Polinom, sau polinom - una dintre structurile algebrice de bază, care se găsește în școală și matematică superioară. Studiul unui polinom este subiectul cel mai important dintr-un curs de algebră, deoarece, pe de o parte, polinoamele sunt destul de simple în comparație cu alte tipuri de funcții și, pe de altă parte, sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor de analiză matematică.. Deci, ce este un polinom?
Definiție
Definiția termenului de polinom poate fi dată prin conceptul de monom sau monom.
Un monom este o expresie a formei cx1i1x2 i2 …x în. Aici с este o constantă, x1, x2, … x - variabile, i1, i2, … în - exponenții variabilelor. Atunci un polinom este orice sumă finită de monomii.
Pentru a înțelege ce este un polinom, puteți consulta exemple specifice.
Trinomul pătrat, discutat în detaliu la cursul de matematică de clasa a VIII-a, este un polinom: ax2+bx+c.
Un polinom cu două variabile ar putea arăta astfel: x2-xy+y2. Astfel deun polinom se mai numește și pătrat incomplet al diferenței dintre x și y.
Clasificări polinomiale
Grad polinom
Pentru fiecare monom din polinom, găsiți suma exponenților i1+i2+…+in. Cea mai mare dintre sume se numește exponentul polinomului, iar monomiul corespunzător acestei sume se numește termenul cel mai în alt.
Apropo, orice constantă poate fi considerată un polinom de grad zero.
Polinoame reduse și nereduse
Dacă coeficientul c este egal cu 1 pentru termenul cel mai în alt, atunci polinomul este dat, altfel nu este.
De exemplu, expresia x2+2x+1 este un polinom redus, iar 2x2+2x+1 nu este redus.
Polinoame omogene și neomogene
Dacă gradele tuturor membrilor unui polinom sunt egale, atunci spunem că un astfel de polinom este omogen. Toate celel alte polinoame sunt considerate neomogene.
polinoame omogene: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Eterogene: x+1, x2+y.
Există nume speciale pentru un polinom de doi și trei termeni: binom și, respectiv, trinom.
Polonoamele unei variabile sunt alocate într-o categorie separată.
Aplicarea unui polinom al unei variabile
Polinoamele unei variabile aproximează funcții bine continue de complexitate diferită dintr-un singur argument.
Faptul este că astfel de polinoame pot fi considerate sume parțiale ale unei serii de puteri, iar o funcție continuă poate fi reprezentată ca o serie cu o eroare arbitrar de mică. Seriile de expansiune ale unei funcții se numesc serii Taylor și ale acestorasume parțiale sub formă de polinoame - polinoame Taylor.
Studiarea grafică a comportamentului unei funcții prin aproximarea acesteia cu un polinom este adesea mai ușoară decât investigarea aceleiași funcții direct sau folosind o serie.
Este ușor să cauți derivate ale polinoamelor. Pentru a găsi rădăcinile polinoamelor de gradul 4 și mai jos, există formule gata făcute, iar pentru lucrul cu grade mai mari, se folosesc algoritmi aproximativi de în altă precizie.
Există și o generalizare a polinoamelor descrise pentru funcții ale mai multor variabile.
binomul lui Newton
Polinoamele celebre sunt polinoamele lui Newton, derivate de oamenii de știință pentru a găsi coeficienții expresiei (x + y).
Este suficient să ne uităm la primele puteri ale descompunerii binomului pentru a vă asigura că formula nu este banală:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Pentru fiecare coeficient există o expresie care vă permite să îl calculați. Cu toate acestea, memorarea formulelor greoaie și efectuarea operațiilor aritmetice necesare de fiecare dată ar fi extrem de incomod pentru acei matematicieni care au adesea nevoie de astfel de expansiuni. Triunghiul lui Pascal le-a făcut viața mult mai ușoară.
Figura este construită după următorul principiu. În partea de sus a triunghiului se scrie 1, iar în fiecare linie următoare devine încă o cifră, la margini se pune 1, iar mijlocul liniei se umple cu sumele a două numere adiacente de la precedentul.
Când te uiți la ilustrație, totul devine clar.
Desigur, utilizarea polinoamelor în matematică nu se limitează la exemplele date, cele mai cunoscute.
