Funcțiile trigonometrice inverse provoacă în mod tradițional dificultăți pentru școlari. Abilitatea de a calcula arc-tangente a unui număr poate fi necesară în sarcinile USE în planimetrie și stereometrie. Pentru a rezolva cu succes o ecuație și o problemă cu un parametru, trebuie să înțelegeți proprietățile funcției arc tangente.
Definiție
Arc-tangenta unui număr x este un număr y a cărui tangentă este x. Aceasta este definiția matematică.
Funcția arctangentă este scrisă ca y=arctg x.
Mai general: y=Carctg (kx + a).
Calcul
Pentru a înțelege cum funcționează funcția trigonometrică inversă a arctangentei, mai întâi trebuie să vă amintiți cum este determinată valoarea tangentei unui număr. Să aruncăm o privire mai atentă.
Tangenta lui x este raportul dintre sinusul lui x și cosinusul lui x. Dacă se cunoaște cel puțin una dintre aceste două mărimi, atunci modulul celei de-a doua poate fi obținut din identitatea trigonometrică de bază:
sin2 x + cos2 x=1.
Desigur, va fi necesară o evaluare pentru a debloca modulul.
Dacănumărul în sine este cunoscut, și nu caracteristicile sale trigonometrice, atunci în majoritatea cazurilor este necesar să se estimeze aproximativ tangentei numărului prin referire la tabelul Bradis.
Excepțiile sunt așa-numitele valori standard.
Sunt prezentate în următorul tabel:
Pe lângă cele de mai sus, orice valoare obținută din date prin adăugarea unui număr de forma ½πк (к - orice număr întreg, π=3, 14) poate fi considerată standard.
Exact același lucru este valabil și pentru arc tangente: cel mai adesea valoarea aproximativă poate fi văzută din tabel, dar doar câteva valori sunt cunoscute cu siguranță:
În practică, la rezolvarea problemelor de matematică școlară, se obișnuiește să se dea un răspuns sub forma unei expresii care să conțină arc-tangente, și nu estimarea ei aproximativă. De exemplu, arctg 6, arctg (-¼).
Trasarea unui grafic
Deoarece tangenta poate lua orice valoare, domeniul funcției arctangente este întreaga linie numerică. Să explicăm mai detaliat.
Aceeași tangentă corespunde unui număr infinit de argumente. De exemplu, nu numai tangenta lui zero este egală cu zero, ci și tangenta oricărui număr de forma π k, unde k este un număr întreg. Prin urmare, matematicienii au fost de acord să aleagă valori pentru arc tangente din intervalul de la -½ π la ½ π. Trebuie înțeles în acest fel. Domeniul funcției arctangente este intervalul (-½ π; ½ π). Capetele decalajului nu sunt incluse, deoarece tangentele -½p și ½p nu există.
Pe intervalul specificat, tangenta este continuucrește. Aceasta înseamnă că și funcția inversă a arc-tangentei crește continuu pe întreaga dreaptă numerică, dar mărginită de sus și de jos. Ca rezultat, are două asimptote orizontale: y=-½ π și y=½ π.
În acest caz, tg 0=0, alte puncte de intersecție cu axa absciselor, cu excepția (0;0), graficul nu poate avea din cauza creșterii.
După cum reiese din paritatea funcției tangente, arctangenta are o proprietate similară.
Pentru a construi un grafic, luați mai multe puncte dintre valorile standard:
Derivata funcției y=arctg x în orice punct se calculează prin formula:
Rețineți că derivata sa este peste tot pozitivă. Acest lucru este în concordanță cu concluzia făcută mai devreme despre creșterea continuă a funcției.
Derivata a doua a arctangentei dispare în punctul 0, este negativă pentru valorile pozitive ale argumentului și invers.
Aceasta înseamnă că graficul funcției arc tangente are un punct de inflexiune la zero și este convex în jos pe interval (-∞; 0] și convex în sus pe intervalul [0; +∞).
