raport cu axele de coordonate, o ecuație generală este convenabilă atunci când se găsește o direcție perpendiculară pe o dreaptă dată, precum și când se calculează unghiul acesteia. intersecție cu axa x (pentru un caz plat).
Deoarece subiectul acestui articol este legat de vectorul de direcție al unei linii drepte, vom lua în considerare în continuare doar ecuația în care acest vector este fundamental și este conținut în mod explicit, adică o expresie vectorială.
Specificarea unei linii drepte printr-un vector
Să presupunem că avem un vector v¯ cu coordonate cunoscute (a; b; c). Deoarece există trei coordonate, vectorul este dat în spațiu. Cum să-l descriem într-un sistem de coordonate dreptunghiular? Acest lucru se face foarte simplu: pe fiecare dintre cele trei axe este trasat un segment, a cărui lungime este egală cu coordonata corespunzătoare a vectorului. Punctul de intersecție al celor trei perpendiculare restaurate pe planurile xy, yz și xz va fi sfârșitul vectorului. Începutul său este punctul (0; 0; 0).
Cu toate acestea, poziția dată a vectorului nu este singura. În mod similar, se poate desena v¯ plasându-i originea într-un punct arbitrar din spațiu. Aceste argumente spun că este imposibil să se stabilească o linie specifică folosind un vector. Acesta definește o familie de un număr infinit de linii paralele.
Acumremediați un punct P(x0; y0; z0) de spațiu. Și punem condiția: o linie dreaptă trebuie să treacă prin P. În acest caz, vectorul v¯ trebuie să conţină şi acest punct. Ultimul fapt înseamnă că o singură linie poate fi definită folosind P și v¯. Se va scrie ca următoarea ecuație:
Q=P + λ × v¯
Aici Q este orice punct aparținând dreptei. Acest punct poate fi obținut prin alegerea parametrului corespunzător λ. Ecuația scrisă se numește ecuație vectorială, iar v¯ se numește vectorul de direcție al dreptei. Aranjandu-l astfel incat sa treaca prin P si schimbandu-i lungimea cu parametrul λ, obtinem fiecare punct al lui Q ca o dreapta.
În formă de coordonate, ecuația va fi scrisă după cum urmează:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Și în formă explicită (parametrică), puteți scrie:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Dacă excludem a treia coordonată din expresiile de mai sus, atunci obținem ecuațiile vectoriale ale dreptei pe plan.
Pentru ce sarcini este util să cunoaștem vectorul de direcție ?
De regulă, acestea sunt sarcini pentru a determina paralelismul și perpendicularitatea dreptelor. De asemenea, vectorul direct care determină direcția este folosit la calcularea distanței dintre linii drepte și un punct și o dreaptă, pentru a descrie comportamentul unei drepte în raport cu un plan.
Doiliniile vor fi paralele dacă vectorii lor de direcție sunt. În consecință, perpendicularitatea dreptelor este demonstrată folosind perpendicularitatea vectorilor lor. În aceste tipuri de probleme, este suficient să calculați produsul scalar al vectorilor considerați pentru a obține răspunsul.
În cazul sarcinilor pentru calcularea distanțelor dintre linii și puncte, vectorul direcție este inclus în mod explicit în formula corespunzătoare. Să-l notăm:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Aici P1P2¯ - construit pe punctele P1 și P 2 segment direcționat. Punctul P2 este arbitrar, situat pe linia cu vectorul v¯, în timp ce punctul P1 este cel până la care distanța ar trebui fi determinat. Poate fi independent sau aparține unei alte linii sau plan.
Rețineți că este logic să calculați distanța dintre linii numai atunci când acestea sunt paralele sau se intersectează. Dacă se intersectează, atunci d este zero.
Formula de mai sus pentru d este valabilă și pentru calcularea distanței dintre un plan și o dreaptă paralelă cu acesta, doar că în acest caz P1 ar trebui să aparțină planului.
