Ce sunt numerele iraționale? De ce se numesc asa? Unde se folosesc si ce sunt? Puțini pot răspunde la aceste întrebări fără ezitare. Dar, de fapt, răspunsurile la ele sunt destul de simple, deși nu toată lumea are nevoie de ele și în situații foarte rare
Esența și denumirea
Numerele iraționale sunt fracții zecimale neperiodice infinite. Necesitatea introducerii acestui concept se datorează faptului că conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întregi, naturale și raționale nu mai erau suficiente pentru a rezolva noi probleme apărute. De exemplu, pentru a calcula care este pătratul lui 2, trebuie să utilizați zecimale infinite nerecurente. În plus, multe dintre cele mai simple ecuații nu au nicio soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.
Această mulțime este notă I. Și, așa cum este deja clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, în numărătorul căreia va fi un număr întreg, iar la numitor - un număr natural.
Pentru prima dată altfel, matematicienii indieni au întâlnit acest fenomen în secolul al VII-lea î. Hr., când s-a descoperit că rădăcinile pătrate ale unor cantități nu puteau fi indicate în mod explicit. Și prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită lui Hippasus pitagoreian, care a făcut acest lucru în procesul de studiu a unui triunghi dreptunghic isoscel. O contribuție serioasă la studiul acestui set a fost adusă de alți oameni de știință care au trăit înaintea erei noastre. Introducerea conceptului de numere iraționale a presupus o revizuire a sistemului matematic existent, motiv pentru care sunt atât de importante.
Originea numelui
Dacă raport în latină înseamnă „fracție”, „raport”, atunci prefixul „ir”
dă acestui cuvânt sensul opus. Astfel, denumirea mulțimii acestor numere indică faptul că ele nu pot fi corelate cu un număr întreg sau fracționar, ele au un loc separat. Acest lucru rezultă din esența lor.
Locul în clasamentul general
Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale, aparțin grupului numerelor reale sau reale, care la rândul lor aparțin numerelor complexe. Nu există submulțimi, totuși, există varietăți algebrice și transcendentale, care vor fi discutate mai jos.
Proprietăți
Deoarece numerele iraționale fac parte din mulțimea numerelor reale, li se aplică toate proprietățile lor care sunt studiate în aritmetică (se mai numesc și legi algebrice de bază).
a + b=b + a (comutativitate);
(a + b) + c=a + (b + c)(asociativitate);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (existența numărului opus);
ab=ba (legea deplasării);
(ab)c=a(bc) (distributivitate);
a(b+c)=ab + ac (legea distributivă);
a x 1=a
a x 1/a=1 (existența unui număr invers);
Comparația este, de asemenea, efectuată în conformitate cu legile și principiile generale:
Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitatea raportului) și. etc.
Desigur, toate numerele iraționale pot fi convertite folosind aritmetica de bază. Nu există reguli speciale pentru aceasta.
În plus, axioma lui Arhimede se aplică numerelor iraționale. Se spune că pentru oricare două mărimi a și b, afirmația este adevărată că, luând a ca termen de destule ori, poți depăși b.
Folosiți
În ciuda faptului că în viața obișnuită nu trebuie de multe ori să te confrunți cu ele, numerele iraționale nu pot fi numărate. Sunt multe, dar sunt aproape invizibile. Suntem înconjurați de numere iraționale peste tot. Exemple familiare tuturor sunt numărul pi, egal cu 3, 1415926 …, sau e, care este în esență baza logaritmului natural, 2, 718281828 … În algebră, trigonometrie și geometrie, acestea trebuie utilizate constant. Apropo, faimoasa valoare a „secțiunii de aur”, adică raportul dintre partea mai mare și cea mai mică, și invers, este de asemenea
aparține acestui set. Mai puțin cunoscut „argint” - de asemenea.
Sunt amplasate foarte dens pe linia numerică, astfel încât între oricare două valori legate de setul celor raționale, cu siguranță va apărea una irațională.
Există încă o mulțime de probleme nerezolvate legate de acest set. Există criterii precum măsura iraționalității și normalitatea unui număr. Matematicienii continuă să examineze cele mai semnificative exemple pentru apartenența lor la un grup sau altul. De exemplu, se crede că e este un număr normal, adică probabilitatea ca diferite cifre să apară în înregistrarea sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt încă în desfășurare cu privire la acesta. O măsură a iraționalității se mai numește și o valoare care arată cât de bine poate fi aproximat un număr sau altul prin numere raționale.
Algebric și transcendental
După cum sa menționat deja, numerele iraționale sunt împărțite condiționat în algebrice și transcendentale. Condițional, deoarece, strict vorbind, această clasificare este folosită pentru a împărți mulțimea C.
Această denumire ascunde numere complexe, care includ numere reale sau reale.
Deci, o valoare algebrică este o valoare care este o rădăcină a unui polinom care nu este identic egal cu zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 ar fi în această categorie, deoarece este soluția ecuației x2 - 2=0.
Toate celel alte numere reale care nu îndeplinesc această condiție se numesc transcendentale. La această varietateinclude cele mai faimoase și deja menționate exemple - numărul pi și baza logaritmului natural e.
În mod interesant, nici unul, nici al doilea nu a fost inițial dedus de matematicieni în această calitate, iraționalitatea și transcendența lor au fost dovedite la mulți ani după descoperirea lor. Pentru pi, dovada a fost dată în 1882 și simplificată în 1894, ceea ce a pus capăt controversei de 2.500 de ani despre problema pătrarii cercului. Încă nu este pe deplin înțeles, așa că matematicienii moderni au la ce să lucreze. Apropo, primul calcul suficient de precis al acestei valori a fost efectuat de Arhimede. Înaintea lui, toate calculele erau prea aproximative.
Pentru e (numerele Euler sau Napier), dovada transcendenței sale a fost găsită în 1873. Este folosit pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice.
Alte exemple includ valori sinus, cosinus și tangente pentru orice valoare algebrică diferită de zero.
