Una dintre axiomele geometriei afirmă că prin oricare două puncte este posibil să se tragă o singură linie dreaptă. Această axiomă mărturisește că există o expresie numerică unică care descrie în mod unic obiectul geometric unidimensional specificat. Luați în considerare în articol întrebarea cum să scrieți ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Ce este un punct și o linie?
Înainte de a lua în considerare problema construirii în spațiu și în plan a unei drepte a unei ecuații care trece printr-o pereche de puncte diferite, ar trebui să definiți obiectele geometrice specificate.
Un punct este determinat în mod unic de un set de coordonate dintr-un sistem dat de axe de coordonate. Pe lângă ele, nu mai există caracteristici pentru punct. Ea este un obiect cu dimensiune zero.
Când vorbim despre o linie dreaptă, fiecare persoană își imaginează o linie descrisă pe o foaie albă de hârtie. În același timp, se poate da o definiție geometrică exactăacest obiect. O linie dreaptă este o astfel de colecție de puncte pentru care legătura fiecăruia dintre ele cu toate celel alte va da un set de vectori paraleli.
Această definiție este folosită la stabilirea ecuației vectoriale a unei linii drepte, care va fi discutată mai jos.
Deoarece orice linie poate fi marcată cu un segment de lungime arbitrară, se spune că este un obiect geometric unidimensional.
Funcția vectorului număr
O ecuație prin două puncte ale unei drepte care trece poate fi scrisă în forme diferite. În spațiile tridimensionale și bidimensionale, expresia numerică principală și intuitivă de înțeles este un vector.
Să presupunem că există un segment direcționat u¯(a; b; c). În spațiul 3D, vectorul u¯ poate începe în orice punct, astfel încât coordonatele sale definesc un set infinit de vectori paraleli. Totuși, dacă alegem un anumit punct P(x0; y0; z0) și punem ca început al vectorului u¯, apoi, înmulțind acest vector cu un număr real arbitrar λ, se pot obține toate punctele unei drepte în spațiu. Adică, ecuația vectorială va fi scrisă ca:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Evident, pentru cazul din avion, funcția numerică ia forma:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Avantajul acestui tip de ecuație în comparație cu celel alte (pe segmente, canonice,forma generală) constă în faptul că conține în mod explicit coordonatele vectorului de direcție. Acesta din urmă este adesea folosit pentru a determina dacă liniile sunt paralele sau perpendiculare.
General în segmente și funcție canonică pentru o linie dreaptă în spațiu bidimensional
Când rezolvați probleme, uneori trebuie să scrieți ecuația unei drepte care trece prin două puncte într-o anumită formă specifică. Prin urmare, ar trebui date și alte modalități de specificare a acestui obiect geometric în spațiu bidimensional (pentru simplitate, luăm în considerare cazul în plan).
Să începem cu o ecuație generală. Are forma:
Ax + By + C=0
De regulă, în plan, ecuația unei drepte este scrisă în această formă, doar y este definit explicit prin x.
Acum transformați expresia de mai sus după cum urmează:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Această expresie se numește ecuație în segmente, deoarece numitorul pentru fiecare variabilă arată cât de mult se întrerupe segmentul de linie pe axa de coordonate corespunzătoare față de punctul de plecare (0; 0).
Rămâne să dau un exemplu de ecuație canonică. Pentru a face acest lucru, scriem explicit egalitatea vectorială:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Să exprimăm parametrul λ de aici și echivalăm egalitățile rezultate:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Ultima egalitate se numește ecuație în formă canonică sau simetrică.
Fiecare dintre ele poate fi convertit în vector și invers.
Ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte: o tehnică de compilare
Înapoi la întrebarea articolului. Să presupunem că există două puncte în spațiu:
M(x1; y1; z1) și N(x 2; y2; z2)
Prin ele trece singura linie dreaptă, a cărei ecuație este foarte ușor de compus sub formă vectorială. Pentru a face acest lucru, calculăm coordonatele segmentului direcționat MN¯, avem:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nu este greu de ghicit că acest vector va fi ghidul pentru linia dreaptă, a cărei ecuație trebuie obținută. Știind că trece și prin M și N, puteți folosi coordonatele oricăreia dintre ele pentru o expresie vectorială. Apoi ecuația dorită ia forma:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Pentru cazul în spațiu bidimensional, obținem o egalitate similară fără participarea variabilei z.
De îndată ce este scrisă egalitatea vectorială pentru linie, aceasta poate fi tradusă în orice altă formă pe care o cere problema problemei.
Sarcină:scrieți o ecuație generală
Se știe că o dreaptă trece prin punctele cu coordonatele (-1; 4) și (3; 2). Este necesar să se compună ecuația unei drepte care trece prin ele, într-o formă generală, exprimând y în termeni de x.
Pentru a rezolva problema, scriem mai întâi ecuația în formă vectorială. Coordonatele vectoriale (ghid) sunt:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Atunci forma vectorială a ecuației dreptei este următoarea:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Rămâne să-l scriem în formă generală sub forma y(x). Rescriem această egalitate în mod explicit, exprimăm parametrul λ și îl excludem din ecuație:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Din ecuația canonică rezultată, exprimăm y și ajungem la răspunsul la întrebarea problemei:
y=-0,5x + 3,5
Valabilitatea acestei egalități poate fi verificată prin înlocuirea coordonatele punctelor specificate în enunțul problemei.
Problemă: o linie dreaptă care trece prin centrul segmentului
Acum să rezolvăm o problemă interesantă. Să presupunem că sunt date două puncte M(2; 1) și N(5; 0). Se știe că o dreaptă trece prin punctul mijlociu al segmentului care leagă punctele și este perpendiculară pe acesta. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin mijlocul segmentului sub formă vectorială.
Expresia numerică dorită poate fi formată prin calcularea coordonatei acestui centru și determinarea vectorului de direcție, caresegmentul formează un unghi 90o.
Punctul de mijloc al segmentului este:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Acum să calculăm coordonatele vectorului MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Deoarece vectorul de direcție pentru dreapta dorită este perpendicular pe MN¯, produsul lor scalar este egal cu zero. Acest lucru vă permite să calculați coordonatele necunoscute (a; b) ale vectorului de direcție:
a3 - b=0=>
b=3a
Acum scrieți ecuația vectorială:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Aici am înlocuit produsul aλ cu un nou parametru β.
Astfel, am realizat ecuația unei linii drepte care trece prin centrul segmentului.