Să rezolvăm mai multe probleme pentru a arăta mai bine cum să folosiți vectorul considerat.
Problema ecuației vectoriale
Se știe că o linie dreaptă este descrisă de următoarea ecuație:
y=3 × x - 4
Ar trebui să scrieți expresia potrivită înformă vectorială.
Aceasta este o ecuație tipică a unei linii drepte, cunoscută de fiecare școlar, scrisă în formă generală. Să arătăm cum să-l rescriem în formă vectorială.
Expresia poate fi reprezentată ca:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Se poate vedea că dacă îl deschideți, obțineți egalitatea inițială. Acum împărțim partea dreaptă în doi vectori, astfel încât doar unul dintre ei să conțină x, avem:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Rămâne să scoateți x dintre paranteze, să îl desemnați cu un simbol grecesc și să schimbați vectorii din partea dreaptă:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Avem forma vectorială a expresiei originale. Coordonatele vectorului de direcție ale dreptei sunt (1; 3).
Sarcina de a determina poziția relativă a liniilor
Două linii sunt date în spațiu:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Sunt paralele, se încrucișează sau se intersectează?
Vectorii non-zero (-1; 3; 1) și (1; 2; 0) vor fi ghiduri pentru aceste linii. Să exprimăm aceste ecuații în formă parametrică și să înlocuim coordonatele primei în a doua. Primim:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Înlocuiți parametrul găsit λ în cele două ecuații de mai sus, obținem:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parametrul γ nu poate lua două valori diferite în același timp. Aceasta înseamnă că liniile nu au un singur punct comun, adică se intersectează. Nu sunt paraleli, deoarece vectorii nenuli nu sunt paraleli între ei (pentru paralelismul lor, trebuie să existe un număr care, înmulțind cu un vector, ar duce la coordonatele celui de-al doilea).
Descrierea matematică a avionului
Pentru a stabili un plan în spațiu, dăm o ecuație generală:
A × x + B × y + C × z + D=0
Aici literele majuscule latine reprezintă anumite numere. Primele trei dintre ele definesc coordonatele vectorului normal al planului. Dacă este notat cu n¯, atunci:
n¯=(A; B; C)
Acest vector este perpendicular pe plan, deci se numește ghid. Cunoașterea acestuia, precum și coordonatele cunoscute ale oricărui punct aparținând planului, îl determină în mod unic pe acesta din urmă.
Dacă punctul P(x1; y1; z1) aparține planul, apoi interceptarea D se calculează după cum urmează:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Să rezolvăm câteva probleme folosind ecuația generală a planului.
Sarcina pentrugăsirea vectorului normal al planului
Avionul este definit după cum urmează:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Cum să găsești un vector de direcție pentru ea?
Din teoria de mai sus rezultă că coordonatele vectorului normal n¯ sunt coeficienții din fața variabilelor. În acest sens, pentru a găsi n¯, ecuația trebuie scrisă în formă generală. Avem:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Atunci vectorul normal al avionului este:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problema întocmirii ecuației planului
Coordonatele celor trei puncte sunt date:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Cum va arăta ecuația planului care conține toate aceste puncte.
Prin trei puncte care nu aparțin aceleiași drepte, poate fi trasat un singur plan. Pentru a-i găsi ecuația, mai întâi calculăm vectorul de direcție al planului n¯. Pentru a face acest lucru, procedăm după cum urmează: găsim doi vectori arbitrari aparținând planului și calculăm produsul vectorial al acestora. Va da un vector care va fi perpendicular pe acest plan, adică n¯. Avem:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Ia punctul M1 pentru a trageexpresii plane. Primim:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Am obținut o expresie de tip general pentru un plan în spațiu definind mai întâi un vector de direcție pentru acesta.
Proprietatea produsului încrucișat trebuie reținută atunci când rezolvați probleme cu planuri, deoarece vă permite să determinați coordonatele unui vector normal într-un mod simplu.
