Inegalități și sisteme de inegalități este una dintre subiectele care se predă în algebra de liceu. În ceea ce privește dificultatea, nu este cea mai dificilă, pentru că are reguli simple (despre ele puțin mai târziu). De regulă, școlarii învață soluția sistemelor de inegalități destul de ușor. Acest lucru se datorează și faptului că profesorii pur și simplu își „antrenează” elevii pe această temă. Și nu pot decât să facă acest lucru, pentru că este studiat în viitor cu utilizarea altor cantități matematice și este verificat și pentru OGE și Examenul de stat unificat. În manualele școlare, subiectul inegalităților și sistemelor de inegalități este tratat în detaliu, așa că dacă urmează să o studiezi, atunci cel mai bine este să apelezi la ele. Acest articol este doar o parafrazare a multor materiale și poate conține unele omisiuni.
Conceptul unui sistem de inegalități
Dacă ne întoarcem la limbajul științific, putem defini conceptul de „sisteminegalități". Acesta este un astfel de model matematic care reprezintă mai multe inegalități. Desigur, acest model necesită o soluție și va fi răspunsul general pentru toate inegalitățile sistemului propus în sarcină (de obicei se scrie așa, pt. exemplu: "Rezolvați sistemul de inegalități 4 x + 1 > 2 și 30 - x > 6… ").
Sisteme de inegalități și sisteme de ecuații
În procesul de învățare a unui subiect nou, apar adesea neînțelegeri. Pe de o parte, totul este clar și aș prefera să încep să rezolv sarcini, dar, pe de altă parte, unele momente rămân în „umbră”, nu sunt bine înțelese. De asemenea, unele elemente ale cunoștințelor deja dobândite pot fi împletite cu altele noi. Greșelile apar adesea ca urmare a acestei suprapuneri.
De aceea, înainte de a trece la analiza subiectului nostru, ar trebui să ne amintim diferențele dintre ecuații și inegalități, sistemele lor. Pentru a face acest lucru, este necesar să clarificăm încă o dată care sunt aceste concepte matematice. O ecuație este întotdeauna o egalitate și este întotdeauna egală cu ceva (în matematică, acest cuvânt este notat cu semnul „= ). Inegalitatea este un model în care o valoare este fie mai mare, fie mai mică decât alta, sau conține afirmația că nu sunt la fel. Astfel, în primul caz, se cuvine să vorbim de egalitate, iar în al doilea, oricât de evident ar suna dinnumele în sine, despre inegalitatea datelor inițiale. Sistemele de ecuații și inegalități practic nu diferă unele de altele, iar metodele de rezolvare a acestora sunt aceleași. Singura diferență este că primul folosește egalități, în timp ce al doilea folosește inegalități.
Tipuri de inegalități
Există două tipuri de inegalități: numerice și cu o variabilă necunoscută. Primul tip este furnizat de valori (numere) care nu sunt egale între ele, de exemplu, 8 > 10. Al doilea tip este inegalitățile care conțin o variabilă necunoscută (indicată de o literă a alfabetului latin, cel mai adesea X). Această variabilă trebuie găsită. În funcție de câte sunt, modelul matematic distinge între inegalități cu una (alcătuiesc un sistem de inegalități cu o variabilă) sau mai multe variabile (alcătuiesc un sistem de inegalități cu mai multe variabile).
Ultimele două tipuri, în funcție de gradul de construcție și de nivelul de complexitate al soluției, se împart în simple și complexe. Cele simple sunt numite și inegalități liniare. Ele, la rândul lor, sunt împărțite în stricte și non-strictive. Strict în mod specific „spuneți” că o valoare trebuie să fie fie mai mică, fie mai mare, deci aceasta este o inegalitate pură. Există mai multe exemple: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 etc. Cele non-strictive includ și egalitatea. Adică, o valoare poate fi mai mare sau egală cu o altă valoare (semnul „≧”) sau mai mică sau egală cu o altă valoare (semnul „≦”). Încă la rândÎn inegalități, variabila nu stă la rădăcină, pătrat, nu este divizibil cu nimic, motiv pentru care sunt numite „simple”. Cele complexe includ variabile necunoscute, a căror constatare necesită mai multe operații matematice. Ele sunt adesea într-un pătrat, cub sau sub rădăcină, pot fi modulare, logaritmice, fracționale etc. Dar din moment ce sarcina noastră este să înțelegem soluția sistemelor de inegalități, vom vorbi despre un sistem de inegalități liniare. Cu toate acestea, înainte de asta, ar trebui spuse câteva cuvinte despre proprietățile lor.
