Una dintre ramurile matematicii cu care școlarii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu e de mirare: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.
Originile trigonometriei
Introducerea în această știință ar trebui să înceapă cu definirea sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.
Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost obiectul principal de cercetare în această secțiune a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit douălaturi și un colț sau două colțuri și o latură pentru a determina valorile tuturor parametrilor figurii în cauză. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar artă.
Început
Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale, care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei secțiuni de matematică.
Studiul trigonometriei la școală astăzi începe cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele acumulate sunt folosite de elevii la fizică și rezolvarea de ecuații trigonometrice abstracte, lucru cu care începe în liceu.
Trigonometrie sferică
Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică alte reguli, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare. peste 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știm despre existența ei, cel puțin pentru că suprafața pământului, precum și suprafața oricărei alte planete, este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcare a suprafeței va fi „în formă de arc. în spațiul tridimensional.
Ia un glob și un fir. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a căpătat forma unui arc. Se ocupă de astfel de formegeometria sferică utilizată în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.
triunghi drept
După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinus, cosinus, tangentă, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosim.
În primul rând, trebuie să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Ea este cea mai lungă. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorl alte două laturi.
De exemplu, dacă două laturi au 3 și, respectiv, 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.
Cele două laturi rămase care formează un unghi drept se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.
Definiție
În sfârșit, având o înțelegere solidă a bazei geometrice, ne putem întoarce la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Nu uitați că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce?Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic. Indiferent cât de lung este piciorul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă obțineți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare decât 1 în răspunsul la problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar greșit.
În sfârșit, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Același rezultat va da împărțirea sinusului la cosinus. Uite: după formula, împărțim lungimea laturii la ipotenuză, după care împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem același raport ca în definiția tangentei.
Cotangent, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Obținem același rezultat împărțind unitatea la tangentă.
Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce este sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și ne putem ocupa de formule.
Formule simple
În trigonometrie nu se poate face fără formule - cum să găsești sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Dar asta este exact ceea ce este necesar atunci când rezolvați probleme.
Prima formulă pe care trebuie să o cunoști atunci când începi să studiezi trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă trebuie să aflați valoarea unghiului, nu a laturii.
Mulți studenți nu își amintesc a doua formulă, de asemenea, foartepopular în rezolvarea problemelor școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce este un sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, regulile de conversie și câteva formule de bază, puteți oricând să obțineți în mod independent formulele mai complexe necesare pe o bucată de hârtie.
Formule cu unghi dublu și adăugarea de argumente
Încă două formule de învățat sunt legate de valorile sinus și cosinus pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că, în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea caz, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus este adăugat.
Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.
În sfârșit, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi convertite pentru a reduce gradul de sinus, cosinus, tangentă alfa.
Teoreme
Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și magnitudinea.fiecare parte etc.
Teorema sinusului afirmă că, ca urmare a împărțirii lungimii fiecăreia dintre laturile unui triunghi la valoarea unghiului opus, obținem același număr. În plus, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.
Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor, înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.
Greșeli din cauza neatenției
Chiar știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să aruncăm o privire la cele mai populare.
În primul rând, nu convertiți fracțiile comune în zecimale înainte de a obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracție comună, dacă nu se specifică altfel în condiție. O astfel de transformare nu poate fi numită greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a sarcinii pot apărea noi rădăcini, care, după ideea autorului, ar trebui reduse. În acest caz, veți pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece acestea apar în sarcini la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjire. Numere „urâte”.
În continuare, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o neînțelegere completă a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.
În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le amestecați și veți obține inevitabil un rezultat eronat.
Aplicație
Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte datorită cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit, puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.
În concluzie
Deci, știi ce sunt sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și puteți rezolva cu succes problemele școlare.
Totul chestiuneatrigonometria se reduce la faptul că, în funcție de parametrii cunoscuți ai triunghiului, este necesar să se calculeze necunoscutele. Există șase parametri în total: lungimile a trei laturi și mărimile a trei unghiuri. Întreaga diferență a sarcinilor constă în faptul că sunt date diferite date de intrare.
Cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei, acum știți. Deoarece acești termeni nu înseamnă nimic mai mult decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al problemei trigonometrice este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici te va ajuta matematica obișnuită de la școală.
