Secunde, tangente - toate acestea au putut fi auzite de sute de ori în lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii s-a terminat, anii trec și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui să ne amintim?
Esență
Termenul „tangent la un cerc” este probabil familiar tuturor. Dar este puțin probabil ca toată lumea să-și poată formula rapid definiția. Între timp, o tangentă este o astfel de linie dreaptă situată în același plan cu un cerc care o intersectează doar într-un singur punct. Poate exista o mare varietate de ele, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. După cum ați putea ghici, punctul de contact este locul în care cercul și linia se intersectează. În fiecare caz, este una, dar dacă sunt mai multe, atunci va fi o secante.
Istoria descoperirilor și studiului
Conceptul de tangente a apărut în antichitate. Construcția acestor drepte, mai întâi la un cerc, și apoi la elipse, parabole și hiperbole cu ajutorul unei rigle și al busolei, a fost realizată chiar și în etapele inițiale ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dareste evident că chiar și în acel moment, oamenii erau destul de conștienți de proprietățile tangentei la cerc.
În vremurile moderne, interesul pentru acest fenomen a aprins din nou - a început o nouă rundă de studiu a acestui concept, combinată cu descoperirea de noi curbe. Deci, Galileo a introdus conceptul de cicloidă, iar Fermat și Descartes au construit o tangentă la acesta. În ceea ce privește cercurile, se pare că nu au mai rămas secrete pentru străvechi în această zonă.
Proprietăți
Raza trasată la punctul de intersecție va fi perpendiculară pe linie. Acesta este
principala, dar nu singura proprietate pe care o are tangenta la un cerc. O altă caracteristică importantă include deja două linii drepte. Deci, printr-un punct situat în afara cercului, pot fi trase două tangente, în timp ce segmentele lor vor fi egale. Există o altă teoremă pe acest subiect, dar este rar acoperită în cadrul unui curs școlar standard, deși este extrem de convenabilă pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. Dintr-un punct situat în afara cercului, sunt trase la el o tangentă și o secantă. Se formează segmentele AB, AC și AD. A este intersecția liniilor, B este punctul de contact, C și D sunt intersecțiile. În acest caz, următoarea egalitate va fi valabilă: lungimea tangentei la cerc, la pătrat, va fi egală cu produsul segmentelor AC și AD.
Din cele de mai sus există o consecință importantă. Pentru fiecare punct al cercului, puteți construi o tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: teoretic aruncând o perpendiculară din rază pe ea, aflăm că formatriunghiul nu poate exista. Și asta înseamnă că tangenta este singura.
Clădire
Printre alte probleme de geometrie, există o categorie specială, de regulă, nu
iubit de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcini din această categorie, aveți nevoie doar de o busolă și de o riglă. Acestea sunt sarcini de construcție. Există și metode pentru construirea unei tangente.
Deci, având în vedere un cerc și un punct situat în afara granițelor sale. Și este necesar să desenați o tangentă prin ele. Cum să o facă? În primul rând, trebuie să desenați un segment între centrul cercului O și un punct dat. Apoi, folosind o busolă, împărțiți-o în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați raza - puțin mai mult de jumătate din distanța dintre centrul cercului original și punctul dat. După aceea, trebuie să construiți două arce care se intersectează. În plus, raza busolei nu trebuie schimbată, iar centrul fiecărei părți a cercului va fi punctul inițial și, respectiv, O. Intersecțiile arcurilor trebuie să fie conectate, ceea ce va împărți segmentul în jumătate. Setați o rază pe busolă egală cu această distanță. Apoi, cu centrul în punctul de intersecție, desenați un alt cerc. Atât punctul inițial, cât și O vor fi situate pe el. În acest caz, vor mai exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de contact pentru punctul dat inițial.
Interesant
Construcția tangentelor la cerc a dus la nașterea lui
calcul diferențial. Prima lucrare pe această temă a fostpublicat de celebrul matematician german Leibniz. El prevedea posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente, indiferent de valorile fracționale și iraționale. Ei bine, acum este folosit și pentru multe alte calcule.
În plus, tangenta la cerc este legată de semnificația geometrică a tangentei. De aici provine numele lui. Tradus din latină, tangens înseamnă „tangentă”. Astfel, acest concept este conectat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.