Proprietăți ale inegalităților
Proprietățile inegalităților includ următoarele prevederi:
- Semnul de inegalitate este inversat dacă se aplică operația de modificare a secvenței laturilor (de exemplu, dacă t1 ≦ t2, apoi t 2 ≧ t1).
- Ambele părți ale inegalității vă permit să adăugați același număr la dvs. (de exemplu, dacă t1 ≦ t2, apoi t 1 + număr ≦ t2 + număr).
- Două sau mai multe inegalități cu semnul aceleiași direcții vă permit să adăugați părțile lor din stânga și din dreapta (de exemplu, dacă t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, apoi t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Ambele părți ale inegalității permit să fie înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv (de exemplu, dacă t1 ≦ t2și numărul ≦ 0, apoi numărul t1 ≧ numărul t2).
- Două sau mai multe inegalități care au termeni pozitivi și un semn de aceeași direcție permitînmulțiți reciproc (de exemplu, dacă t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 apoi t1 t3 ≦ t2 t4).
- Ambele părți ale inegalității permit să fie înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, dar semnul inegalității se modifică (de exemplu, dacă t1 ≦ t2 și numărul ≦ 0, apoi numărul t1 ≧ numărul t2).
- Toate inegalitățile sunt tranzitive (de exemplu, dacă t1 ≦ t2 și t2≦ t3, apoi t1 ≦ t3).
Acum, după ce am studiat principalele prevederi ale teoriei legate de inegalități, putem trece direct la luarea în considerare a regulilor de rezolvare a sistemelor acestora.
Rezolvarea sistemelor de inegalități. Informatii generale. Soluții
După cum sa menționat mai sus, soluția o reprezintă valorile variabilei care se potrivesc tuturor inegalităților sistemului dat. Rezolvarea sistemelor de inegalități este implementarea unor operații matematice care conduc în cele din urmă la rezolvarea întregului sistem sau dovedesc că acesta nu are soluții. În acest caz, se spune că variabila se referă la setul de numere gol (scris după cum urmează: litera care denotă variabila ∈ (semnul „aparține”) ø (semnul „mulțime goală”), de exemplu, x ∈ ø (se citește astfel: „Variabila „x” aparține mulțimii goale”). Există mai multe modalități de rezolvare a sistemelor de inegalități:metoda grafică, algebrică, de substituție. Este de remarcat faptul că se referă la acele modele matematice care au mai multe variabile necunoscute. În cazul în care există doar unul, metoda de spațiere va funcționa.
Metoda grafică
Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități cu mai multe necunoscute (din două sau mai multe). Datorită acestei metode, sistemul de inegalități liniare se rezolvă destul de ușor și rapid, deci este cea mai comună metodă. Acest lucru se datorează faptului că trasarea reduce cantitatea de scriere a operațiilor matematice. Devine deosebit de plăcut să luați o mică pauză de la stilou, să luați un creion cu o riglă și să continuați cu acțiunile ulterioare cu ajutorul lor atunci când s-a făcut multă muncă și doriți puțină varietate. Cu toate acestea, unora nu le place această metodă din cauza faptului că trebuie să te desprinzi de sarcină și să treci activitatea mentală la desen. Cu toate acestea, este o modalitate foarte eficientă.
Pentru a rezolva un sistem de inegalități folosind o metodă grafică, este necesar să transferați toți membrii fiecărei inegalități în partea stângă. Semnele vor fi inversate, zero trebuie scris în dreapta, apoi fiecare inegalitate trebuie scrisă separat. Ca rezultat, funcțiile vor fi obținute din inegalități. După aceea, puteți obține un creion și o riglă: acum trebuie să desenați un grafic al fiecărei funcții obținute. Întregul set de numere care se vor afla în intervalul intersecției lor va fi soluția sistemului de inegalități.
Mod algebric
Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități cu două variabile necunoscute. De asemenea, inegalitățile trebuie să aibă același semn de inegalitate (adică trebuie să conțină fie doar semnul „mai mare decât”, fie doar semnul „mai puțin decât” etc.) În ciuda limitărilor sale, această metodă este și mai complicată. Se aplică în doi pași.
Prima presupune eliminarea uneia dintre variabilele necunoscute. Mai întâi trebuie să îl selectați, apoi să verificați prezența numerelor în fața acestei variabile. Dacă nu există niciuna (atunci variabila va arăta ca o singură literă), atunci nu schimbăm nimic, dacă există (tipul variabilei va fi, de exemplu, 5y sau 12y), atunci este necesar să ne asigurăm că în fiecare inegalitate numărul din faţa variabilei selectate este acelaşi. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare membru al inegalităților cu un factor comun, de exemplu, dacă 3y este scris în prima inegalitate și 5y în a doua, atunci trebuie să înmulțiți toți membrii primei inegalități cu 5., iar al doilea cu 3. Primești 15 ani și, respectiv, 15 ani.
