Problema lui Goldbach este una dintre cele mai vechi și mai populare probleme din istoria tuturor matematicii.
Această presupunere s-a dovedit a fi adevărată pentru toate numerele întregi mai mici de 4 × 1018, dar rămâne nedovedită în ciuda eforturilor considerabile ale matematicienilor.
Număr
Numărul Goldbach este un întreg pozitiv par care este suma unei perechi de numere prime impare. O altă formă a conjecturii Goldbach este că toate numerele întregi pare mai mari de patru sunt numere Goldbach.
Separarea unor astfel de numere se numește partiție (sau partiție) a lui Goldbach. Mai jos sunt exemple de secțiuni similare pentru unele numere pare:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Descoperirea ipotezei
Goldbach a avut un coleg pe nume Euler, căruia îi plăcea să numere, să scrie formule complexe și să propună teorii de nerezolvat. În acest sens, ele erau asemănătoare cu Goldbach. Euler a făcut o ghicitoare matematică similară chiar înainte de Goldbach, cu care elcorespondență constantă. Apoi a propus o a doua sugestie în marginea manuscrisului său, conform căreia un număr întreg mai mare de 2 poate fi scris ca sumă a trei numere prime. El a considerat că 1 este un număr prim.
Cele două ipoteze sunt acum cunoscute a fi similare, dar aceasta nu părea să fie o problemă la momentul respectiv. Versiunea modernă a problemei lui Goldbach afirmă că fiecare număr întreg mai mare de 5 poate fi scris ca suma a trei numere prime. Euler a răspuns într-o scrisoare din 30 iunie 1742 și i-a amintit lui Goldbach de o conversație anterioară pe care a avut-o ("… deci vorbim despre ipoteza originală (și nu marginală) care decurge din următoarea afirmație").
Problema Euler-Goldbach
2 și numerele sale pare pot fi scrise ca sumă a două numere prime, care este, de asemenea, conjectura lui Goldbach. Într-o scrisoare din 30 iunie 1742, Euler afirma că fiecare număr întreg par este rezultatul adunării a două numere prime, pe care le consideră a fi o teoremă bine definită, deși nu o poate demonstra.
A treia versiune
A treia versiune a problemei lui Goldbach (echivalentă celorl alte două versiuni) este forma în care este dată de obicei conjectura astăzi. Este cunoscută și sub denumirea de conjectura Goldbach „puternică”, „pară” sau „binară” pentru a o deosebi de ipoteza mai slabă cunoscută astăzi ca conjectura Goldbach „slabă”, „impară” sau „ternară”. Conjectura slabă afirmă că toate numerele impare mai mari de 7 sunt suma a trei numere prime impare. Conjectura slabă a fost dovedită în 2013. Ipoteza slabă esteo consecinţă a unei ipoteze puternice. Corolarul invers și conjectura puternică Goldbach rămân nedovedite până în prezent.
Verificare
Pentru valori mici ale lui n, problema Goldbach (și, prin urmare, conjectura Goldbach) poate fi verificată. De exemplu, Nils Pipping în 1938 a testat cu atenție ipoteza până la n ≦ 105. Odată cu apariția primelor calculatoare, au fost calculate mult mai multe valori ale lui n.
Oliveira Silva a efectuat o căutare distribuită pe computer care a confirmat ipoteza pentru n ≦ 4 × 1018 (și a verificat dublu până la 4 × 1017) începând cu 2013. O intrare din această căutare este că 3.325.581.707.333.960.528 este cel mai mic număr care nu are o împărțire Goldbach cu un prim sub 9781.
Euristică
Versiunea pentru forma tare a conjecturii lui Goldbach este următoarea: deoarece cantitatea tinde spre infinit pe măsură ce n crește, ne așteptăm ca fiecare număr mare par să aibă mai mult de o reprezentare ca sumă a două numere prime. Dar, de fapt, există o mulțime de astfel de reprezentări. Cine a rezolvat problema Goldbach? Din păcate, încă nimeni.
Acest argument euristic este de fapt oarecum imprecis, deoarece presupune că m este independent statistic de n. De exemplu, dacă m este impar, atunci n - m este și impar, iar dacă m este par, atunci n - m este par și aceasta este o relație non-trivială (complexă), deoarece în afară de numărul 2, numai impar numerele pot fi prime. În mod similar, dacă n este divizibil cu 3 și m a fost deja un prim, altul decât 3, atunci n - m este, de asemenea, reciprocprim cu 3, deci este mai probabil să fie un număr prim decât un număr total. Efectuând acest tip de analiză cu mai multă atenție, Hardy și Littlewood în 1923, ca parte a faimoasei lor conjecturi de tuplu simplu Hardy-Littlewood, au făcut rafinarea de mai sus a întregii teorii. Dar până acum nu a ajutat la rezolvarea problemei.
Ipoteza puternică
Conjectura Goldbach puternică este mult mai complicată decât conjectura Goldbach slabă. Shnirelman a demonstrat mai târziu că orice număr natural mai mare decât 1 poate fi scris ca sumă a cel mult C prime, unde C este o constantă efectiv calculabilă. Mulți matematicieni au încercat să o rezolve, numărând și înmulțind numere, oferind formule complexe etc. Dar nu au reușit niciodată, pentru că ipoteza este prea complicată. Nicio formulă nu a fost de ajutor.