Două cercuri
Nu întotdeauna o tangentă afectează o singură formă. Dacă un număr mare de linii drepte pot fi trase într-un cerc, atunci de ce nu invers? Poate sa. Dar sarcina în acest caz este serios complicată, deoarece tangenta la două cercuri poate să nu treacă prin niciun punct, iar poziția relativă a tuturor acestor cifre poate fi foarte
diferit.
Tipuri și soiuri
Când este vorba de două cercuri și una sau mai multe drepte, chiar dacă se știe că acestea sunt tangente, nu devine imediat clar cum sunt situate toate aceste cifre una în raport cu ceal altă. Pe baza acestui fapt, există mai multe soiuri. Deci, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau să nu le aibă deloc. În primul caz, se vor intersecta, iar în al doilea, se vor atinge. Și aici există două soiuri. Dacă un cerc este, parcă, încorporat în al doilea, atunci atingerea se numește intern, dacă nu, atunci extern. înțelege reciproclocația figurilor este posibilă nu numai pe baza desenului, ci și având informații despre suma razelor lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două cantități sunt egale, atunci cercurile se ating. Dacă primul este mai mare, se intersectează, iar dacă este mai mic, atunci nu au puncte comune.
La fel cu liniile drepte. Pentru oricare două cercuri care nu au puncte comune, puteți
construiți patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între figuri, se numesc interne. Alți doi sunt externi.
Dacă vorbim de cercuri care au un punct comun, atunci sarcina este mult simplificată. Faptul este că pentru orice aranjament reciproc în acest caz, vor avea o singură tangentă. Și va trece prin punctul de intersecție. Deci construcția dificultății nu va provoca.
Dacă figurile au două puncte de intersecție, atunci se poate construi pentru ele o linie dreaptă, tangentă la cerc, atât unul cât și al doilea, dar numai cel exterior. Soluția la această problemă este similară cu ceea ce va fi discutat mai jos.
Rezolvarea problemelor
Atât tangentele interne și externe la două cercuri nu sunt atât de ușor de construit, deși această problemă poate fi rezolvată. Faptul este că pentru aceasta se folosește o cifră auxiliară, așa că gândiți-vă singur la această metodă
destul de problematic. Deci, date două cercuri cu raze și centre diferite O1 și O2. Pentru ei, trebuie să construiți două perechi de tangente.
În primul rând, aproape de centrul celui mai marecercuri trebuie construite auxiliare. În acest caz, diferența dintre razele celor două cifre inițiale trebuie stabilită pe busolă. Tangentele la cercul auxiliar sunt construite din centrul cercului mai mic. După aceea, de la O1 și O2, se desenează perpendiculare pe aceste linii până când se intersectează cu figurile originale. După cum rezultă din proprietatea principală a tangentei, se găsesc punctele dorite pe ambele cercuri. Problemă rezolvată, cel puțin prima parte a acesteia.
Pentru a construi tangente interne, va trebui să rezolvi practic
o sarcină similară. Din nou, este nevoie de o figură auxiliară, dar de data aceasta raza ei va fi egală cu suma celor inițiale. Tangentele sunt construite la acesta din centrul unuia dintre cercurile date. Evoluția ulterioară a soluției poate fi înțeleasă din exemplul anterior.
Tangenta la un cerc sau chiar două sau mai multe nu este o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve astfel de probleme manual și să încredințeze calculele unor programe speciale. Dar să nu credeți că acum nu este necesar să o puteți face singur, pentru că pentru a formula corect o sarcină pentru un computer, trebuie să faceți și să înțelegeți multe. Din păcate, există temeri că, după trecerea finală la forma de testare a controlului cunoștințelor, sarcinile de construcție vor cauza din ce în ce mai multe dificultăți studenților.
În ceea ce privește găsirea tangentelor comune pentru mai multe cercuri, nu este întotdeauna posibil, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar, în unele cazuri, puteți găsi o astfel de linie dreaptă.
Exemple de viață
O tangentă comună la două cercuri este adesea întâlnită în practică, deși nu este întotdeauna vizibilă. Transportoare, sisteme de blocuri, curele de transmisie cu scripete, tensiunea firului într-o mașină de cusut și chiar și doar un lanț de bicicletă - toate acestea sunt exemple din viață. Deci, să nu credeți că problemele geometrice rămân doar în teorie: în inginerie, fizică, construcții și multe alte domenii, ele găsesc aplicații practice.
