Prisma hexagonală și principalele sale caracteristici

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Geometria spațială este studiul prismelor. Caracteristicile lor importante sunt volumul conținut de ele, suprafața și numărul de elemente constitutive. În articol, vom lua în considerare toate aceste proprietăți pentru o prismă hexagonală.

Despre ce prismă vorbim?

O prismă hexagonală este o figură formată din două poligoane cu șase laturi și șase unghiuri și șase paralelograme care leagă hexagoanele marcate într-o singură formațiune geometrică.

Figura arată un exemplu al acestei prisme.

Hexagonul marcat cu roșu se numește baza figurii. Evident, numărul bazelor sale este egal cu două și ambele sunt identice. Fețele galben-verzui ale unei prisme se numesc laturile sale. În figură ele sunt reprezentate prin pătrate, dar în general sunt paralelograme.

Prisma hexagonală poate fi înclinată și dreaptă. În primul caz, unghiurile dintre bază și laturi nu sunt drepte, în al doilea sunt egale cu 90o. De asemenea, această prismă poate fi corectă și incorectă. Hexagonal regulatprisma trebuie să fie dreaptă și să aibă la bază un hexagon regulat. Prisma de mai sus din figură satisface aceste cerințe, așa că se numește corectă. În continuare, în articol vom studia doar proprietățile sale, ca caz general.

Elemente

Pentru orice prismă, elementele sale principale sunt muchiile, fețele și vârfurile. Prisma hexagonală nu face excepție. Figura de mai sus vă permite să numărați numărul acestor elemente. Deci, obținem 8 fețe sau laturi (două baze și șase paralelograme laterale), numărul de vârfuri este 12 (6 vârfuri pentru fiecare bază), numărul de muchii ale unei prisme hexagonale este 18 (șase laterale și 12 pentru baze).

În anii 1750, Leonhard Euler (matematician elvețian) a stabilit pentru toate poliedrele, care includ o prismă, o relație matematică între numerele elementelor indicate. Această relație arată astfel:

număr de muchii=numărul de fețe + numărul de vârfuri - 2.

Cifrele de mai sus satisfac această formulă.

Diagonale prisme

Toate diagonalele unei prisme hexagonale pot fi împărțite în două tipuri:

• cele care se află în planurile fețelor sale;
• cele care aparțin întregului volum al figurii.

Imaginea de mai jos arată toate aceste diagonale.

Se poate observa că D₁ este diagonala laterală, D₂ și D₃ sunt diagonalele întreaga prismă, D₄ și D_{5 - diagonalele bazei.}

Lungimile diagonalelor laturilor sunt egale între ele. Este ușor să le calculezi folosind binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Fie a lungimea laturii hexagonului, b lungimea marginii laterale. Atunci diagonala are lungimea:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ este, de asemenea, ușor de determinat. Dacă ne amintim că un hexagon obișnuit se potrivește într-un cerc cu raza a, atunci D_{4 este diametrul acestui cerc, adică obținem următoarea formulă:}

D_4=2a.

Diagonal D₅bazele sunt ceva mai greu de găsit. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi echilateral ABC (vezi Fig.). Pentru el AB=BC=a, unghiul ABC este 120^{o. Dacă coborâm înălțimea din acest unghi (va fi și bisectoarea și mediana), atunci jumătate din baza AC va fi egală cu:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Latura AC este diagonala lui D_{5, deci obținem:}

D_5=AC=√3a.

Acum rămâne de găsit diagonalele D₂ și D_{3 ale unei prisme hexagonale obișnuite. Pentru a face acest lucru, trebuie să vedeți că acestea sunt ipotenuzele triunghiurilor dreptunghice corespunzătoare. Folosind teorema lui Pitagora, obținem:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Astfel, cea mai mare diagonală pentru orice valori ale lui a și b esteD_2.

Suprafață

Pentru a înțelege ce este în joc, cel mai simplu mod este să luați în considerare dezvoltarea acestei prisme. Este afișat în imagine.

Se poate observa că pentru a determina aria tuturor laturilor figurii luate în considerare, este necesar să se calculeze separat aria patrulaterului și aria hexagonului, apoi înmulțiți-le prin numerele întregi corespunzătoare egale cu numărul fiecărui n-gon din prismă și adăugați rezultatele. Hexagoane 2, dreptunghiuri 6.

Pentru aria unui dreptunghi obținem:

S_1=ab.

Atunci aria suprafeței laterale este:

S_2=6ab.

Pentru a determina aria unui hexagon, cel mai simplu mod este să utilizați formula corespunzătoare, care arată astfel:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Înlocuind numărul n egal cu 6 în această expresie, obținem aria unui hexagon:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Această expresie trebuie înmulțită cu două pentru a obține aria bazelor prismei:

S_os=3√3a^2.

Rămâne să adăugați S_os și S_{2 pentru a obține suprafața totală a figurii:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Volum prisme

După formula pentrusuprafața unei baze hexagonale, calcularea volumului conținut în prisma în cauză este la fel de ușoară precum decojirea perelor. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înmulțiți aria bazei osoase (hexagon) cu înălțimea figurii, a cărei lungime este egală cu lungimea marginii laterale. Obținem formula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Rețineți că produsul bazei și înălțimea dă valoarea volumului absolut oricărei prisme, inclusiv a celei oblice. Cu toate acestea, în acest din urmă caz, calculul înălțimii este complicat, deoarece aceasta nu va mai fi egală cu lungimea nervurii laterale. În ceea ce privește o prismă hexagonală obișnuită, valoarea volumului acesteia este o funcție a două variabile: laturile a și b.