Seria Maclaurin și extinderea unor funcții

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2023-12-17 05:39

Studenții de matematică superioară ar trebui să fie conștienți de faptul că suma unor serii de puteri aparținând intervalului de convergență al seriei date se dovedește a fi un număr continuu și nelimitat de ori funcție diferențiată. Se pune întrebarea: este posibil să se afirme că o funcție arbitrară dată f(x) este suma unor serii de puteri? Adică, în ce condiții poate fi reprezentată funcția f(x) printr-o serie de puteri? Importanța acestei întrebări constă în faptul că este posibil să înlocuim aproximativ funcția f(x) cu suma primilor termeni ai seriei de puteri, adică printr-un polinom. O astfel de înlocuire a unei funcții cu o expresie destul de simplă - un polinom - este convenabilă și la rezolvarea unor probleme de analiză matematică și anume: la rezolvarea integralelor, la calcularea ecuațiilor diferențiale etc.

S-a demonstrat că pentru o anumită funcție f(х) în care derivatele de până la (n+1)-lea, inclusiv ultimul, pot fi calculate în vecinătate (α _{- R; x}0 _{+ R) dintr-un anumit punct x=α formula este valabilă:}

Această formulă poartă numele celebrului om de știință Brook Taylor. Seria care se obține din cea anterioară se numește seria Maclaurin:

Regula care face posibilă extinderea într-o serie Maclaurin:

1. Determinați derivatele primei, a doua, a treia… ordine.
2. Calculează cu ce sunt egale derivatele la x=0.
3. Înregistrați seria Maclaurin pentru această funcție și apoi determinați intervalul de convergență a acesteia.
4. Determinați intervalul (-R;R) în care restul formulei Maclaurin

R (x) -> 0 pentru n -> infinit. Dacă există una, funcția f(x) din ea trebuie să coincidă cu suma seriei Maclaurin.

Acum luați în considerare seria Maclaurin pentru funcții individuale.

1. Deci, primul va fi f(x)=e^x. Desigur, în funcție de caracteristicile sale, o astfel de funcție are derivate de diferite ordine, iar f^(k)(x)=e^x, unde k este egal cu toate numere naturale. Să înlocuim x=0. Obținem f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{ar arăta astfel:}

2. Seria Maclaurin pentru funcția f(x)=sin x. Clarificați imediat că funcția pentru toate necunoscutele va avea derivate, în afară de f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), unde k este egal cu orice număr natural. Adică, după ce facem calcule simple, putem ajunge la concluzia că seria pentru f(x)=sin x va arăta astfel:}

3. Acum să încercăm să considerăm funcția f(x)=cos x. Ea este pentru tot necunoscutulare derivate de ordin arbitrar și |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Din nou, după ce facem câteva calcule, obținem că seria pentru f(x)=cos x va arăta astfel:

Deci, am enumerat cele mai importante funcții care pot fi extinse în seria Maclaurin, dar sunt completate de seria Taylor pentru unele funcții. Acum le vom enumera. De asemenea, este de remarcat faptul că seriile Taylor și Maclaurin sunt o parte importantă a practicii de rezolvare a seriilor în matematica superioară. Deci, seria Taylor.

1. Prima va fi o serie pentru f-ii f(x)=ln(1+x). Ca și în exemplele anterioare, având în vedere f (x)=ln (1 + x), putem adăuga o serie folosind forma generală a seriei Maclaurin. cu toate acestea, pentru această funcție, seria Maclaurin poate fi obținută mult mai simplu. După integrarea unei anumite serii geometrice, obținem o serie pentru f(x)=ln(1+x) din această probă:

2. Iar a doua, care va fi finală în articolul nostru, va fi o serie pentru f (x) u003d arctg x. Pentru x aparținând intervalului [-1;1], expansiunea este valabilă:

Asta este. Acest articol a examinat seria Taylor și Maclaurin cel mai frecvent utilizate în matematica superioară, în special, în universitățile economice și tehnice.