A doua etapă a deciziei. Este necesar să transferați partea stângă a fiecărei inegalități în laturile lor drepte cu o schimbare a semnului fiecărui termen la opus, scrieți zero în dreapta. Apoi urmează partea distractivă: a scăpa de variabila aleasă (altfel cunoscută sub numele de „reducere”) în timp ce adunăm inegalitățile. Veți obține o inegalitate cu o variabilă care trebuie rezolvată. După aceea, ar trebui să faceți același lucru, doar cu o altă variabilă necunoscută. Rezultatele obținute vor fi soluția sistemului.
Metoda de înlocuire
Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități atunci când aveți ocazia să introduceți o nouă variabilă. De obicei, această metodă este utilizată atunci când variabila necunoscută dintr-un termen al inegalității este ridicată la a patra putere, iar în celăl alt termen este la pătrat. Astfel, această metodă are ca scop reducerea gradului de inegalități din sistem. Inegalitatea eșantionului x4 - x2 - 1 ≦ 0 se rezolvă astfel, după cum urmează. Este introdusă o nouă variabilă, de exemplu t. Ei scriu: „Let t=x2”, apoi modelul este rescris într-o formă nouă. În cazul nostru, obținem t2 - t - 1 ≦0. Această inegalitate trebuie rezolvată prin metoda intervalului (despre asta puțin mai târziu), apoi reveniți la variabila X, apoi faceți același lucru cu o altă inegalitate. Răspunsurile primite vor fi decizia sistemului.
Metoda intervalului
Acesta este cel mai simplu mod de a rezolva sistemele de inegalități și, în același timp, este universal și răspândit. Este folosit în liceu, și chiar în liceu. Esența sa constă în faptul că elevul caută intervale de inegalitate pe linia numerică, care este desenată într-un caiet (acesta nu este un grafic, ci doar o dreaptă obișnuită cu numere). Acolo unde intervalele de inegalități se intersectează, se găsește soluția sistemului. Pentru a utiliza metoda de spațiere, urmați acești pași:
- Toți membrii fiecărei inegalități sunt transferați în partea stângă cu o schimbare a semnului spre opus (zero este scris în dreapta).
- Inegalitățile sunt scrise separat, soluția fiecăreia dintre ele este determinată.
- Intersecțiile inegalităților pe numereleDrept. Toate numerele de la aceste intersecții vor fi soluția.
Ce mod de a folosi?
Evident, cea care pare cea mai ușoară și mai convenabilă, dar există momente când sarcinile necesită o anumită metodă. Cel mai adesea, ei spun că trebuie să rezolvați fie folosind un grafic, fie folosind metoda intervalului. Metoda algebrică și substituția sunt folosite extrem de rar sau deloc, deoarece sunt destul de complexe și confuze și, în plus, sunt mai folosite pentru rezolvarea sistemelor de ecuații decât a inegalităților, așa că ar trebui să apelați la desenarea graficelor și a intervalelor. Ele aduc vizibilitate, care nu poate decât să contribuie la desfășurarea eficientă și rapidă a operațiilor matematice.
Dacă ceva nu funcționează
În timpul studiului unui anumit subiect în algebră, desigur, pot exista probleme cu înțelegerea lui. Și acest lucru este normal, deoarece creierul nostru este proiectat în așa fel încât să nu fie capabil să înțeleagă material complex dintr-o singură mișcare. Adesea trebuie să recitiți un paragraf, să luați ajutorul unui profesor sau să exersați rezolvarea problemelor tipice. În cazul nostru, ele arată, de exemplu, așa: „Rezolvați sistemul de inegalități 3 x + 1 ≧ 0 și 2 x - 1 > 3”. Astfel, eforturile personale, ajutorul din afară și practica ajută la înțelegerea oricărui subiect complex.
Reshebnik?
Și cartea cu soluții este, de asemenea, foarte bună, dar nu pentru a înșela temele, ci pentru autoajutorare. În ele puteți găsi sisteme de inegalități cu o soluție, uitați-vă laele (cum ar fi șabloanele), încercați să înțelegeți exact cum autorul soluției a făcut față sarcinii și apoi încercați să o faceți singur.
Concluzii
Algebra este una dintre cele mai grele materii din școală. Ei bine, ce poți face? Matematica a fost întotdeauna așa: pentru unii vine ușor, iar pentru alții este dificil. Dar, în orice caz, trebuie amintit că programul de educație generală este conceput în așa fel încât orice student să îi poată face față. În plus, trebuie să aveți în vedere un număr mare de asistenți. Unele dintre ele au fost menționate mai sus.