Dar merită să te îndepărtezi de problema de a dovedi puțin problema lui Goldbach. Constanta Shnirelman este cel mai mic număr C cu această proprietate. Shnirelman însuși a obținut C <800 000. Acest rezultat a fost completat ulterior de mulți autori, cum ar fi Olivier Ramaret, care a arătat în 1995 că fiecare număr par n ≧ 4 este de fapt suma a cel mult șase numere prime. Cel mai faimos rezultat asociat în prezent cu teoria Goldbach de Harald Helfgott.
Dezvoltare ulterioară
În 1924, Hardy și Littlewood și-au asumat G. R. H. a arătat că numărul de numere pare până la X, încălcând problema binară Goldbach, este mult mai mic decât pentru c. mici
În 1973 Chen JingyunAm încercat să rezolv această problemă, dar nu a funcționat. Era și matematician, așa că îi plăcea foarte mult să rezolve ghicitori și să demonstreze teoreme.
În 1975, doi matematicieni americani au arătat că există constante pozitive c și C - acelea pentru care N este suficient de mare. În special, mulțimea numerelor întregi pare are densitate zero. Toate acestea au fost utile pentru lucrul la rezolvarea problemei ternare Goldbach, care va avea loc în viitor.
În 1951, Linnik a demonstrat existența unei constante K, astfel încât fiecare număr par suficient de mare este rezultatul adunării unui număr prim și a unui alt număr prim unul la celăl alt. Roger Heath-Brown și Jan-Christoph Schlage-Puchta au descoperit în 2002 că K=13 funcționează. Acest lucru este foarte interesant pentru toți oamenii cărora le place să se adauge între ei, să adună numere diferite și să vadă ce se întâmplă.
Rezolvarea problemei Goldbach
La fel ca în cazul multor conjecturi binecunoscute în matematică, există o serie de presupuse dovezi ale conjecturii Goldbach, dintre care niciuna nu este acceptată de comunitatea matematică.
Deși conjectura lui Goldbach implică că fiecare număr întreg pozitiv mai mare decât unu poate fi scris ca sumă a cel mult trei numere prime, nu este întotdeauna posibil să găsim o astfel de sumă folosind un algoritm lacom care folosește cel mai mare număr prim posibil. la fiecare pas. Secvența Pillai ține evidența numerelor care necesită cele mai multe numere prime în reprezentările lor lacome. Prin urmare, soluția la problema Goldbachinca in discutie. Cu toate acestea, mai devreme sau mai târziu, cel mai probabil se va rezolva.
Există teorii similare cu problema lui Goldbach în care numerele prime sunt înlocuite cu alte seturi specifice de numere, cum ar fi pătratele.
Christian Goldbach
Christian Goldbach a fost un matematician german care a studiat și dreptul. El este amintit astăzi pentru conjectura Goldbach.
Toată viața a lucrat ca matematician - îi plăcea foarte mult să adauge numere, să inventeze formule noi. De asemenea, cunoștea mai multe limbi, în fiecare dintre ele și-a ținut jurnalul personal. Aceste limbi au fost germană, franceză, italiană și rusă. De asemenea, potrivit unor surse, vorbea engleză și latină. A fost cunoscut ca un matematician destul de cunoscut în timpul vieții sale. Goldbach era, de asemenea, destul de strâns legat de Rusia, pentru că avea mulți colegi ruși și favoarea personală a familiei regale.
A continuat să lucreze la Academia de Științe din Sankt Petersburg, recent deschisă, în 1725, ca profesor de matematică și istoric al academiei. În 1728, când Petru al II-lea a devenit țarul Rusiei, Goldbach a devenit mentorul său. În 1742 a intrat în Ministerul de Externe al Rusiei. Adică chiar a lucrat la noi. La acea vreme, mulți oameni de știință, scriitori, filozofi și militari au venit în Rusia, pentru că Rusia la acea vreme era o țară a oportunităților precum America. Mulți și-au făcut carieră aici. Și eroul nostru nu face excepție.
Christian Goldbach era multilingv - a scris un jurnal în germană și latină, scrisorile saleau fost scrise în germană, latină, franceză și italiană, iar pentru documentele oficiale a folosit rusă, germană și latină.
A murit la 20 noiembrie 1764, la vârsta de 74 de ani, la Moscova. Ziua în care problema lui Goldbach va fi rezolvată va fi un omagiu potrivit pentru memoria lui.
Concluzie
Goldbach a fost un mare matematician care ne-a oferit unul dintre cele mai mari mistere ale acestei științe. Nu se știe dacă se va rezolva vreodată sau nu. Știm doar că presupusa sa rezoluție, ca în cazul teoremei lui Fermat, va deschide noi perspective pentru matematică. Matematicienilor le place foarte mult să o rezolve și să o analizeze. Este foarte interesant și curios din punct de vedere euristic. Chiar și studenților la matematică le place să rezolve problema Goldbach. Cum altfel? La urma urmei, tinerii sunt atrași în mod constant de tot ce este luminos, ambițios și nerezolvat, pentru că depășind dificultățile se poate afirma. Să sperăm că în curând această problemă va fi rezolvată de minți tinere, ambițioase și curios.
